율초의 수학연구소

정답: $7$개

[풀이]
1) 일반형 계수 확인: $A = -4k, B = 2k, C = 6k^2 - 2k - 15$.
중심의 좌표: $\left(-\dfrac{-4k}{2}, -\dfrac{2k}{2}\right) = (2k, -k)$.
2) 반지름 제곱 $r^2$ 공식 적용:
$$r^2 = (2k)^2 + (-k)^2 - C = 4k^2 + k^2 - (6k^2 - 2k - 15) = -k^2 + 2k + 15$$
3) 반지름이 $2$ 이상이어야 하므로 $r \ge 2 \iff r^2 \ge 4$:
$$-k^2 + 2k + 15 \ge 4 \implies k^2 - 2k - 11 \le 0$$
근의 공식에 의해 $1 - 2\sqrt{3} \le k \le 1 + 2\sqrt{3}$.
$2\sqrt{3} = \sqrt{12} \approx 3.46$이므로 $-2.46 \le k \le 4.46$.
따라서 만족하는 정수 $k$는 $-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4$로 총 $7$개입니다.

정답: $1$

[풀이]
1) 최고차항 계수가 $2$이므로 양변을 먼저 $2$로 나누어 표준 일반형으로 정돈합니다:
$$x^2 + y^2 - 2x + 4y + \dfrac{3k - 1}{2} = 0$$
2) 중심의 좌표: $(1, -2)$.
반지름 제곱 $r^2 = 1^2 + (-2)^2 - \dfrac{3k - 1}{2} = 5 - \dfrac{3k - 1}{2} = \dfrac{11 - 3k}{2}$.
3) 문제 조건: 반지름 $0 < r \le \sqrt{5} \iff 0 < r^2 \le 5$:
$$0 < \dfrac{11 - 3k}{2} \le 5 \implies 0 < 11 - 3k \le 10$$
- $11 - 3k \le 10 \implies 3k \ge 1 \implies k \ge \dfrac{1}{3}$.
- $11 - 3k > 0 \implies 3k < 11 \implies k < \dfrac{11}{3}$.
따라서 $\dfrac{1}{3} \le k < \dfrac{11}{3}$ 이므로 정수 $k$의 최솟값은 $\mathbf{1}$ 입니다.

정답: $(-2, 2)$

[풀이]
1) 중심의 좌표: $(a - 1, -2a)$.
2) 반지름 제곱 $r^2$을 $a$에 관한 이차함수로 나타냅니다:
$$r^2 = (a - 1)^2 + (-2a)^2 - (4a^2 + 2a - 3) = a^2 - 2a + 1 + 4a^2 - 4a^2 - 2a + 3 = a^2 - 4a + 4$$
표준형 완성 시 $r^2 = -(a + 1)^2 + 4$ 꼴에서 $a = -1$일 때 $r^2$의 최댓값은 $4$입니다.
이때 중심의 좌표: $((-1) - 1, -2(-1)) = \mathbf{(-2, 2)}$.

정답: $10\pi$

[풀이 - 3초 직관 기하 팁]
1) 세 변의 기울기를 먼저 확인합니다:
- 직선 $AB$의 기울기: $\dfrac{2 - 5}{-2 - 1} = \dfrac{-3}{-3} = 1$.
- 직선 $BC$의 기울기: $\dfrac{-4 - 2}{4 - (-2)} = \dfrac{-6}{6} = -1$.
2) 두 직선의 기울기의 곱이 $1 \times (-1) = -1$이므로 $\angle B = 90^\circ$인 직각삼각형입니다!
3) 직각삼각형의 외심은 빗변 $AC$의 중점이며, 빗변 $AC$가 외접원의 지름이 됩니다:
지름이 $10$이면 반지름 $r = 5$, 둘레는 $2\pi r = \mathbf{10\pi}$ 입니다.

