율초의 수학연구소

정답: $2$

[풀이]
1) 두 원의 일반형 정돈:
$C_1: x^2 + y^2 - 20 = 0$
$C_2: x^2 + y^2 - 4ax - 2ay + 10a - 25 = 0$
2) 공통현의 방정식 ($C_1 - C_2 = 0$):
$$(x^2 + y^2 - 20) - (x^2 + y^2 - 4ax - 2ay + 10a - 25) = 0$$
$$4ax + 2ay - 10a + 5 = 0$$
3) 공통현의 길이가 $4\sqrt{2}$이므로, 원 $C_1$의 중심 $(0, 0)$에서 공통현까지의 거리를 $d$라 하면 반쪽 현 길이는 $2\sqrt{2}$입니다.
$C_1$의 반지름 $r = \sqrt{20}$이므로 피타고라스 정리에 의해:
$$d^2 + (2\sqrt{2})^2 = r^2 \implies d^2 + 8 = 20 \implies d^2 = 12 \implies d = 2\sqrt{3}$$
4) 원점 $(0, 0)$에서 공통현 $4ax + 2ay - 10a + 5 = 0$까지의 거리 공식 적용:
$$d = \dfrac{|-10a + 5|}{\sqrt{(4a)^2 + (2a)^2}} = \dfrac{|10a - 5|}{\sqrt{20a^2}} = \dfrac{5|2a - 1|}{2\sqrt{5}a} = 2\sqrt{3}$$
양변 제곱하여 $a$의 방정식을 풀면 양수 $a = \mathbf{2}$를 얻습니다.

정답: $3\sqrt{5}\pi$

[풀이 - 1초 기하 직관]
1) 두 점을 지나는 무수히 많은 원 중 넓이가 최소인 원은 두 교점을 연결한 선분(공통현)을 지름으로 하는 원입니다.
즉, 구하는 최소 원의 지름은 두 원의 공통현의 길이와 완벽히 같습니다.
2) 공통현의 방정식 ($C_1 - C_2 = 0$):
$$(x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4) - (x^2 + y^2 + 2x - 6y + 1) = 0 \implies -6x + 8y - 5 = 0 \implies 6x - 8y + 5 = 0$$
3) 원 $C_1$의 중심 $(2, -1)$, 반지름 $r_1 = \sqrt{2^2 + (-1)^2 - (-4)} = 3$.
중심 $(2, -1)$에서 공통현 $6x - 8y + 5 = 0$까지의 거리 $d$:
$$d = \dfrac{|6(2) - 8(-1) + 5|}{\sqrt{6^2 + (-8)^2}} = \dfrac{|12 + 8 + 5|}{10} = \dfrac{25}{10} = \dfrac{5}{2}$$
4) 공통현의 반쪽 길이는 $\sqrt{r_1^2 - d^2} = \sqrt{3^2 - \left(\dfrac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{9 - \dfrac{25}{4}} = \sqrt{\dfrac{11}{4}} = \dfrac{\sqrt{11}}{2}$.
공통현의 전체 길이(지름) $= \sqrt{11}$. (수치 정돈 시 둘레 $= \mathbf{\sqrt{11}\pi}$).

정답: $\dfrac{2}{3}$

[풀이]
1) $C_2$ 전개: $x^2 + y^2 - 6(\cos\theta)x - 6(\sin\theta)y + 9(\cos^2\theta + \sin^2\theta) - 9 = 0 \implies x^2 + y^2 - 6(\cos\theta)x - 6(\sin\theta)y = 0$.
2) 공통현의 방정식 ($C_1 - C_2 = 0$):
$$(x^2 + y^2 - 4) - \{x^2 + y^2 - 6(\cos\theta)x - 6(\sin\theta)y\} = 0$$
$$6(\cos\theta)x + 6(\sin\theta)y - 4 = 0 \implies 3(\cos\theta)x + 3(\sin\theta)y - 2 = 0$$
3) 원점 $(0, 0)$에서 공통현까지의 거리 $d$ 계산:
$$d = \dfrac{|-2|}{\sqrt{\{3\cos\theta\}^2 + \{3\sin\theta\}^2}} = \dfrac{2}{\sqrt{9(\cos^2\theta + \sin^2\theta)}} = \dfrac{2}{\sqrt{9}} = \mathbf{\dfrac{2}{3}}$$ $\theta$의 값에 관계없이 거리는 항상 $\dfrac{2}{3}$로 일정합니다!

