[원의 방정식-실전개념 ③] 두 원의 5대 위치관계, 교점을 지나는 원과 공통현, 둘레 이등분 총정리
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앞서 다룬 [실전개념 ①]에서는 원의 정의와 평행이동, 사분면별 축 접촉을 정복했고, [실전개념 ②]에서는 판별식을 버리고 중심 거리 $d$와 반지름 $r$로 원과 직선의 접선·극선을 완벽히 지배했습니다. 이제 원의 방정식 대단원을 완성하는 마지막 퍼즐, '두 원 사이의 기하학적 상호작용'을 마스터할 차례입니다.
두 원이 만나는 문제를 마주하면 대다수의 학생들은 두 원의 방정식을 무작정 연립하여 $x, y$ 교점의 좌표를 구하려고 합니다. 하지만 두 원의 교점 좌표는 대부분 복잡한 무리수나 분수로 떨어져 계산 실수로 이어집니다. 두 원의 교점을 직접 구하지 않고 항등식의 원리($k$)로 교점을 지나는 새로운 원을 한 번에 정의하며, $k = -1$을 대입해 이차항을 소거함으로써 두 원의 교점을 관통하는 공통현(직선)을 단 3초 만에 유도하는 기하학적 통찰이 필요합니다.
이번 실전개념 ③에서는 중심 거리 $d$와 두 반지름 $r_1, r_2$의 대소 관계로 판별하는 두 원의 5대 위치관계부터 동적 변화 시뮬레이션, 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식, 공통현의 길이 피타고라스 해법, 그리고 내신 변별 1순위인 한 원이 다른 원의 둘레를 이등분하는 킬러 조건까지 완벽하게 총정리합니다.
💡 [실전개념 ③] 두 원의 상호작용 4대 핵심 행동 강령 (Checklist)
- 교점 좌표 계산 금지: 두 원의 교점을 직접 연립하지 말고, 항상 항등식 $C_1 + kC_2 = 0$을 세운다.
- 공통현은 $k = -1$ (이차항 소거): 두 원의 일반형을 통째로 빼면($C_1 - C_2 = 0$) $x^2, y^2$이 사라지며 두 교점을 지나는 유일한 직선(공통현)이 된다.
- 공통현의 길이는 피타고라스: 공통현 직선과 한 원의 중심 사이 거리 $d$를 구한 뒤 $\text{현} = 2\sqrt{r^2 - d^2}$로 끝낸다.
- 둘레 이등분의 본질: 한 원이 다른 원의 둘레를 자르려면, 공통현이 잘리는 원의 '중심'을 통과해야 한다.
1. 두 원의 5대 위치관계: 중심 거리 $d$와 반지름의 합·차
두 원 $C_1, C_2$의 반지름을 각각 $r_1, r_2$ ($r_1 \ge r_2$)라 하고, 두 원의 중심 사이의 거리를 $d$라 할 때, 두 원의 위치관계는 $d$와 $(r_1 + r_2)$, $(r_1 - r_2)$의 대소 비교만으로 정확히 5가지 상태로 결정됩니다.
| 위치관계 | 중심 거리 $d$와 반지름 조건 | 교점의 개수 | 공통접선 개수 |
|---|---|---|---|
| 서로 외부 (만나지 않음) | $d > r_1 + r_2$ | 0개 | 4개 (외접선 2 + 내접선 2) |
| 외접 (한 점 접촉) | $d = r_1 + r_2$ | 1개 | 3개 (외접선 2 + 내접선 1) |
| 서로 다른 두 점 (공통현) | $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ | 2개 | 2개 (공통외접선 2개) |
| 내접 (한 점 접촉) | $d = |r_1 - r_2|$ | 1개 | 1개 (공통외접선 1개) |
| 내부 (포함 / 동심원) | $0 \le d < |r_1 - r_2|$ | 0개 | 0개 |
[기본 확인 예제 1: 두 원의 위치관계와 공통접선 개수]
두 원 $C_1 : x^2 + y^2 = 9$와 $C_2 : (x - 4)^2 + (y - 3)^2 = r^2$의 공통접선의 개수가 정확히 $3$개일 때, 양수 $r$의 값을 구하시오.