정답: $16$

[풀이]
1) 중심의 좌표를 $(a, 2a - 4)$라 두면, $x$축에 접하므로 반지름 $r = |2a - 4|$ 입니다.
점 $(2, 2)$는 $x$축 위쪽($y > 0$)에 있으므로 중심의 $y$좌표도 양수입니다 $\implies r = 2a - 4$.
2) 원의 표준형 방정식: $$(x - a)^2 + \{y - (2a - 4)\}^2 = (2a - 4)^2$$
3) 점 $(2, 2)$를 대입합니다:
$$(2 - a)^2 + (6 - 2a)^2 = (2a - 4)^2 \implies a^2 - 12a + 24 = 0$$
4) 두 원의 반지름의 합은 $r_1 + r_2 = (2a_1 - 4) + (2a_2 - 4) = 2(a_1 + a_2) - 8$ 입니다.
근과 계수의 관계에 의해 $a_1 + a_2 = 12$ 이므로:
$$r_1 + r_2 = 2(12) - 8 = \mathbf{16}$$

정답: $3$

[풀이]
1) 원의 중심은 $(3, k)$이고, 반지름 제곱 $r^2 = 3^2 + k^2 - (k^2 - 16) = 25 \implies r = 5$.
2) 중심에서 $x$축까지의 거리는 $d = |k| = k$ ($k>0$).
3) 피타고라스 정리에 의해 현의 절반 길이는 $4$이므로:
$$d^2 + 4^2 = r^2 \implies k^2 + 16 = 25 \implies k^2 = 9 \implies k = \mathbf{3}$$

정답: $-4$

[풀이]
1) 두 점 $A, B$가 모두 제1사분면에 있으므로 원의 중심 $(a, b)$에서 $a > 0$이고 $y$축 접촉 조건에 의해 $r = a$ 입니다.
원의 방정식: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = a^2 \implies x^2 - 2ax + (y - b)^2 = 0$.
2) 두 점 대입:
- 점 $A(1, 1)$: $2a = (1 - b)^2 + 1$.
- 점 $B(2, 4)$: $4a = (4 - b)^2 + 4$.
3) 첫 번째 식에 $2$를 곱해 연립하면 $2(1 - b)^2 + 2 = (4 - b)^2 + 4 \implies b^2 + 4b - 16 = 0$.
따라서 중심의 $y$좌표의 합은 근과 계수의 관계에 의해 $\mathbf{-4}$ 입니다.

정답: $x^2 = 4(y - 1)$

[풀이]
1) 중심을 $P(x, y)$라 하면, $x$축에 접하므로 원의 반지름은 $r = |y|$ 입니다.
점 $(0, 2)$를 지나므로 원은 $x$축 위쪽($y>0$)에 위치합니다 $\implies r = y$.
2) 중심 $P(x, y)$에서 점 $(0, 2)$까지의 거리가 반지름 $r=y$와 같아야 합니다:
$$\sqrt{(x - 0)^2 + (y - 2)^2} = y \implies x^2 + (y - 2)^2 = y^2$$
$$x^2 + y^2 - 4y + 4 = y^2 \implies x^2 - 4y + 4 = 0 \implies x^2 = 4(y - 1)$$
따라서 자취는 꼭짓점이 $(0, 1)$인 포물선이 됩니다.

정답: $3$

[풀이]
1) 두 원의 중심 $C_1(2, 3)$, $C_2(8, r)$이고 반지름은 $r_1 = 3, r_2 = r$.
2) 두 원이 외접하므로 중심 사이의 거리는 반지름의 합과 같습니다 ($d = r_1 + r_2$):
$$\sqrt{(8 - 2)^2 + (r - 3)^2} = 3 + r \implies 36 + (r - 3)^2 = (r + 3)^2$$
$$36 + r^2 - 6r + 9 = r^2 + 6r + 9 \implies 12r = 36 \implies r = \mathbf{3}$$