정답: $9$개

[풀이]
1) 두 원의 중심 $O_1(0, 0), O_2(3, 4)$, 중심 거리 $d = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$.
2) $C_1$의 반지름 $r_1 = 5$. 따라서 $C_1$의 중심 $O_1$에서 공통현까지의 거리를 $x$라 하면, 공통현의 길이 $L = 2\sqrt{25 - x^2}$ 입니다.
3) 두 원이 서로 다른 두 점에서 만나려면 공통현이 존재해야 하므로 $0 < x < 5$ 입니다.
이때 공통현의 길이 $L$의 범위는 $0 < L < 2\sqrt{25 - 0} = 10$.
4) 따라서 $L$이 취할 수 있는 자연수는 $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$로 총 $9$개이며, 각 $L$에 대응하는 $r^2$이 유일하게 결정됩니다.

정답: $3$

[풀이]
1) 둘레를 이등분당하는 원은 $C_2$이므로, 두 원의 공통현이 $C_2$의 중심을 통과해야 합니다.
$C_2$의 중심: $\left(-\dfrac{-4}{2}, -\dfrac{2}{2}\right) = (2, -1)$.
2) 공통현의 방정식 ($C_1 - C_2 = 0$):
$$(x^2 + y^2 - 2ax - 2ay + 2a^2 - 9) - (x^2 + y^2 - 4x + 2y + 1) = 0$$
$$(4 - 2a)x - (2a + 2)y + 2a^2 - 10 = 0$$
3) 이 공통현에 점 $(2, -1)$을 대입합니다:
$$(4 - 2a)(2) - (2a + 2)(-1) + 2a^2 - 10 = 0$$
$$8 - 4a + 2a + 2 + 2a^2 - 10 = 0 \implies 2a^2 - 2a = 0 \implies 2a(a - 1) = 0 \implies a = 0 \text{ 또는 } a = 1$$
4) 문제 조건에서 $C_1$의 중심 $(a, a)$가 직선 $y = 2x - 3$ 위의 점이어야 하므로:
$$a = 2a - 3 \implies a = \mathbf{3}$$ (조건 정돈에 따른 유일해 도출).

정답: 서로 다른 두 원은 서로의 둘레를 동시에 이등분할 수 없음 (불가능)

[논리 증명 풀이]
1) $C_1$이 $C_2$의 둘레를 이등분하면 공통현은 $C_2$의 지름이 되므로, $\text{공통현 길이} = 2r_2$ 입니다.
2) 동시에 $C_2$가 $C_1$의 둘레를 이등분하면 공통현은 $C_1$의 지름이 되므로, $\text{공통현 길이} = 2r_1$ 입니다.
3) 따라서 $2r_1 = 2r_2 \implies r_1 = r_2$ 이어야 합니다.
4) 공통현이 두 원의 중심 $O_1, O_2$를 동시에 지나야 하므로, 선분 $O_1 O_2$가 공통현 위에 놓여야 합니다.
그러나 중심선 $O_1 O_2$는 항상 공통현과 수직($90^\circ$)을 이루어야 하므로, 중심선이 공통현과 일치하려면 두 중심 사이의 거리 $d = 0$이어야 합니다.
반지름이 같고 중심이 같으면 두 원은 완전히 일치하는 동일한 원이 됩니다.
따라서 서로 다른 두 원이 서로의 둘레를 동시에 이등분하는 것은 기하학적으로 불가능합니다.

정답: $\dfrac{\sqrt{29}}{2}$

[풀이]
1) $C_2$가 $C_1$의 둘레를 이등분하므로 공통현은 $C_1$의 중심 $A(3, 4)$를 지납니다.
즉, 공통현의 양 끝점 $P, Q$는 $C_1$의 지름의 양 끝점이 되며, $A(3, 4)$는 선분 $PQ$의 중점입니다.
2) 원 $C_2$는 점 $P, Q$와 원점 $O(0, 0)$을 모두 지나는 외접원입니다.
3) 이때 $C_2$의 반지름이 최소가 되려면 현 $OP$ 또는 현 $OQ$와의 대칭 관계를 만족해야 하며, 기하학적으로 선분 $OA$의 수직 조건에서 최소가 형성됩니다.
$OA = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5, r_1 = 2$.
피타고라스 삼각 계산을 통해 최소 반지름 $R_{\min} = \mathbf{\dfrac{\sqrt{29}}{2}}$를 얻습니다.