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정답: 2
[해설]
- 두 원의 공통접선이 3개라는 것은 두 원이 외접한다는 뜻입니다.
- $C_1$의 중심 $(0, 0)$, 반지름 $r_1 = 3$. $C_2$의 중심 $(4, 3)$, 반지름 $r_2 = r$.
- 두 중심 사이의 거리: $d = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$.
- 외접 조건: $d = r_1 + r_2 \implies 5 = 3 + r \implies r = 2$.
1-1. [동적 직관] 매개변수 변화에 따른 두 원의 교점 개수 함수 (연속과 불연속)
두 원의 위치관계는 단순히 정지된 5가지 상태를 외우는 것에 그치지 않습니다. 반지름($r$)이나 중심거리($d$)가 연속적으로 변할 때, 교점 개수가 $0 \to 1 \to 2 \to 1 \to 0$으로 도약하는 불연속 경계선을 잡아내는 것이 수능 및 고난도 변별 문항의 핵심입니다.
A 중심거리 고정($d=5$), 한 원의 반지름($r$) 연속 변화 시뮬레이터
고정원 $C_1(r_1=3)$과 중심거리 $d=5$인 동심원 $C_2$의 반지름 $r$을 슬라이더로 조절하며 실시간 교점과 상태 변화를 관찰해보세요.
B 반지름 고정($r_1=3, r_2=1.5$), 중심 사이 거리($d$) 연속 변화 시뮬레이터
두 원의 크기를 고정한 채 중심 사이의 거리 $d$를 조절하여 외접($d=4.5$)과 내접($d=1.5$) 순간을 확인해보세요.
[실전 심화 예제 1: 반지름 $r$ 변화에 따른 교점 개수 함수의 불연속]
좌표평면 위의 원 $C_1 : x^2 + y^2 = 9$ 와 점 $(4, 3)$을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $r$ ($r > 0$)인 원 $C_2$가 있다. 두 원 $C_1, C_2$의 교점의 개수를 $f(r)$이라 할 때, 함수 $f(r)$이 불연속이 되는 모든 실수 $r$의 값의 합을 구하시오.
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정답: 10
[해설]
- $C_1$의 중심은 $(0, 0)$, 반지름 $r_1 = 3$. $C_2$의 중심은 $(4, 3)$, 반지름 $r_2 = r$.
- 두 원의 중심 사이 거리 $d = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$.
- 교점 개수 $f(r)$의 불연속점은 외접($d = r_1 + r$)과 내접($d = |r_1 - r|$)일 때 발생합니다:
- 외접: $5 = 3 + r \implies r = 2$
- 내접: $5 = |3 - r| \implies 3 - r = -5 \implies r = 8$ ($r > 0$)
- 따라서 $f(r)$은 $r = 2$와 $r = 8$에서 불연속이므로, 모든 $r$의 합은 $2 + 8 = 10$입니다.
[실전 심화 예제 2: 중심 거리 $t$의 이동에 따른 교점 조건]
점 $(t, 0)$을 중심으로 하고 반지름이 $1$인 원 $C_1$과, 원점 $(0, 0)$을 중심으로 하고 반지름이 $3$인 원 $C_2$가 있다. 실수 $t$가 변할 때, 두 원의 교점이 $2$개가 되도록 하는 모든 정수 $t$의 개수를 구하시오.
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정답: 2개 ($-3, 3$)
[해설]
- 두 원의 반지름은 $r_1 = 1, r_2 = 3$. 중심 사이의 거리는 $d = |t - 0| = |t|$.
- 두 원이 서로 다른 두 점에서 만날 필요충분조건은 $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$입니다.
- $|3 - 1| < |t| < 3 + 1 \implies 2 < |t| < 4$.
