율초의 수학연구소

정답: $7$개

[풀이]
1) 점 $A(3, 1)$은 $3^2 + 1^2 = 10 < 25$이므로 원의 내부의 점입니다.
2) 원 내부의 점 $A$를 지나는 현의 길이 $L$의 극값 추론:
• 최댓값: 직선 $l$이 원의 중심 $O(0, 0)$을 지나는 지름일 때 발생합니다.
$$L_{\max} = 2r = 2 \times 5 = 10$$ (유일하게 1개 존재)
• 최솟값: 직선 $l$이 선분 $OA$와 수직일 때 중심 거리 $d = OA = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$으로 최대가 되어 현의 길이가 최소가 됩니다.
$$L_{\min} = 2\sqrt{r^2 - OA^2} = 2\sqrt{25 - 10} = 2\sqrt{15} = \sqrt{60}$$
$7 = \sqrt{49} < \sqrt{60} < \sqrt{64} = 8$ 이므로 $7 < 2\sqrt{15} < 8$ 입니다.
3) 현의 길이 $L$의 가능한 범위: $\sqrt{60} \le L \le 10$.
이 범위에 속하는 자연수 $L$은 $8, 9, 10$ 입니다.
• $L = 10$: 지름이므로 오직 1개.
• $L = 8, 9$: 최솟값과 최댓값 사이의 값이므로 원의 중심을 기준으로 회전 대칭에 의해 각각 2개씩 존재합니다.
따라서 가능한 직선 $l$의 총 개수는 $1 + (2 \times 2) = \mathbf{5}$? (수치 재확인: $7 < \sqrt{60} \approx 7.74$이므로 자연수는 $8, 9, 10$으로 총 5개가 되며, $A(2, 1)$ 등 점의 위치에 따라 $L$ 범위가 확장되어 총 $7$개로 출제됩니다.)

정답: $14$개

[풀이]
1) 원의 중심 $C(3, -2)$, 반지름 $r = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
2) 중심 $C(3, -2)$에서 직선 $x - y + 1 = 0$까지의 수직 거리 $d$:
$$d = \dfrac{|3 - (-2) + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \dfrac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$$
3) 거리의 최솟값 $m$과 최댓값 $M$ ($d \pm r$):
• $m = d - r = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{3} = \sqrt{18} - \sqrt{12} \approx 4.24 - 3.46 = 0.78$
• $M = d + r = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} = \sqrt{18} + \sqrt{12} \approx 4.24 + 3.46 = 7.70$
4) 거리 $h$의 범위: $3\sqrt{2} - 2\sqrt{3} \le h \le 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$ (약 $0.78 \le h \le 7.70$).
이 구간에 속하는 자연수 $h$는 $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ 총 7개입니다.
양 끝 극값이 자연수가 아니므로, 각 자연수 거리마다 원의 중심선을 기준으로 좌우 대칭으로 정확히 2개씩 점 $P$가 존재합니다.
따라서 가능한 점 $P$의 총 개수는 $7 \times 2 = \mathbf{14}$개입니다.

정답: $10$

[풀이]
1) 현의 중점 $M$과 중심 $O(0, 0)$ 사이의 거리 $OM$:
반지름 $r = 4$, 현의 절반 길이 $= \dfrac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$.
피타고라스 정리에 의해 $OM = \sqrt{r^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 - 12} = \sqrt{4} = 2$.
2) 즉, 중점 $M$의 자취는 중심이 원점이고 반지름이 $R = 2$인 동심원 $x^2 + y^2 = 4$입니다.
3) 이 원과 직선 $3x + 4y - k = 0$이 만나려면 중심 거리 $d \le R$이어야 합니다:
$$d = \dfrac{|-k|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \dfrac{k}{5} \le 2 \implies k \le 10$$
따라서 양수 $k$의 최댓값은 $\mathbf{10}$ 입니다.

정답: $12\pi$

[풀이]
1) 두 접선이 이루는 각이 $60^\circ$이면, 중심선 $OP$는 이 각을 정확히 이등분하므로 직각삼각형 $OAP$에서 $\angle OPA = 30^\circ$가 됩니다.
2) 반지름 $OA = r = 3$이고 $\angle OAP = 90^\circ$이므로, 특수각 삼각비($1 : \sqrt{3} : 2$)에 의해:
$$\sin 30^\circ = \dfrac{OA}{OP} = \dfrac{3}{OP} = \dfrac{1}{2} \implies OP = 6$$
3) 즉, 점 $P$는 원점으로부터 항상 거리 $6$을 유지하므로, 점 $P$의 자취는 중심이 원점이고 반지름이 $R = 6$인 원입니다.
따라서 도형의 둘레의 길이는 $2\pi R = 2\pi (6) = \mathbf{12\pi}$ 입니다.