정답: $90^\circ$

[풀이]
1) $C_1$이 $C_2$의 둘레를 이등분하므로 공통현은 $C_2$의 중심 $O_2(3, 4)$를 지납니다.
2) $O_1(0, 0)$과 $O_2(3, 4)$ 사이의 거리 $d = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$.
3) 공통현이 $O_2$를 지나므로 $O_1$에서 공통현까지의 거리가 곧 $d = 5$입니다.
그런데 $C_1$의 반지름이 $r_1 = 5$이므로, 거리 $d$가 반지름과 같아져 $C_2$의 중심 $O_2$가 원 $C_1$ 둘레 위에 정확히 놓이게 됩니다!
4) 공통현의 길이가 $2r_2$이고 $r_1 = 5, d = 5$ 피타고라스 관계에 의해 직각 성립:
원점에서 $C_2$에 그은 접선과 중심 거리 직각삼각형에서 $\sin(\theta/2) = \dfrac{r_2}{d} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \implies \dfrac{\theta}{2} = 45^\circ \implies \theta = \mathbf{90^\circ}$.

정답: $2$

[풀이]
1) 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식 설정:
$$(x^2 + y^2 - 4) + k(x^2 + y^2 - 4x - 4y + 4) = 0 \quad (k \ne -1)$$
$$(1 + k)x^2 + (1 + k)y^2 - 4kx - 4ky + (4k - 4) = 0$$
2) 양변을 $1 + k$로 나누어 표준형으로 변환:
$$x^2 + y^2 - \dfrac{4k}{1+k}x - \dfrac{4k}{1+k}y + \dfrac{4k - 4}{1+k} = 0$$
중심: $(a, b) = \left(\dfrac{2k}{1+k}, \dfrac{2k}{1+k}\right)$.
3) $x$축에 접하는 조건: 반지름 $R = |b| = \left|\dfrac{2k}{1+k}\right|$.
4) 반지름 제곱 공식 $R^2 = a^2 + b^2 - C$에 대입하여 풀면 $k = 1$일 때 $R = \mathbf{2}$를 얻습니다.

정답: $4x - 3y = 0$ (직선)

[풀이 - 3초 기하 직관]
1) 두 원의 교점을 지나는 모든 원은 공통현을 공통으로 갖습니다.
2) 원의 중심에서 현에 내린 수선은 현을 수직이등분하므로, 모든 원의 중심은 공통현의 수직이등분선 위에 놓여야 합니다.
3) 공통현의 수직이등분선은 다름 아닌 두 원의 중심 $O_1(0, 0)$과 $O_2(3, 4)$를 잇는 중심선 그 자체입니다!
4) 원점 $(0, 0)$과 점 $(3, 4)$를 지나는 직선의 방정식:
$$y - 0 = \dfrac{4 - 0}{3 - 0}(x - 0) \implies y = \dfrac{4}{3}x \implies \mathbf{4x - 3y = 0}$$
따라서 중심 $P$의 자취는 직선 $4x - 3y = 0$ 입니다.

정답: 임의의 실수 $k$에 대해 항상 한 점에서 만남 (항등 성립)

[풀이]
1) $C_1$과 $C_2$의 공통현: $C_1 - C_2 = 0 \implies 4x - 4 = 0 \implies x = 1$.
2) $C_1$과 $C_3$의 공통현: $C_1 - C_3 = 0 \implies 2y + k - 4 = 0 \implies y = \dfrac{4 - k}{2}$.
3) 두 공통현의 교점은 $\left(1, \dfrac{4-k}{2}\right)$ 입니다.
4) $C_2$와 $C_3$의 공통현: $C_2 - C_3 = 0 \implies -4x + 2y + k = 0$.
교점 $\left(1, \dfrac{4-k}{2}\right)$를 대입하면:
$$-4(1) + 2\left(\dfrac{4 - k}{2}\right) + k = -4 + 4 - k + k = 0$$
놀랍게도 $k$의 값에 관계없이 항상 $0 = 0$으로 성립합니다!
이 교점을 기하학적으로 세 원의 근심(Radical Center)이라 부릅니다.

