수능 수학 1등급과 만점을 가르는 핵심 분수령은 단연
‘지수·로그함수의 그래프와 대칭성·교점 추론’ 유형입니다.
최근 평가원 모의고사와 수능 기출 트렌드를 살펴보면, 단순히 대수적인 계산에 그치지 않고 $y=x$ 역함수 대칭, 기울기가 $-1$인 직선과의 직교성, 그리고 좌표 평면 위의 기하학적 도형 성질을 복합적으로 엮어내는 문항이 고난도 킬러로 끊임없이 출제되고 있습니다.
이번 글에서는 수능 4점 기본 유형부터 준킬러, 최고난도 킬러, 그리고 극상위권 변별용 킬러까지 난이도순으로 촘촘하게 4단계로 구성된 맞춤 모의 문항을 준비했습니다.
1단계부터 단계별로 차근차근 호흡을 맞춰 따라오다 보면, 복잡하게 얽혀 있던 조건들이 하나의 기하학적 원리로 풀려나가는 쾌감과 함께 실력이 단단하게 확장되는 것을 스스로 체감하실 수 있을 것입니다.
Type 1. 수능 4점 빈출
좌표평면에서 두 곡선
$$y = 2^{x-2} + 1, \quad y = \log_2(x-1) + 2$$
가 있다. 기울기가 $-1$인 직선 $l$이 두 곡선과 만나는 점을 각각 $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$라 하자. ($x_1 < x_2$)
점 $A$를 지나고 $x$축에 평행한 직선이 곡선 $y = \log_2(x-1) + 2$와 만나는 점을 $C$라 하자.
$\overline{AB} = 3\sqrt{2}$이고 삼각형 $ABC$의 넓이가 $90$일 때, 직선 $l$의 $y$절편을 구하시오.
💡 핵심 출제 포인트
•
역함수와 대칭성: 두 함수는 직선 $y = x$ 대칭이며, 기울기 $-1$인 직선 위의 교점은 $B(y_1, x_1)$ 관계를 이룹니다.
•
선분 길이와 넓이 연립: 좌표 증분($y_1 - x_1 = 3$)과 평행선 교점 $C$를 통한 밑변 계산.
📖 단계별 해설 열기/닫기
1. 역함수 대칭성 확인
$y = 2^{x-2} + 1 \iff x = \log_2(y-1) + 2$ 이므로 두 함수는 $y=x$ 대칭이다.
2. 점 $A, B$의 좌표 관계
직선 $l$의 기울기가 $-1$이므로 $B(y_1, x_1)$이다.
$\overline{AB} = \sqrt{2}(y_1 - x_1) = 3\sqrt{2} \implies y_1 - x_1 = 3$
3. 점 $C$ 좌표 및 넓이 확인
$y_1 = 2^{x_1-2} + 1$에서 $2^{x_1-2} + 1 - x_1 = 3 \implies 2^{x_1-2} = x_1 + 3$
이를 만족하는 해는 $x_1 = 5$, $y_1 = 8$이다. $A(5, 8)$, $B(8, 5)$
점 $C$는 $y=8$이므로 $\log_2(x_C - 1) + 2 = 8 \implies x_C = 65$
$\triangle ABC = \frac{1}{2} \times (65 - 5) \times (8 - 5) = 90$ (성립)
4. 직선 $l$의 $y$절편
$A(5, 8)$을 지나고 기울기가 $-1$인 직선: $y - 8 = -(x - 5) \implies y = -x + 13$
정답: 13
Type 2. 고난도 준킬러
좌표평면에서 두 곡선
$$f(x) = 2^{x-1} + k, \quad g(x) = \log_2(x-k) + 1 \quad (k > 0)$$
이 있다. 기울기가 $-1$인 직선 $l$이 두 곡선 $y = f(x)$, $y = g(x)$와 만나는 점을 각각 $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$라 하자. ($x_1 < x_2$)
점 $A$를 지나고 $x$축에 평행한 직선이 곡선 $y = g(x)$와 만나는 점을 $C$, 점 $B$를 지나고 $y$축에 평행한 직선이 곡선 $y = f(x)$와 만나는 점을 $D$라 하자.