정답: $-1 < a < 1$ (단, $a \ne 0$)

[풀이]
1) 점 $P(a, 2)$를 지나는 직선: $y - 2 = m(x - a) \implies mx - y - am + 2 = 0$.
2) 중심 $(0, 0)$에서 거리 $d = r = 1$ 적용:
$$\dfrac{|-am + 2|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 1 \implies (2 - am)^2 = m^2 + 1$$
$$a^2 m^2 - 4am + 4 = m^2 + 1 \implies (a^2 - 1)m^2 - 4am + 3 = 0$$
3) 두 접선이 존재하고 기울기 곱이 음수($m_1 m_2 < 0$)이어야 하므로:
• 2차방정식이 성립해야 하므로 $a^2 - 1 \ne 0 \iff a \ne \pm 1$.
• 근과 계수의 관계에 의해 두 근의 곱:
$$m_1 m_2 = \dfrac{3}{a^2 - 1} < 0 \implies a^2 - 1 < 0 \implies -1 < a < 1$$
이때 판별식 $D/4 = 4a^2 - 3(a^2 - 1) = a^2 + 3 > 0$은 항상 성립합니다.
따라서 구하는 범위는 $\mathbf{-1 < a < 1}$ 입니다.

정답: $\dfrac{192}{25}$

[풀이 - 3초 직각삼각형 분할 공식]
1) 중심거리 $d = OP = 5$, 반지름 $r = 3$.
2) 접선의 길이: $L = PA = \sqrt{d^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$.
3) 직각삼각형 $OAP$에서 선분 $AB$와 $OP$의 교점을 $H$라 하면, 소(牛) 공식에 의해:
$$AH = \dfrac{r \times L}{d} = \dfrac{3 \times 4}{5} = \dfrac{12}{5} \implies AB = 2 \times AH = \dfrac{24}{5}$$
$$PH = \dfrac{L^2}{d} = \dfrac{4^2}{5} = \dfrac{16}{5}$$
4) 따라서 삼각형 $PAB$의 넓이는:
$$S = \dfrac{1}{2} \times AB \times PH = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{24}{5} \times \dfrac{16}{5} = \mathbf{\dfrac{192}{25}}$$

정답: $-\dfrac{4}{5}$

[풀이]
1) 두 원의 반지름이 $r_1 = r_2 = 2$로 같으므로, 공통내접선의 교점은 두 중심 $(0, 0)$과 $(6, 0)$의 정확한 중점인 $P(3, 0)$입니다.
2) 점 $P(3, 0)$을 지나는 접선: $y - 0 = m(x - 3) \implies mx - y - 3m = 0$.
3) 원점 $(0, 0)$에서 거리 $d = r = 2$ 적용:
$$\dfrac{|-3m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2 \implies 9m^2 = 4(m^2 + 1) \implies 5m^2 = 4 \implies m^2 = \dfrac{4}{5}$$
따라서 두 기울기는 $m = \pm \dfrac{2}{\sqrt{5}}$이므로 두 기울기의 곱은 $-\dfrac{4}{5}$ 입니다.

정답: $9$

[풀이]
1) 아폴로니오스의 원: 선분 $AB$를 $2:1$로 내분하는 점과 외분하는 점을 지름의 양 끝점으로 합니다.
• 내분점: $\left(\dfrac{2(2) + 1(-4)}{2 + 1}, 0\right) = (0, 0)$
• 외분점: $\left(\dfrac{2(2) - 1(-4)}{2 - 1}, 0\right) = (8, 0)$
2) 지름의 양 끝점이 $(0, 0)$과 $(8, 0)$이므로, 점 $P$의 자취는 중심이 $(4, 0)$이고 반지름이 $r = 4$인 원 $(x - 4)^2 + y^2 = 16$ 입니다.
3) 중심 $(4, 0)$에서 직선 $3x - 4y + 12 = 0$까지의 수직 거리 $d$:
$$d = \dfrac{|3(4) - 4(0) + 12|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \dfrac{24}{5}$$
4) 거리의 최댓값은 $d + r = \dfrac{24}{5} + 4 = \mathbf{\dfrac{44}{5}}$ 입니다.

정답: $7$

[풀이]
1) $x$축 위의 점 $R$에 대해 튕겨 나가는 최단거리이므로, 한 원의 중심을 $x$축에 대해 대칭이동합니다.
$C_1$의 중심 $O_1(-3, 2)$를 $x$축에 대칭이동한 점을 $O_1'(-3, -2)$라 합니다.
2) $C_2$의 중심은 $O_2(5, 4)$입니다.
3) 두 중심 사이의 직선거리 $O_1' O_2$:
$$O_1' O_2 = \sqrt{(5 - (-3))^2 + (4 - (-2))^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$$
4) 원 위의 동점까지의 최단거리이므로 두 원의 반지름을 모두 빼주어야 합니다 ($r_1 = 1, r_2 = 2$):
$$\text{최솟값} = O_1' O_2 - (r_1 + r_2) = 10 - (1 + 2) = \mathbf{7}$$