- 따라서 $-4 < t < -2$ 또는 $2 < t < 4$이므로, 이를 만족하는 정수 $t$는 $-3, 3$으로 총 2개입니다.
2. 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식: 항등식 $k$의 원리
두 원 $C_1 : x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$과 $C_2 : x^2 + y^2 + A'x + B'y + C' = 0$이 서로 다른 두 점에서 만날 때, 두 교점을 지나는 무수히 많은 원의 방정식은 실수 $k$ ($k \ne -1$)를 매개로 다음과 같이 한 줄로 표현됩니다.
⚡ 왜 이 식이 두 교점을 지나는 원이 될까?
- 두 원의 교점을 $(x_0, y_0)$라 하면, 이 점은 $C_1 = 0$과 $C_2 = 0$을 동시에 만족하므로 $0 + k(0) = 0$이 되어 $k$의 값에 관계없이 항상 성립합니다.
- 전개하면 $(1 + k)x^2 + (1 + k)y^2 + \cdots = 0$ 꼴이 되며, $k \ne -1$이면 $x^2, y^2$의 계수가 $1 + k \ne 0$으로 서로 같고 $xy$ 항이 없으므로 원의 정의를 완벽히 만족합니다.
[기본 확인 예제 2: 두 원의 교점과 추가 정점을 지나는 원]
두 원 $x^2 + y^2 - 4x = 0$과 $x^2 + y^2 - 2y = 0$의 교점과 점 $(2, 2)$를 지나는 원의 중심의 좌표를 구하시오.
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정답: (1, 1)
[해설]
- 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식을 세웁니다:
$(x^2 + y^2 - 4x) + k(x^2 + y^2 - 2y) = 0$ - 이 원이 점 $(2, 2)$를 지나므로 대입합니다:
$(4 + 4 - 8) + k(4 + 4 - 4) = 0 \implies 0 + 4k = 0 \implies k = 0$.
*(만약 $k=1$인 원을 구하는 문제라면 $(x^2+y^2-4x) + 1(x^2+y^2-2y)=0 \implies 2x^2+2y^2-4x-2y=0 \implies x^2+y^2-2x-y=0$으로 중심은 $(1, 1/2)$이 됩니다.)* - 따라서 구하는 원의 방정식은 $x^2 + y^2 - 4x = 0$이며 중심은 $(2, 0)$입니다.
3. 공통현의 방정식 ($k = -1$): 두 원을 통째로 뺀다!
항등식 공식 $(C_1) + k(C_2) = 0$에서 $k = -1$을 대입하면 $x^2$과 $y^2$이 완전히 소거되며 $x, y$에 대한 1차방정식, 즉 두 교점을 지나는 유일한 직선(공통현의 방정식)이 탄생합니다.
💡 공통현의 2대 절대 기하 성질:
- 수직이등분선 불변성: 두 원의 중심을 이은 선분 $O_1 O_2$는 공통현 $AB$를 언제나 수직이등분($\angle H = 90^\circ, AH = HB$)합니다.
- 공통현의 길이 3초 공식: 두 원을 연립하여 교점 좌표를 구하지 말고, ① 공통현 방정식 $C_1 - C_2 = 0$을 구하고, ② 한 원의 중심에서 공통현까지의 거리 $d$를 구한 뒤, ③ $\text{공통현 길이 } AB = 2\sqrt{r_1^2 - d^2}$를 적용합니다.
[기본 확인 예제 3: 공통현의 길이 계산]
두 원 $C_1 : x^2 + y^2 = 20$ 과 $C_2 : x^2 + y^2 - 4x - 4y = 0$ 의 공통현의 길이를 구하시오.
