앞서 다룬 [실전개념 ①] 에서는 원의 정의와 평행이동, 사분면별 축 접촉을 정복했고, [실전개념 ②] 에서는 판별식을 버리고 중심 거리 $d$와 반지름 $r$로 원과 직선의 접선·극선을 완벽히 지배했습니다. 이제 원의 방정식 대단원을 완성하는 마지막 퍼즐, '두 원 사이의 기하학적 상호작용' 을 마스터할 차례입니다. 두 원이 만나는 문제를 마주하면 대다수의 학생들은 두 원의 방정식을 무작정 연립하여 $x, y$ 교점의 좌표를 구하려고 합니다. 하지만 두 원의 교점 좌표는 대부분 복잡한 무리수나 분수로 떨어져 계산 실수로 이어집니다. 두 원의 교점을 직접 구하지 않고 항등식의 원리($k$)로 교점을 지나는 새로운 원을 한 번에 정의하며, $k = -1$을 대입해 이차항을 소거함으로써 두 원의 교점을 관통하는 공통현(직선)을 단 3초 만에 유도하는 기하학적 통찰 이 필요합니다. 이번 실전개념 ③에서는 중심 거리 $d$와 두 반지름 $r_1, r_2$의 대소 관계로 판별하는 두 원의 5대 위치관계 부터 동적 변화 시뮬레이션 , 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식 , 공통현의 길이 피타고라스 해법 , 그리고 내신 변별 1순위인 한 원이 다른 원의 둘레를 이등분하는 킬러 조건 까지 완벽하게 총정리합니다. 💡 [실전개념 ③] 두 원의 상호작용 4대 핵심 행동 강령 (Checklist) 교점 좌표 계산 금지: 두 원의 교점을 직접 연립하지 말고, 항상 항등식 $C_1 + kC_2 = 0$을 세운다. 공통현은 $k = -1$ (이차항 소거): 두 원의 일반형을 통째로 빼면($C_1 - C_2 = 0$) $x^2, y^2$이 사라지며 두 교점을 지나는 유일한 직선(공통현)이 된다. 공통현의 길이는 피타고라스: 공통현 직선과 한 원의 중심 사이 거리 $d$를 구한 뒤 $\text{현} = 2\sqrt{r^2 - d^2}$로 ...
앞서 다룬 [실전개념 ①]에서는 "모든 원의 뿌리는 원점 $x^2 + y^2 = r^2$이며, 중심 $(a, b)$는 평행이동의 결과일 뿐"이라는 좌표 평행이동의 본질과 축 접촉 4대 조건을 확립했습니다. 이제 원의 방정식에서 가장 출제 비중이 높고 시험 시간의 성패를 가르는 원과 직선의 상호작용으로 나아갈 차례입니다.
수많은 학생들이 원과 직선이 만나는 문제를 마주하면 기계적으로 직선의 식 $y = mx + n$을 원의 방정식에 대입해 $x$에 관한 복잡한 2차방정식을 만들고, 판별식 $D = 0$이나 $D > 0$을 전개하다가 분수 계산의 늪에 빠져 자멸합니다. 하지만 원은 모든 방향으로 완벽한 대칭성을 지닌 도형입니다. 대수적인 2차 연립방정식을 완전히 버리고, 원의 중심에서 직선까지의 수직 거리 $d$와 반지름 $r$을 직관적으로 비교하는 기하학적 관점을 세우는 순간, 모든 접선과 거리의 문제는 단 3줄 만에 암산으로 풀리기 시작합니다.
이번 실전개념 ②에서는 원과 직선의 3대 위치관계부터 접선 공식 3종, 점과 원 사이 거리의 극값($d \pm r$), 원 밖의 점에서 그은 극선(Polar Line)의 3초 공식, 그리고 공통외접선·공통내접선의 피타고라스 직각삼각형 구조까지 완벽하게 총정리합니다.
💡 [실전개념 ②] 원과 직선 5대 정복 로드맵 (Checklist)
1. 판별식 금지 헌장: $D$ 대신 원의 중심에서 직선까지의 수직 거리 $d$와 반지름 $r$을 비교한다 ($d > r, d = r, d < r$).
2. 접선의 3대 공식: 기울기 $m$ 주어질 때, 원 위의 점 $(x_1, y_1)$ 주어질 때, 원 밖의 점 $(x_0, y_0)$ 주어질 때의 법선 직관.
3. 원 위의 동점 거리 극값: 매개변수 삼각함수를 잡지 말고 중심 거리 $d$ 기준 $d \pm r$을 적용한다.