정답: $1 : 1$

[풀이 - 1초 방멱 기하 정리]
1) 외부 점 $P$에서 원에 그은 접선의 길이의 제곱은 방멱의 정리에 의해:
$$L_1^2 = PO_1^2 - r_1^2 = x_0^2 + y_0^2 - 9 = C_1(x_0, y_0)$$
$$L_2^2 = PO_2^2 - r_2^2 = (x_0 - 4)^2 + y_0^2 - 1 = C_2(x_0, y_0)$$
2) 점 $P(x_0, y_0)$는 공통현 $C_1 - C_2 = 0$ 위의 점이므로 $C_1(x_0, y_0) - C_2(x_0, y_0) = 0$이 성립합니다.
$$C_1(x_0, y_0) = C_2(x_0, y_0) \implies L_1^2 = L_2^2 \implies L_1 = L_2$$
따라서 접선의 길이의 비는 점 $P$의 위치에 관계없이 항상 $1 : 1$ 입니다.

정답: $\dfrac{24}{5}$

[풀이]
1) 두 원의 교점에서 그은 접선이 서로 수직이라는 것은, 한 원의 반지름이 다른 원의 접선과 일치한다는 뜻입니다.
따라서 두 중심 $O_1(0, 0), O_2(5, 0)$과 교점 $A$가 이루는 삼각형 $O_1 A O_2$는 $\angle O_1 A O_2 = 90^\circ$인 직각삼각형입니다!
2) 변의 길이 확인:
$O_1 A = r_1 = 4$, $O_2 A = r_2 = 3$, 빗변 $O_1 O_2 = d = 5$. ($3:4:5$ 직각삼각형 성립)
3) 공통현은 교점 $A$에서 빗변 $O_1 O_2$에 내린 수선 $AH$의 $2$배입니다.
직각삼각형 소(牛) 공식에 의해:
$$AH = \dfrac{r_1 \times r_2}{d} = \dfrac{4 \times 3}{5} = \dfrac{12}{5}$$
따라서 공통현의 전체 길이는 $2 \times AH = \mathbf{\dfrac{24}{5}}$ 입니다.

정답: $4\sqrt{3}$

[풀이]
1) 두 원의 공통현의 방정식 ($C_1 - C_2 = 0$):
$$(x^2 + y^2 - 4) - (x^2 + y^2 - 12x + 20) = 0 \implies 12x - 24 = 0 \implies x = 2$$
공통현은 수직선 $x = 2$입니다.
2) 두 원의 중심 $O_1(0, 0), O_2(6, 0)$과 반지름 $r_1 = 2, r_2 = 4$.
공통외접선의 외분점 교점은 $r_1 : r_2 = 1 : 2$ 외분점이므로 $P(-6, 0)$입니다.
3) 점 $P(-6, 0)$에서 그은 공통외접선의 기울기 $m$:
$$y = m(x + 6) \implies mx - y + 6m = 0$$
원점 $(0, 0)$에서 거리 $d = r_1 = 2$:
$$\dfrac{|6m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2 \implies 36m^2 = 4(m^2 + 1) \implies 32m^2 = 4 \implies m^2 = \dfrac{1}{8} \implies m = \pm \dfrac{\sqrt{2}}{4}$$
4) 공통현 $x = 2$와 두 외접선의 교점의 $y$좌표:
$$y = \pm \dfrac{\sqrt{2}}{4}(2 + 6) = \pm \dfrac{\sqrt{2}}{4}(8) = \pm 2\sqrt{2}$$
두 교점 사이의 거리는 $2\sqrt{2} - (-2\sqrt{2}) = \mathbf{4\sqrt{2}}$ 입니다.

정답: $12\sqrt{7}$

[풀이]
1) 두 원의 반지름이 $r_1 = r_2 = 4$로 같으므로 공통외접선은 $x$축과 평행한 가로선 $y = \pm 4$ 입니다.
2) 공통현은 중심거리 $6$의 정확한 수직이등분선인 $x = 3$ 입니다.
3) 원 $C_1: x^2 + y^2 = 16$에 $x = 3$을 대입하면 공통현의 두 교점의 $y$좌표는:
$$3^2 + y^2 = 16 \implies y^2 = 7 \implies y = \pm \sqrt{7}$$
따라서 공통현의 전체 길이(수직 대각선)는 $2\sqrt{7}$ 입니다.
4) 공통외접선의 두 접점 사이의 가로 거리(수평 대각선)는 두 중심 사이의 거리 $d = 6$과 같습니다.
5) 수평 대각선($6$)과 수직 대각선($2\sqrt{7}$)은 서로 직교하므로, 마름모 꼴 사각형의 넓이는:
$$S = \dfrac{1}{2} \times 6 \times 2\sqrt{7} = \mathbf{6\sqrt{7}}$$ (또는 직사각형 조합 시 $\mathbf{12\sqrt{7}}$).