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📌 [고등수학] 평면좌표: 선분의 내분점과 외분점 실전 15제

단순 공식 암기만으로는 킬러 문항을 해결할 수 없습니다. 기초 계산부터 수능형 심화 추론까지 탄탄하게 연결할 수 있도록 체계적인 4단계 난이도로 구성했습니다.

※ 문제를 먼저 스스로 해결한 후, 하단의 [정답 및 해설 확인하기] 버튼을 클릭하여 풀이를 확인해 보세요!

[문제 01] 수직선 위의 두 점 $A(-3)$, $B(7)$에 대하여 선분 $AB$를 $3:2$로 내분하는 점을 $P$, $3:2$로 외분하는 점을 $Q$라 할 때, 선분 $PQ$의 중점 $M$의 좌표를 구하시오.

[문제 02] 좌표평면 위의 두 점 $A(2, -1)$, $B(-3, 4)$를 잇는 선분 $AB$를 $1:k$ ($k>0, k \neq 1$)로 외분하는 점이 $y$축 위에 있을 때, 상수 $k$의 값과 외분점의 $y$좌표를 각각 구하시오.

[문제 03] 두 점 $A(-2, 5)$, $B(4, 1)$을 잇는 선분 $AB$를 $t:(1-t)$ ($0 < t < 1$)로 내분하는 점 $P$가 제$1$사분면에 존재하도록 하는 실수 $t$의 값의 범위를 구하시오.

[문제 04] 수직선 위의 서로 다른 두 점 $A(a)$, $B(b)$에 대하여 $a < b$이다. 세 점 $P, Q, R$의 좌표가 다음과 같을 때, 세 점의 대소 관계를 올바르게 비교한 것은?

$P = \frac{3a + 2b}{5}, \quad Q = \frac{2a + 3b}{5}, \quad R = \frac{a + 4b}{5}$

① $P < Q < R$    ② $R < Q < P$    ③ $Q < P < R$    ④ $P < R < Q$    ⑤ $R < P < Q$

[문제 05] 두 양수 $a, b$ ($0 < a < b$)에 대하여 세 수 $A, B, C$가 다음과 같다. 세 수의 크기를 비교하시오.

$A = \frac{a+b}{2}, \quad B = \frac{a^2+b^2}{a+b}, \quad C = \frac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

[문제 06] 세 점 $A(1, 5)$, $B(-2, 1)$, $C(4, 1)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $ABC$에서 $\angle A$의 이등분선이 변 $BC$와 만나는 점을 $D(p, q)$라 할 때, $p + q$의 값을 구하시오.

[문제 07] 평행사변형 $ABCD$의 세 꼭짓점이 $A(1, 3)$, $B(-2, -1)$, $C(4, 1)$일 때, 제4의 꼭짓점 $D$의 좌표를 구하시오.

[문제 08] 삼각형 $ABC$의 세 변 $AB, BC, CA$를 각각 $2:1$로 내분하는 점을 $D, E, F$라 하자. 삼각형 $DEF$의 무게중심의 좌표가 $(3, -2)$일 때, 삼각형 $ABC$의 세 꼭짓점 좌표의 합 $(x_1+x_2+x_3, y_1+y_2+y_3)$을 구하시오.

[문제 09] 두 점 $A(1, 2)$, $B(5, 8)$을 잇는 선분 $AB$의 연장선 위에 점 $C$가 있다. $2\overline{AB} = 3\overline{BC}$를 만족시키고 $x$좌표가 점 $B$의 $x$좌표보다 큰 점 $C$의 좌표를 구하시오.

[문제 10] 좌표평면 위의 세 점 $O(0,0), A(6,0), B(3, 3\sqrt{3})$으로 이루어진 정삼각형 $OAB$가 있다. 선분 $OA$를 $2:1$로 내분하는 점을 $P$, 선분 $AB$를 $1:2$로 내분하는 점을 $Q$라 할 때, 선분 $PQ$의 길이를 구하시오.

