율초의 수학연구소

📌  함수의 극한: 4대 부정형 실전 15제 및 변형 자가진단 (정답/풀이 포함)

함수의 극한은 단순한 수치 대입이 아닌, 4대 부정형 ($\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \infty-\infty, 0 \times \infty$)의 본질적 구조와 '영인수(Zero Factor)'를 제어하는 감각에서 출발합니다. 단순 암기식 풀이를 배제하고, 복합 유리화·음의 무한대 치환부터 수능 킬러급 차수 추론 및 연속 융합까지 체계적인 4단계 난이도로 구성했습니다.

📊 단계별 난이도 배치

• STEP 1. 기본 개념 확립 (1~4번) : 이중 무리식 유리화, 복합 $\infty-\infty$, 통분 및 치환 연산
• STEP 2. 응용 및 변형 (5~8번) : 음의 무한대($x \to -\infty$), 절댓값 좌·우극한, 조임정리(가우스), 미정계수 결정
• STEP 3. 심화 추론 (9~12번) : 다항함수 항등식, 선분 자취의 기하 극한, 접선 부정형 극한
• STEP 4. 수능 기출 변형 킬러 (13~15번) : 차수 및 $n$중근 추론, 대칭 미분계수 연속성, 새롭게 정의된 함수 극한

※ 문제를 먼저 스스로 해결한 후, 하단의 [정답 및 풀이 확인하기]를 클릭하여 해설을 확인해 보세요!

[문제 01] 다음 극한값을 구하시오.

[문제 02] 다음 극한값을 구하시오.

[문제 03] 등식 $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( \frac{1}{\sqrt{1+ax}} - 1 \right) = -2$가 성립할 때, 상수 $a$의 값을 구하시오.

[문제 04] 양의 실수 $x$에 대하여 다음 극한값을 구하시오.

[문제 05] 등식 $\lim_{x \to -\infty} \left( \sqrt{4x^2 + ax + 1} + 2x \right) = 3$이 성립할 때, 상수 $a$의 값을 구하시오.

[문제 06] 함수 $f(x) = \frac{|x^2 - x - 2|}{x^2 + ax + b}$에 대하여 $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \alpha$, $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \beta$이다. $\alpha, \beta$가 $0$이 아닌 실수이고 $\alpha + \beta = 0$, $\alpha = 1$일 때, 상수 $a, b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하시오.

[문제 07] 실수 $x$에 대하여 $[x]$를 $x$보다 크지 않은 최대 정수라 할 때, 다음 극한값을 구하시오.

[문제 08] 다항함수 $f(x)$가 다음 두 조건을 만족시킬 때, $f(2)$의 값을 구하시오.

• • (가) $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x) - 2x^3}{x^2 + 1} = 4$
• • (나) $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = -6$

[문제 09] 최고차항 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x) = \frac{f(x)}{x-1}$ ($x \neq 1$)이 다음 조건을 만족시킨다.

• • (가) $\lim_{x \to 1} g(x) = 6$
• • (나) 방정식 $g(x) = 6$의 서로 다른 두 실근의 합이 $3$이다.

$f(5)$의 값을 구하시오.

[문제 10] 양의 실수 $t$에 대하여 직선 $y = tx + 1$이 포물선 $y = x^2$과 만나는 두 점을 각각 $A, B$라 하자. 선분 $AB$의 길이를 $L(t)$라 할 때, 다음 극한값을 구하시오.

[문제 11] 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $f(x)$에 대하여 $\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = 4$일 때, 다음 극한값을 구하시오.

[문제 12] 좌표평면에서 원 $x^2 + y^2 = r^2$ ($r>0$) 위의 제$1$사분면 점 $P$에서의 접선이 $x$축과 만나는 점을 $Q$, 점 $P$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $H$라 하자. 점 $P$가 원을 따라 점 $(r, 0)$에 한없이 가까워질 때, $\lim_{P \to (r,0)} \frac{\overline{HQ}}{\overline{HP}^2}$의 값을 구하시오.

[문제 13] 다항함수 $f(x)$가 다음 두 조건을 만족시킨다.

• • (가) $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x) - x^4}{x^3 + 2x} = 2$
• • (나) 자연수 $n$에 대하여 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^n} = L$ ($L \neq 0$)을 만족시키는 $n$의 최댓값이 $2$이고, 이때 $L = -8$이다.

방정식 $f'(x) = 0$의 모든 실근의 합을 구하시오.

[문제 14] 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$를 다음과 같이 정의한다.

함수 $g(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이고 다음 두 조건을 만족시킬 때, $f(4)$의 값을 구하시오.