4. 극선의 방정식 (Polar Line): 원 밖의 점에서 그은 두 접점의 직선은 접선 공식과 동일한 $x_0 x + y_0 y = r^2$이다.
5. 공통접선의 피타고라스: 공통외접선은 반지름의 차 $(r_1 - r_2)$, 공통내접선은 반지름의 합 $(r_1 + r_2)$을 밑변으로 삼는다.
1. 판별식($D=0$) 금지 헌장: 중심 거리 $d$와 반지름 $r$의 비교
원 $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$과 직선 $Ax + By + C = 0$의 위치관계를 조사할 때, $y$를 소거하여 2차방정식을 세우는 것은 시험장에서 시간을 버리는 최악의 습관입니다. 원의 중심 $C(a, b)$에서 직선까지의 수직 거리 $d = \dfrac{|Aa + Bb + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$와 반지름 $r$의 크기만 비교하면 3초 만에 위치가 판별됩니다.
▲ 원과 직선의 위치관계: $d < r$일 때는 직선이 원 내부를 가로질러 서로 다른 두 교점과 현을 형성합니다.
$d > r$ (만나지 않는다): 원과 직선 사이의 교점이 존재하지 않으며, 원 위의 점과 직선 사이의 최단거리는 $d - r$이 됩니다.
$d = r$ (접한다, 교점 1개): 직선이 원의 접선(Tangent Line)이 되며, 원의 중심과 접점을 이은 선분은 접선과 수직($90^\circ$)을 이룹니다.
$d < r$ (서로 다른 두 점, 교점 2개): 직선이 원을 가르고 지나가는 할선(Secant Line)이 되며, 잘린 현의 길이는 피타고라스 정리에 의해 항상 $2\sqrt{r^2 - d^2}$로 계산됩니다.
[기본 확인 예제 1: 위치관계와 현의 길이]
원 $x^2 + y^2 = 20$과 직선 $2x - y + 5 = 0$이 서로 다른 두 점에서 만날 때, 잘린 현의 길이를 구하시오.
👉 풀이 및 정답 확인하기
정답: $2\sqrt{15}$ [풀이]
1) 원의 중심 $(0, 0)$, 반지름 $r = \sqrt{20}$.
2) 중심에서 직선까지의 수직 거리 $d$:
$$d = \dfrac{|2(0) - 0 + 5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \dfrac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$$
3) $d = \sqrt{5} < r = \sqrt{20}$ 이므로 서로 다른 두 점에서 만납니다.
피타고라스 정리에 의해 현의 반쪽 길이는 $\sqrt{r^2 - d^2} = \sqrt{20 - 5} = \sqrt{15}$.
따라서 현의 전체 길이는 $2 \times \sqrt{15} = \mathbf{2\sqrt{15}}$ 입니다.
2. 원의 접선의 방정식 3대 공식
(1) 기울기 $m$이 주어졌을 때
기울기가 $m$인 접선의 방정식은 원점에서의 거리 $d = r$에 의해 다음과 같이 완성됩니다:
$$y = mx \pm r\sqrt{m^2 + 1}$$
*평행이동된 원 $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$에서는 $y - b = m(x - a) \pm r\sqrt{m^2 + 1}$로 확장합니다.
(2) 원 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선
반지름과 접선의 수직 관계($m_1 m_2 = -1$)에 의해 즉각 도출됩니다:
$$x_1 x + y_1 y = r^2$$
*암기 팁: $x^2 \to x_1 x$, $y^2 \to y_1 y$로 문자 하나에 접점 좌표를 대입하면 즉각 완성됩니다.
(3) 원 밖의 점 $(x_0, y_0)$에서 그은 접선 (수직선 누락 함정 주의!)
원 밖의 점을 지나는 접선은 항상 2개 존재합니다. 점 $(x_0, y_0)$를 지나는 직선을 $y - y_0 = m(x - x_0) \implies mx - y - mx_0 + y_0 = 0$으로 잡고, 중심 거리 $d = r$을 적용하여 기울기 $m$에 관한 2차방정식을 풉니다.
⚠️ 1등급 킬러 함정 (기울기 $m$이 1개만 나오는 경우):
접선 중 하나가 $y$축과 평행한 수직선($x = x_0$)일 때, $m$에 대한 2차항이 소거되어 $m$이 1개만 구해집니다. 이때 나머지 한 접선은 반드시 수직선 $x = x_0$임을 그림을 통해 즉시 찾아내야 합니다.