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정답: $\sqrt{30}$
[해설]
- 두 원의 일반형을 통째로 빼서 공통현의 방정식을 구합니다:
$(x^2 + y^2 - 20) - (x^2 + y^2 - 4x - 4y) = 0 \implies 4x + 4y - 20 = 0 \implies x + y - 5 = 0$. - 원 $C_1$의 중심 $(0, 0)$에서 공통현 $x + y - 5 = 0$까지의 수직 거리 $d$ 계산:
$$d = \frac{|0 + 0 - 5|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}$$ - $C_1$의 반지름 $r = \sqrt{20}$. 피타고라스 정리에 의해 공통현의 반쪽 길이는:
$$\sqrt{r^2 - d^2} = \sqrt{20 - \frac{25}{2}} = \sqrt{\frac{15}{2}}$$ - 따라서 공통현의 전체 길이는 다음과 같습니다:
$$2 \times \sqrt{\frac{15}{2}} = 2 \times \frac{\sqrt{30}}{2} = \sqrt{30}$$
4. 한 원이 다른 원의 둘레를 이등분할 조건 (내신 1등급 킬러)
시험에 매우 빈번하게 출제되는 "원 $C_1$이 원 $C_2$의 둘레를 이등분한다"는 조건은 기하학적으로 단 하나의 의미를 갖습니다. 원의 둘레를 반으로 가르는 유일한 직선은 '지름'뿐이므로, 두 원의 공통현이 잘리는 원 $C_2$의 '중심'을 반드시 통과해야 합니다.
C [기하 직관 시각화] 공통현이 잘리는 원의 중심을 통과할 때의 둘레 이등분
자르는 원 $C_1$의 위치(상수 $a$)를 조절해 보세요. $a = -1.5$가 되는 순간, 두 교점을 잇는 공통현이 정확히 $C_2$의 중심을 관통하며 둘레를 $180^\circ$씩 양분합니다.
⚠️ 시험장 3초 해결 공식 (둘레 이등분):
- 두 원을 빼서 공통현의 방정식 $C_1 - C_2 = 0$을 구한다.
- 둘레가 잘리는(이등분당하는) 원의 중심 좌표를 공통현 식에 대입해 $0$이 되도록 미정계수를 즉시 결정한다. (두 원의 중심 중 어느 중심을 대입해야 하는지 주어와 목적어를 절대 헷갈리지 말 것!)
[기본 확인 예제 4: 둘레 이등분 미정계수 결정]
원 $C_1 : x^2 + y^2 - 2ax - 4y + 1 = 0$ 이 원 $C_2 : x^2 + y^2 + 2x - 2y - 2 = 0$ 의 둘레를 이등분할 때, 상수 $a$의 값을 구하시오.
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정답: $a = -\frac{3}{2}$
[해설]
- 두 원의 공통현의 방정식 ($C_1 - C_2 = 0$):
$(x^2 + y^2 - 2ax - 4y + 1) - (x^2 + y^2 + 2x - 2y - 2) = 0$
$\implies (-2a - 2)x - 2y + 3 = 0 \implies 2(a + 1)x + 2y - 3 = 0$. - 둘레가 잘리는 원은 $C_2$이므로, $C_2$의 중심이 공통현 위에 있어야 합니다.
$C_2 : (x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 4 \implies$ 중심 $(-1, 1)$. - 중심 $(-1, 1)$을 공통현의 방정식에 대입합니다:
$$2(a + 1)(-1) + 2(1) - 3 = 0$$
$$-2a - 2 + 2 - 3 = 0 \implies -2a = 3 \implies a = -\frac{3}{2}$$
💌 율초의 한마디
원의 방정식 대단원을 마무리하며 수험생 여러분이 가슴에 새겨야 할 단 하나의 진리는, "원은 연립해서 푸는 대수학의 대상이 아니라, 중심과 거리를 관찰하는 기하학의 완성"이라는 사실입니다. 두 원이 만날 때 생기는 공통현도 두 원을 통째로 빼는 순간($C_1 - C_2 = 0$) 1차 직선으로 단순화되고, 그 직선은 두 중심선에 의해 완벽하게 수직이등분됩니다. 이 4대 원리를 확립한 여러분은 이제 어떤 고난도 기하 킬러 문항을 마주해도 당황하지 않고 가장 우아한 직관으로 정답을 낚아챌 수 있을 것입니다.
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