• • (가) $\lim_{x \to 1} \frac{g(x)}{x-1} = 0$
• • (나) $\lim_{x \to \infty} \frac{g(x)}{3x^2 - 2x} = 1$

[문제 15] 실수 $t$에 대하여 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to t} \frac{f(x) - f(t)}{|x-t|} = h(t)$를 만족시킨다. 함수 $h(t)$가 $t = 2$에서만 극한값이 존재할 때, 함수 $f(x)$의 최솟값이 $-4$이다. 다음 극한값을 구하시오.

📝 [스스로 테스트] 숫자 변형 실전 워크시트 (15제)

본문의 원리와 해설을 완벽히 이해했다면, 동일한 유형에 계수를 변형한 1:1 쌍둥이 워크시트 15제로 실전 감각을 극대화해 보세요!

[변형 01] 다음 극한값을 구하시오.

[변형 02] 다음 극한값을 구하시오.

[변형 03] 등식 $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( \frac{1}{\sqrt{1+kx}} - 1 \right) = -3$이 성립할 때, 상수 $k$의 값을 구하시오.

[변형 04] 양의 실수 $x$에 대하여 다음 극한값을 구하시오.

[변형 05] 등식 $\lim_{x \to -\infty} \left( \sqrt{9x^2 + ax + 2} + 3x \right) = 2$가 성립할 때, 상수 $a$의 값을 구하시오.

[변형 06] 함수 $f(x) = \frac{|x^2 - 4|}{x^2 + ax + b}$에 대하여 $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 2$, $\lim_{x \to 2^-} f(x) = -2$일 때, 상수 $a, b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하시오.

[변형 07] 다음 극한값을 구하시오.

[변형 08] 다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x) - 3x^3}{x^2+1} = 2$, $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = -4$를 만족시킬 때, $f(1)$의 값을 구하시오.

[변형 09] 최고차항 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 $g(x) = \frac{f(x)}{x-2}$ ($x \neq 2$)라 하자. $\lim_{x \to 2} g(x) = 8$이고 방정식 $g(x) = 8$의 두 실근의 합이 $5$일 때, $f(4)$의 값을 구하시오.

[변형 10] 직선 $y = tx + 2$와 포물선 $y = x^2$의 두 교점 사이 거리를 $L(t)$라 할 때, 다음 극한값을 구하시오.

[변형 11] 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $f(x)$에 대하여 $\lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{x-3} = 6$일 때, $\lim_{x \to 3} \frac{\{f(x)\}^2}{x^2 - 9}$의 값을 구하시오.

[변형 12] 원 $x^2 + y^2 = 4$ 위의 제$1$사분면 점 $P(t, \sqrt{4-t^2})$에서의 접선의 $x$절편을 $Q$, $P$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $H$라 할 때, $\lim_{t \to 2^-} \frac{\overline{HQ}}{\overline{HP}^2}$의 값을 구하시오.

[변형 13] 다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x) - x^4}{x^3 + 1} = 4$, $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2} = -6$을 만족시킬 때, 방정식 $f'(x) = 0$의 모든 실근의 합을 구하시오.

[변형 14] 최고차항 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 $g(x) = \lim_{t \to 0^+} \frac{|f(x+t)| - |f(x-t)|}{2t}$가 연속이고, $\lim_{x \to 2} \frac{g(x)}{x-2} = 0$, $\lim_{x \to \infty} \frac{g(x)}{3x^2} = 1$일 때, $f(5)$의 값을 구하시오.

[변형 15] 최고차항 계수가 $1$인 이차함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to t} \frac{f(x) - f(t)}{|x-t|} = h(t)$를 만족한다. $h(t)$가 $t = 3$에서만 극한값이 존재하고 $f(x)$의 최솟값이 $-9$일 때, $\lim_{x \to 7} \frac{f(x)}{x-6}$의 값을 구하시오.

✍️ 율초의 한마디

함수의 극한에서 마주하는 4대 부정형은 단순히 기계적인 통분이나 유리화 공식을 외워 푸는 테마가 아닙니다.

분모와 분자가 0으로 수렴하는 속도(영인수의 차수)를 읽어내는 힘, 그리고 무한대로 발산할 때 주도하는 최고차항을 꿰뚫어 보는 시야가 완성되어야 비로소 수능 킬러 문항의 다항함수 추론과 미분계수 해석으로 매끄럽게 연결됩니다.

기본 문항부터 킬러 문항까지 손끝으로 식을 하나하나 정리하고 검증하는 습관을 들이세요. 식의 구조를 보는 깊이가 달라질 때, 여러분의 수학적 직관과 실전 1등급의 길은 자연스럽게 열립니다.