[기본 확인 예제 2: 원 밖의 점에서 그은 접선]
점 $P(2, 4)$에서 원 $x^2 + y^2 = 4$에 그은 두 접선의 방정식을 구하시오.
👉 풀이 및 정답 확인하기
정답: $x = 2$ 및 $3x - 4y + 10 = 0$ [풀이]
1) 점 $(2, 4)$를 지나는 직선: $y - 4 = m(x - 2) \implies mx - y - 2m + 4 = 0$.
2) 원점 $(0, 0)$에서 거리 $d = r = 2$ 적용:
$$\dfrac{|-2m + 4|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2 \implies |m - 2| = \sqrt{m^2 + 1}$$
양변 제곱: $m^2 - 4m + 4 = m^2 + 1 \implies -4m = -3 \implies m = \dfrac{3}{4}$.
3) $m = \dfrac{3}{4}$ 대입: $3x - 4y + 10 = 0$.
4) 수직 접선 확인: $m$이 1개만 나왔으므로, 점 $(2, 4)$의 $x$좌표가 원의 반지름 $r=2$와 일치함을 파악하여 나머지 한 접선은 $\mathbf{x = 2}$임을 확정합니다.
3. 점과 원 사이 거리의 최대·최소 ($d \pm r$ 법칙)
원 위의 임의의 점 $P$와 외부의 정점 $A(x_1, y_1)$ 사이의 거리 $AP$를 구할 때, 점 $P$의 좌표를 미지수로 두는 것은 불가능에 가깝습니다. 원의 중심 $C(a, b)$와 정점 $A$를 잇는 중심선을 그으면 최대·최소가 1초 만에 결정됩니다.
▲ 점과 원 위의 점 사이의 거리는 중심 거리 $d$에 반지름 $r$을 빼고 더한 $d \pm r$이 극값이 됩니다.
- 중심 거리 $d$: 정점 $A$와 중심 $C$ 사이의 거리 $d = \overline{AC}$
- 최솟값 ($m$): $m = d - r$ (선분 $AC$가 원과 만나는 가장 가까운 점)
- 최댓값 ($M$): $M = d + r$ (반직선 $AC$의 연장선이 원과 만나는 가장 먼 점)
- 방멱 정리 치트키: $M \times m = (d + r)(d - r) = \mathbf{d^2 - r^2}$ (외부 점에서 그은 접선 길이의 제곱과 항상 일치)
[기본 확인 예제 3: 거리의 최대·최소와 방멱]
점 $A(4, 3)$과 원 $x^2 + y^2 = 4$ 위의 임의의 점 $P$에 대하여 선분 $AP$의 길이의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 할 때, $M \times m$의 값을 구하시오.
👉 풀이 및 정답 확인하기
정답: $21$ [풀이]
1) 원점 $O(0, 0)$과 점 $A(4, 3)$ 사이의 중심 거리 $d = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$.
2) 원의 반지름 $r = 2$.
3) 최댓값 $M = d + r = 5 + 2 = 7$, 최솟값 $m = d - r = 5 - 2 = 3$.
따라서 $M \times m = 7 \times 3 = \mathbf{21}$ 입니다.
*(치트키: $M \times m = d^2 - r^2 = 5^2 - 2^2 = 25 - 4 = 21$로 1초 만에 확인 가능)*
4. 원 밖의 점에서 그은 두 접점의 직선 (극선의 방정식, Polar Line)
원 밖의 점 $P(x_0, y_0)$에서 원 $x^2 + y^2 = r^2$에 두 접선을 그었을 때, 두 접점 $A, B$를 지나는 직선(접현)의 방정식은 놀랍게도 원 위의 점 접선 공식과 완벽히 동일합니다.
▲ 극선(Polar Line): 원 밖의 점 $P(x_0, y_0)$에서 그은 두 접점 $A, B$를 잇는 직선의 방정식은 접선 공식과 동일한 $x_0 x + y_0 y = r^2$ 입니다.
⚡ 극선 공식 3초 유도 (쌍대성 직관)
1. 두 접점을 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$라 하면 각 접선은 $x_1 x + y_1 y = r^2$, $x_2 x + y_2 y = r^2$ 입니다.
2. 두 접선 모두 점 $P(x_0, y_0)$를 지나므로 $x_1 x_0 + y_1 y_0 = r^2$, $x_2 x_0 + y_2 y_0 = r^2$이 성립합니다.
3. 이 식은 직선 $x_0 x + y_0 y = r^2$ 위에 점 $A$와 점 $B$가 동시에 놓여 있다는 것을 의미하므로, 이 직선이 곧 두 접점을 지나는 극선의 방정식입니다.