정답: $4\sqrt{2}$

[풀이]
1) 점 $(-2, 1)$이 제2사분면의 점이므로, 두 원의 중심은 $(-r, r)$ ($r > 0$) 꼴이며 직선 $y = -x$ 위에 있습니다.
원의 방정식: $(x + r)^2 + (y - r)^2 = r^2$.
2) 점 $(-2, 1)$을 대입합니다:
$$(-2 + r)^2 + (1 - r)^2 = r^2 \implies r^2 - 6r + 5 = 0 \implies (r - 1)(r - 5) = 0 \implies r = 1 \text{ 또는 } r = 5$$
3) 두 원의 중심 좌표는 각각 $C_1(-1, 1)$, $C_2(-5, 5)$ 입니다.
두 중심 사이의 거리: $$C_1C_2 = \sqrt{\{-5 - (-1)\}^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \mathbf{4\sqrt{2}}$$

정답: $4$개

[풀이]
1) 두 축에 동시에 접하는 원의 중심은 직선 $y = x$ 또는 $y = -x$ 위에 존재해야 합니다.
따라서 중심의 개수는 포물선 $y = x^2 - 2$와 두 직선 $y = \pm x$의 교점의 개수와 완벽히 일치합니다.
2) Case 1: $y = x^2 - 2$와 $y = x$ 연립 $\implies x^2 - x - 2 = 0 \implies x = 2, -1$ (2개).
3) Case 2: $y = x^2 - 2$와 $y = -x$ 연립 $\implies x^2 + x - 2 = 0 \implies x = -2, 1$ (2개).
따라서 만족하는 원의 총 개수는 $2 + 2 = \mathbf{4}$개입니다.

정답: $\sqrt{2}$

[풀이]
1) 제1사분면 원이므로 $(x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2$. 점 $(1, 2)$ 대입:
$$r^2 - 6r + 5 = 0 \implies r = 1, 5$$
두 원의 방정식:
$C_1: x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$
$C_2: x^2 + y^2 - 10x - 10y + 25 = 0$
2) 두 원의 공통현의 방정식 ($C_2 - C_1 = 0$):
$$-8x - 8y + 24 = 0 \implies x + y - 3 = 0$$
3) 작은 원 $C_1$의 중심 $(1, 1)$에서 공통현 $x + y - 3 = 0$까지의 거리 $d$:
$$d = \dfrac{|1 + 1 - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$$
4) $C_1$의 반지름 $r = 1$이므로 피타고라스 정리에 의해 공통현의 전체 길이는:
$$2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{1 - \dfrac{1}{2}} = 2 \times \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \mathbf{\sqrt{2}}$$

정답: 접선은 좌표축(기울기 0과 정의 안 됨)뿐임

[풀이]
제3사분면 원은 이미 $x$축, $y$축과 원점에서 접하므로, 원점을 지나는 접선은 $x$축과 $y$축 그 자체입니다.
*실전 판별:* 중심 $(-2, -2)$에서 원점까지의 거리가 $2\sqrt{2}$이므로, 원점에서 그은 두 접선은 축과 완벽히 일치하여 좌표축 외의 다른 실선 접선은 존재하지 않습니다.

정답: $1 : 25$

[풀이]
1) 제1사분면 원: $(3 - r)^2 + (6 - r)^2 = r^2 \implies r^2 - 18r + 45 = 0$.
$$(r - 3)(r - 15) = 0 \implies r_1 = 3, r_2 = 15$$
2) 두 원의 반지름의 비(닮음비)는 $3 : 15 = 1 : 5$ 입니다.
따라서 넓이의 비는 닮음비의 제곱이므로 $1^2 : 5^2 = \mathbf{1 : 25}$ 입니다.

정답: $12$

[풀이]
1) 중심이 $(2, 2)$이고 두 축에 접하므로 반지름은 $r = 2$입니다.
2) 직선과 원이 오직 한 점에서 만난다는 것은 직선이 원에 접한다는 뜻입니다.
즉, 중심 $(2, 2)$에서 직선 $3x - 4y + k = 0$까지의 거리 $d$가 반지름 $r=2$와 같아야 합니다:
$$d = \dfrac{|3(2) - 4(2) + k|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \dfrac{|k - 2|}{5} = 2$$
3) 절댓값 방정식을 풀면:
$$|k - 2| = 10 \implies k - 2 = \pm 10 \implies k = 12 \text{ 또는 } k = -8$$
문제에서 양수 $k$를 구하라 하였으므로 정답은 $\mathbf{12}$ 입니다.