사각형 $ACDB$가 다음 조건을 만족할 때, 상수 $k$의 값을 구하시오.
• $\overline{AB} = 4\sqrt{2}$
• 사각형 $ACDB$의 넓이는 $300$이다.
💡 핵심 출제 포인트
• $y=x$ 대칭성을 기반으로 사각형 $ACDB$가 대칭 구조의 두 삼각형 합($4\overline{AC}$)으로 분할됨을 파악합니다.
📖 단계별 해설 열기/닫기
1. 좌표 차수 결정
$B(y_1, x_1)$이고 $\overline{AB} = \sqrt{2}(y_1 - x_1) = 4\sqrt{2} \implies y_1 - x_1 = 4$
2. 선분 $\overline{AC}$ 표현
$y_C = y_1$이므로 $x_C = 2^{y_1-1} + k$. $A$가 $f(x)$ 위이므로 $k = y_1 - 2^{x_1-1}$
$\overline{AC} = x_C - x_1 = (2^{y_1-1} - 2^{x_1-1}) + (y_1 - x_1) = 15 \cdot 2^{x_1-1} + 4$
3. 넓이 및 $k$ 계산
넓이 $S = 4\overline{AC} = 300 \implies \overline{AC} = 75$
$15 \cdot 2^{x_1-1} + 4 = 75 \implies 2^{x_1-1} = \frac{71}{15} \implies x_1 = \log_2\left(\frac{142}{15}\right)$
$k = (x_1 + 4) - \frac{71}{15} = \log_2\left(\frac{142}{15}\right) - \frac{11}{15}$
정답: $\log_2\left(\frac{142}{15}\right) - \frac{11}{15}$
Type 3. 최고난도 킬러
두 실수 $a > 1$, $k > 0$에 대하여 두 곡선
$$f(x) = a^{x-1} + k, \quad g(x) = \log_a(x-k) + 1$$
이 있다. 곡선 $y = f(x)$ 위의 서로 다른 두 점 $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$ ($x_1 < x_2$)와 곡선 $y = g(x)$ 위의 두 점 $C(x_3, y_3)$, $D(x_4, y_4)$ ($x_3 < x_4$)가 다음 조건을 만족한다.
1. 직선 $AC$와 직선 $BD$는 모두 기울기가 $-1$이고, 직선 $y = x$에 대하여 각각 대칭이다.
2. 사각형 $ABDC$는 평행사변형이고, 직선 $AB$의 기울기는 $\frac{1}{3}$이다.
3. 선분 $AC$의 길이는 $2\sqrt{2}$이고, 선분 $AB$의 길이는 $\sqrt{10}$이다.
4. 점 $B$를 지나고 $x$축에 평행한 직선이 곡선 $y = g(x)$와 만나는 점을 $E$라 할 때, $\overline{BE} = 6$이다.
이때 $a + k$의 값을 구하시오.
💡 핵심 출제 포인트
• 선분 기울기 및 길이로 점 $B(x_1+3, y_1+1)$ 결정
• 점 $B$가 $y=x$ 위에 놓이는 성질 및 평행선 조건 결합
📖 단계별 해설 열기/닫기
1. 좌표 및 증분 확인
$\overline{AC} = 2\sqrt{2} \implies y_1 - x_1 = 2$
기울기 $\frac{1}{3}$, $\overline{AB}=\sqrt{10} \implies x_2 = x_1 + 3$, $y_2 = y_1 + 1$
$y_2 - x_2 = (y_1 - x_1) - 2 = 0 \implies y_2 = x_2$ (점 $B$는 $y=x$ 위의 점)
2. 밑 $a$ 및 $k$ 확정
$y_2 - y_1 = a^{x_1+2} - a^{x_1-1} = 1 \implies a^{x_1-1}(a^3 - 1) = 1$
$\overline{BE} = 6$ 조건과 점 $B(x_2, x_2)$의 성질을 연립하면 $a = 2$가 결정된다.