💡 접현의 길이(선분 $AB$) 소(牛) 공식 기하 해법:
접점 좌표를 연립해서 구하지 마세요. 직각삼각형 $OAP$에서 반지름 $r$, 중심거리 $d$, 접선길이 $\sqrt{d^2 - r^2}$이므로, 넓이 관계(밑변 $\times$ 높이)에 의해 현의 절반 길이는 $\dfrac{r\sqrt{d^2 - r^2}}{d}$가 됩니다. 전체 길이는 그 $2$배입니다.
[기본 확인 예제 4: 극선의 방정식과 접현 길이]
점 $P(3, 4)$에서 원 $x^2 + y^2 = 5$에 그은 두 접선의 접점을 $A, B$라 할 때, 직선 $AB$의 방정식과 선분 $AB$의 길이를 구하시오.
👉 풀이 및 정답 확인하기
정답: 극선 $3x + 4y = 5$, 선분 $AB = 4$ [풀이]
1) 극선의 방정식: 외부 점 $(3, 4)$를 공식 $x_0 x + y_0 y = r^2$에 대입하면 $\mathbf{3x + 4y = 5}$ 입니다.
2) 선분 $AB$의 길이:
• 반지름 $r = \sqrt{5}$, 중심거리 $d = OP = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$
• 접선의 길이 $AP = \sqrt{d^2 - r^2} = \sqrt{25 - 5} = 2\sqrt{5}$
• 소(牛) 공식 적용: $OA \times AP = OP \times \left(\dfrac{AB}{2}\right) \implies \sqrt{5} \times 2\sqrt{5} = 5 \times \left(\dfrac{AB}{2}\right) \implies 10 = \dfrac{5}{2} AB \implies \mathbf{AB = 4}$
5. 공통외접선과 공통내접선의 길이 (피타고라스 직각삼각형)
두 원의 중심 사이의 거리를 $d$, 두 원의 반지름을 $r_1, r_2$ ($r_1 \ge r_2$)라 할 때, 공통접선의 길이는 중심 거리 선분 $O_1 O_2$($d$)를 빗변으로 하는 피타고라스 직각삼각형을 작도하여 단번에 구해집니다.
▲ 공통외접선 피타고라스: 두 중심을 연결한 선분 $O_1 O_2$($d$)가 빗변, 평행이동한 외접선 $O_1 H$($L_1$)가 밑변, 반지름의 차가 높이를 이루는 직각삼각형 $\triangle O_1 H O_2$가 완성됩니다.
구분
직각삼각형 높이
접점 사이 거리 공식 ($L$)
공통외접선 ($L_1$)
반지름의 차 $|r_1 - r_2|$
$L_1 = \sqrt{d^2 - (r_1 - r_2)^2}$
공통내접선 ($L_2$)
반지름의 합 $(r_1 + r_2)$
$L_2 = \sqrt{d^2 - (r_1 + r_2)^2}$
💡 제곱의 차 불변 항등식:
$$L_1^2 - L_2^2 = \{d^2 - (r_1 - r_2)^2\} - \{d^2 - (r_1 + r_2)^2\} = (r_1 + r_2)^2 - (r_1 - r_2)^2 = \mathbf{4 r_1 r_2}$$
두 원의 중심 거리 $d$에 전혀 관계없이, 두 접선 길이의 제곱의 차는 항상 두 반지름 곱의 $4$배가 됩니다.
[기본 확인 예제 5: 공통외접선과 내접선 길이]
두 원 $C_1: (x + 2)^2 + y^2 = 4$와 $C_2: (x - 6)^2 + (y - 6)^2 = 49$의 공통외접선의 길이를 구하시오.
💌율초의 한마디
원의 방정식 단원에서 성적이 정체되는 가장 큰 이유는, 중학교 때 배운 완벽한 기하 도형을 고등학교에 올라와 억지스러운 연립 2차방정식으로만 풀려고 하기 때문입니다.
원은 직선과 만날 때 언제나 직각($90^\circ$)을 만들어내고, 그 직각은 언제나 피타고라스 직각삼각형을 선물합니다.
"판별식 대신 $d=r$, 좌표 대입 대신 $d \pm r$, 접점 연립 대신 극선 공식"이라는 기하학적 3대 렌즈를 장착하세요.
수식의 무게가 덜어지는 순간, 여러분의 문제 풀이 속도는 $3$배 빨라지고 1등급의 확신이 선명해질 것입니다.
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