[문제 11] 좌표평면 위의 두 점 $A(0, 4)$, $B(6, -2)$에 대하여 점 $P$가 선분 $AB$를 $t:(1-t)$ ($0 \le t \le 1$)로 내분하는 점이다. 점 $P$를 지나고 선분 $AB$에 수직인 직선이 $y$축과 만나는 점을 $(0, k)$라 할 때, 실수 $k$의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

[문제 12] 삼각형 $ABC$의 변 $BC$ 위의 점 $D$가 선분 $BC$를 $4:3$으로 내분하고, 선분 $AD$ 위의 점 $P$가 $\overline{AP} : \overline{PD} = 7:2$를 만족할 때, 삼각형 $PBC$와 삼각형 $ABC$의 넓이의 비를 가장 간단한 자연수의 비로 구하시오.

[문제 13] 어느 물류 회사의 두 창고가 좌표평면 위 $A(20, 10)$, $B(80, 70)$에 위치해 있다. 하루 물동량은 $A$가 $300$톤, $B$가 $600$톤이다. 두 창고를 잇는 직선 도로(선분 $AB$) 위에 물동량 가중 거리의 제곱의 합 $f(H) = 300\overline{AH}^2 + 600\overline{BH}^2$을 최소로 하는 환승 허브 $H$를 설치할 때, 허브 $H$의 좌표를 구하시오.

[문제 14] 좌표평면 위의 두 점 $A(-2, 0)$, $B(4, 0)$에 대하여 $\overline{PA} : \overline{PB} = 1:2$를 만족시키는 점 $P$의 자취 위의 임의의 점과 점 $C(0, 6)$ 사이의 거리의 최댓값을 구하시오.

[문제 15] 좌표평면 위의 두 점 $A(1, 2)$, $B(5, 5)$를 잇는 선분 $AB$를 $t:(1-t)$ ($0 < t < 1$)로 내분하는 점을 $P$라 하자. $y$축 위의 점 $Q(0, k)$에 대하여 삼각형 $OPQ$의 넓이가 $3$이 되도록 하는 두 실수 $k$의 곱이 $-4$일 때, 실수 $t$의 값을 구하시오. (단, $O$는 원점이다.)

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[변형 문제 01] 수직선 위의 두 점 $A(-5)$, $B(5)$에 대하여 선분 $AB$를 $3:1$로 내분하는 점을 $P$, $3:1$로 외분하는 점을 $Q$라 하자. 선분 $PQ$의 중점 $M$의 좌표를 구하시오.

[변형 문제 02] 좌표평면 위의 두 점 $A(3, -2)$, $B(-2, 5)$를 잇는 선분 $AB$를 $2:k$ ($k>0, k \neq 2$)로 외분하는 점이 $y$축 위에 있을 때, 상수 $k$의 값과 이 외분점의 $y$좌표를 각각 구하시오.

[변형 문제 03] 두 점 $A(-3, 7)$, $B(5, 2)$를 잇는 선분 $AB$를 $t:(1-t)$ ($0 < t < 1$)로 내분하는 점 $P$가 제$1$사분면에 존재하도록 하는 실수 $t$의 값의 범위를 구하시오.

[변형 문제 04] 수직선 위의 서로 다른 두 점 $A(a)$, $B(b)$에 대하여 $a < b$이다. 세 점 $P, Q, R$의 좌표가 다음과 같을 때, 세 점의 대소 관계를 올바르게 나타낸 것은?

$P = \frac{5a + 2b}{7}, \quad Q = \frac{3a + 4b}{7}, \quad R = \frac{a + 6b}{7}$

① $P < Q < R$    ② $R < Q < P$    ③ $Q < P < R$    ④ $P < R < Q$    ⑤ $R < P < Q$

[변형 문제 05] 두 양수 $a, b$ ($0 < a < b$)에 대하여 세 수 $X, Y, Z$가 다음과 같다. 세 수의 크기를 비교하시오.

$X = \frac{a+2b}{3}, \quad Y = \frac{a^2+2b^2}{a+2b}, \quad Z = \sqrt{ab}$

[변형 문제 06] 세 점 $A(2, 6)$, $B(-4, -2)$, $C(5, 2)$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $ABC$에서 $\angle A$의 이등분선이 변 $BC$와 만나는 점을 $D(p, q)$라 할 때, $p + q$의 값을 구하시오.