$2^{x_1-1} = \frac{1}{7} \implies x_1 = 1 - \log_2 7$, $y_1 = 3 - \log_2 7$
$k = y_1 - 2^{x_1-1} = \frac{20}{7} - \log_2 7$
정답: $\frac{34}{7} - \log_2 7$
Type 4. 극상위권 변별용
두 실수 $a > 1$, $k > 0$에 대하여 두 곡선
$$f(x) = a^{x-2} + k, \quad g(x) = \log_a(x-k) + 2$$
가 있다. 기울기가 $-1$인 직선 $l_1$이 두 곡선 $y = f(x)$, $y = g(x)$와 제1사분면에서 만나는 점을 각각 $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$라 하자. ($x_1 < x_2$)
점 $A$를 지나고 기울기가 $2$인 직선 $l_2$가 곡선 $y = f(x)$와 만나는 다른 한 점을 $C(x_3, y_3)$ ($x_3 > x_1$), 곡선 $y = g(x)$의 점근선과 만나는 점을 $P$라 하자.
세 점 $A, B, C$와 점 $P$가 다음 조건을 만족한다.
1. $\overline{AB} = 4\sqrt{2}$
2. 점 $A$는 선분 $PC$의 중점이다.
3. 삼각형 $ABC$의 넓이는 $12$이다.
이때 $a^2 + k$의 값을 구하시오.
💡 핵심 출제 포인트
• 점과 직선 사이의 거리 공식을 통한 점 $C(x_1+2, y_1+4)$ 좌표 도출
• 점근선 $x=k$와 중점 조건 연립($k = x_1 - 2$)
📖 단계별 해설 열기/닫기
1. 넓이와 직선 $l_1$으로부터 점 $C$ 좌표 결정
$\overline{AB} = 4\sqrt{2} \implies y_1 - x_1 = 4$
넓이 $\frac{1}{2} \times 4\sqrt{2} \times h = 12 \implies h = 3\sqrt{2}$
기울기 $2$인 직선 위의 점 $C(x_1 + t, y_1 + 2t)$에서 거리 $h = \frac{3t}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \implies t = 2$
$\therefore C(x_1 + 2, y_1 + 4)$
2. 점근선 $x=k$와 중점 성질
점 $P(k, y_P)$에 대해 $A$가 선분 $PC$의 중점이므로 $x_1 = \frac{k + (x_1 + 2)}{2} \implies k = x_1 - 2$
3. $a^2$ 및 $k$ 계산
$y_1 = a^{x_1-2} + k$, $y_1 + 4 = a^{x_1} + k = a^2 \cdot a^{x_1-2} + k$
변변 빼면 $4 = a^{x_1-2}(a^2 - 1)$
$y_1 = x_1 + 4$와 $k = x_1 - 2$를 대입하면 $a^{x_1-2} = 6$
$6(a^2 - 1) = 4 \implies a^2 = \frac{5}{3}$
$k = x_1 - 2 = \log_a 6 = 2\log_{5/3} 6$
정답: $\frac{5}{3} + 2\log_{5/3} 6$
지수함수 $y=a^{x-p}+q$와 로그함수 $y=\log_a(x-q)+p$처럼 밑이 같고 평행이동이 맞물린 관계를 마주하면, 망설이지 말고 직선 $y=x$에 대한 대칭성을 먼저 짚어내야 합니다. 여기에 기울기가 $-1$인 직선과의 교점은 서로 $y=x$ 대칭점 $(x_1, y_1) \leftrightarrow (y_1, x_1)$이 된다는 성질을 결합하는 순간, 복잡한 미지수들이 눈에 띄게 줄어들며 출제자의 의도가 명쾌하게 보이기 시작합니다. 그래프를 그릴 때 이 핵심 대칭축을 절대 놓치지 마세요.
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[01] 수능 4점 빈출 유형
좌표평면에서 두 곡선 $$y = 2^{x - 1} + 2, \quad y = \log_2(x - 2) + 1$$이 있다. 기울기가 $-1$인 직선 $l$이 두 곡선과 만나는 점을 각각 $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$라 하자. ($x_1 < x_2$)
점 $A$를 지나고 $x$축에 평행한 직선이 곡선 $y = \log_2(x - 2) + 1$과 만나는 점을 $C$라 하자.
$\overline{AB} = 2\sqrt{2}$이고 삼각형 $ABC$의 넓이가 $30$일 때, 직선 $l$의 $y$절편을 구하시오. [4점]
[02] 고난도 준킬러 유형
좌표평면에서 두 곡선 $$f(x) = 2^{x - 2} + k, \quad g(x) = \log_2(x - k) + 2 \quad (k > 0)$$가 있다. 기울기가 $-1$인 직선 $l$이 두 곡선 $y = f(x)$, $y = g(x)$와 만나는 점을 각각 $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$라 하자. ($x_1 < x_2$)
점 $A$를 지나고 $x$축에 평행한 직선이 곡선 $y = g(x)$와 만나는 점을 $C$, 점 $B$를 지나고 $y$축에 평행한 직선이 곡선 $y = f(x)$와 만나는 점을 $D$라 하자.
사각형 $ACDB$가 다음 조건을 만족할 때, 상수 $k$의 값을 구하시오. [4점]
- $\overline{AB} = 3\sqrt{2}$
- 사각형 $ACDB$의 넓이는 $108$이다.
[03] 최고난도 킬러 유형
두 실수 $a > 1$, $k > 0$에 대하여 두 곡선 $$f(x) = a^{x - 2} + k, \quad g(x) = \log_a(x - k) + 2$$가 있다. 곡선 $y = f(x)$ 위의 서로 다른 두 점 $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$ ($x_1 < x_2$)와 곡선 $y = g(x)$ 위의 두 점 $C(x_3, y_3)$, $D(x_4, y_4)$ ($x_3 < x_4$)가 다음 조건을 만족한다.
- 직선 $AC$와 직선 $BD$는 모두 기울기가 $-1$이고, 직선 $y = x$에 대하여 각각 대칭이다.
- 사각형 $ABDC$는 평행사변형이고, 직선 $AB$의 기울기는 $\frac{1}{2}$이다.
- 선분 $AC$의 길이는 $2\sqrt{2}$이고, 선분 $AB$의 길이는 $2\sqrt{5}$이다.
- 점 $B$를 지나고 $x$축에 평행한 직선이 곡선 $y = g(x)$와 만나는 점을 $E$라 할 때, $\overline{BE} = 12$이다.
이때 $a + k$의 값을 구하시오. [4점]
[04] 극상위권 변별용 킬러 유형
두 실수 $a > 1$, $k > 0$에 대하여 두 곡선 $$f(x) = a^{x - 1} + k, \quad g(x) = \log_a(x - k) + 1$$이 있다. 기울기가 $-1$인 직선 $l_1$이 두 곡선 $y = f(x)$, $y = g(x)$와 제1사분면에서 만나는 점을 각각 $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$라 하자. ($x_1 < x_2$)
점 $A$를 지나고 기울기가 $3$인 직선 $l_2$가 곡선 $y = f(x)$와 만나는 다른 한 점을 $C(x_3, y_3)$ ($x_3 > x_1$), 곡선 $y = g(x)$의 점근선과 만나는 점을 $P$라 하자.
세 점 $A, B, C$와 점 $P$가 다음 조건을 만족한다.
- $\overline{AB} = 2\sqrt{2}$
- 점 $A$는 선분 $PC$의 중점이다.
- 삼각형 $ABC$의 넓이는 $8$이다.
이때 $a^2 + k$의 값을 구하시오. [4점]
🔍 [정답표 및 핵심 풀이 가이드 확인]
| 문항 |
정답 |
핵심 풀이 단서 |
| [01] |
$10$ |
$y_1 - x_1 = 2 \implies 2^{x_1 - 1} = x_1 \implies A(4, 6) \implies y = -x + 10$ |
| [02] |
$\log_2\left(\frac{132}{7}\right) - \frac{12}{7}$ |
$S = 3\overline{AC} = 108 \implies \overline{AC} = 36 \implies 7 \cdot 2^{x_1 - 2} + 3 = 36$ |
| [03] |
$\frac{61}{15} - \log_2 15$ |
$B(x_1+4, y_1+2)$가 $y=x$ 위의 점 $\implies a=2, 2^{x_1-2}=\frac{2}{15}$ |
| [04] |
$\frac{5}{2} + 2\log_{5/2} 4$ |
$C(x_1+2, y_1+6)$, 점근선 $k=x_1-2 \implies a^{x_1-1}=4, a^2=\frac{5}{2}$ |
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