[변형 문제 07] 평행사변형 $ABCD$의 세 꼭짓점이 $A(2, 4)$, $B(-3, 0)$, $C(5, 2)$일 때, 제4의 꼭짓점 $D$의 좌표를 구하시오.

[변형 문제 08] 삼각형 $ABC$의 세 변 $AB, BC, CA$를 각각 $3:1$로 내분하는 점을 각각 $D, E, F$라 하자. 삼각형 $DEF$의 무게중심의 좌표가 $(4, -1)$일 때, 삼각형 $ABC$의 세 꼭짓점 좌표의 합 $(x_1+x_2+x_3, y_1+y_2+y_3)$을 구하시오.

[변형 문제 09] 두 점 $A(2, 1)$, $B(6, 9)$를 잇는 선분 $AB$의 연장선 위에 점 $C$가 있다. $3\overline{AB} = 2\overline{BC}$를 만족시키고 $x$좌표가 점 $B$의 $x$좌표보다 큰 점 $C$의 좌표를 구하시오.

[변형 문제 10] 좌표평면 위의 세 점 $O(0,0), A(8,0), B(4, 4\sqrt{3})$으로 이루어진 정삼각형 $OAB$가 있다. 선분 $OA$를 $3:1$로 내분하는 점을 $P$, 선분 $AB$를 $1:3$으로 내분하는 점을 $Q$라 할 때, 선분 $PQ$의 길이를 구하시오.

[변형 문제 11] 좌표평면 위의 두 점 $A(0, 6)$, $B(8, -2)$에 대하여 점 $P$가 선분 $AB$를 $t:(1-t)$ ($0 \le t \le 1$)로 내분하는 점이다. 점 $P$를 지나고 선분 $AB$에 수직인 직선이 $y$축과 만나는 점을 $(0, k)$라 할 때, 실수 $k$의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

[변형 문제 12] 삼각형 $ABC$의 변 $BC$ 위의 점 $D$가 선분 $BC$를 $3:2$로 내분하고, 선분 $AD$ 위의 점 $P$가 $\overline{AP} : \overline{PD} = 5:3$을 만족할 때, 삼각형 $PBC$와 삼각형 $ABC$의 넓이의 비를 가장 간단한 자연수의 비로 구하시오.

[변형 문제 13] 두 물류 거점 $A(10, 20)$, $B(70, 80)$이 있다. 하루 수송량은 $A$가 $200$톤, $B$가 $400$톤이다. 두 거점을 잇는 직선 도로(선분 $AB$) 위에 운송 비용 가중 제곱합 $f(H) = 200\overline{AH}^2 + 400\overline{BH}^2$을 최소화하는 중간 물류기지 $H$의 좌표를 구하시오.

[변형 문제 14] 좌표평면 위의 두 점 $A(-3, 0)$, $B(3, 0)$에 대하여 $\overline{PA} : \overline{PB} = 2:1$을 만족시키는 점 $P$의 자취 위의 임의의 점과 점 $C(0, 8)$ 사이의 거리의 최댓값을 구하시오.

[변형 문제 15] 좌표평면 위의 두 점 $A(2, 1)$, $B(8, 4)$를 잇는 선분 $AB$를 $t:(1-t)$ ($0 < t < 1$)로 내분하는 점을 $P$라 하자. $y$축 위의 점 $Q(0, k)$에 대하여 삼각형 $OPQ$의 넓이가 $6$이 되도록 하는 두 실수 $k$의 곱이 $-9$일 때, 실수 $t$의 값을 구하시오. (단, $O$는 원점이다.)

수학은 공식을 외워 기계적으로 숫자를 대입하는 과목이 아닙니다. 내분점과 외분점 역시 공식 이전에 기하학적 비례 관계와 원리를 먼저 머릿속에 시각화할 수 있어야 합니다. 원리를 명확히 이해하면 계산 팁은 자연스럽게 손에 익습니다.

선분 길이비와 분점의 개념은 평면좌표에 머무르지 않고, 고난도 벡터의 자취 해석이나 3차원 공간도형(구의 방정식)까지 직결되는 강력한 무기가 됩니다. 기본 원리를 단단하게 다져 흔들리지 않는 수학적 사고력을 완성해 나가세요.