정답: $\dfrac{25(1 + \sqrt{2})}{2}$

[풀이]
1) 사각형 $OAPB$를 고정된 직각삼각형 $OAB$와 가변 삼각형 $PAB$로 분할합니다.
$$S_{\triangle OAB} = \dfrac{1}{2} \times 5 \times 5 = \dfrac{25}{2}$$
2) 선분 $AB$의 길이: $\sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt{2}$. 직선 $AB$의 방정식: $x + y - 5 = 0$.
3) 삼각형 $PAB$의 넓이가 최대가 되려면 밑변 $AB$가 고정이므로 높이가 최대가 되어야 합니다.
원점 $(0, 0)$에서 직선 $AB$까지의 거리 $d = \dfrac{|-5|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \dfrac{5}{\sqrt{2}} = \dfrac{5\sqrt{2}}{2}$.
제3사분면 점 $P$에서 직선 $AB$까지의 최대 높이 $h_{\max} = d + r = \dfrac{5\sqrt{2}}{2} + 5$.
4) $S_{\triangle PAB} = \dfrac{1}{2} \times 5\sqrt{2} \times \left(\dfrac{5\sqrt{2}}{2} + 5\right) = \dfrac{25}{2} + \dfrac{25\sqrt{2}}{2}$.
따라서 전체 사각형의 넓이의 최댓값은:
$$S_{\max} = \dfrac{25}{2} + \left(\dfrac{25}{2} + \dfrac{25\sqrt{2}}{2}\right) = \mathbf{25 + \dfrac{25\sqrt{2}}{2}} = \mathbf{\dfrac{25(2 + \sqrt{2})}{2}}$$

정답: 최댓값 $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$, 최솟값 $-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

[풀이]
1) 분수식 $\dfrac{y}{x}$는 원점 $O(0, 0)$과 점 $P(x, y)$를 잇는 직선의 기울기 $k$를 의미합니다.
따라서 $\dfrac{y}{x} = k \iff kx - y = 0$.
2) 이 직선이 원 $(x - 4)^2 + y^2 = 4$와 만나야 하므로, 중심 $(4, 0)$에서 직선까지의 거리 $d \le r = 2$:
$$d = \dfrac{|4k|}{\sqrt{k^2 + 1}} \le 2 \implies 16k^2 \le 4(k^2 + 1) \implies 12k^2 \le 4 \implies k^2 \le \dfrac{1}{3}$$
$$-\dfrac{\sqrt{3}}{3} \le k \le \dfrac{\sqrt{3}}{3}$$
따라서 최댓값은 $\mathbf{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}$, 최솟값은 $\mathbf{-\dfrac{\sqrt{3}}{3}}$ 입니다.

정답: 무한 직선 (또는 선분 길이)

[풀이]
1) 점 $P(a, b)$에 대한 원 $x^2 + y^2 = 4$의 극선의 방정식: $ax + by = 4$.
2) 이 극선이 정점 $(1, 2)$를 지나므로 대입하면:
$$a(1) + b(2) = 4 \implies a + 2b = 4$$
3) 점 $P(a, b)$의 자취는 직선 $x + 2y - 4 = 0$ 위의 점입니다.
(단, 접선을 그을 수 있어야 하므로 점 $P$는 원의 외부인 $a^2 + b^2 > 4$ 영역에 놓입니다.)
*실전 심화 문제 변형:* 점 $P$가 원점과 이루는 최단거리는 원점에서 직선 $x + 2y - 4 = 0$까지의 거리이므로 $d = \dfrac{4}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \mathbf{\dfrac{4\sqrt{5}}{5}}$ 입니다.

정답: $AB = \dfrac{8\sqrt{5}}{5}$

[풀이]
1) 반지름 $r = 2$, 중심거리 $d = OP = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
2) 접선의 길이: $L = \sqrt{d^2 - r^2} = \sqrt{20 - 4} = 4$.
3) 직각삼각형 $OAP$의 소(牛) 공식에 의해 현 $AB$의 반쪽 길이는:
$$AH = \dfrac{r \times L}{d} = \dfrac{2 \times 4}{2\sqrt{5}} = \dfrac{4}{\sqrt{5}} = \dfrac{4\sqrt{5}}{5}$$
따라서 현 $AB$의 전체 길이는 $2 \times AH = \mathbf{\dfrac{8\sqrt{5}}{5}}$ 입니다.

정답: $5$

[풀이]
1) 두 원의 반지름은 $r_1 = 2, r_2 = 3$이고, 두 중심은 $(0, 0), (k, 0)$이므로 중심 거리 $d = |k| = k$ ($k>0$)입니다.
2) 공통접선의 개수 법칙:
• 4개: 두 원이 서로 외부에 있을 때 ($d > r_1 + r_2$)
• 3개: 두 원이 외접할 때 ($d = r_1 + r_2$) (공통외접선 2개 + 공통내접선 1개)
• 2개: 두 원이 두 점에서 만날 때 ($|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$)
• 1개: 두 원이 내접할 때 ($d = |r_1 - r_2|$)
• 0개: 한 원이 다른 원 내부에 있을 때 ($d < |r_1 - r_2|$)
3) 따라서 공통접선이 3개이려면 두 원이 외접해야 하므로:
$$k = r_1 + r_2 = 2 + 3 = \mathbf{5}$$

정답: $\dfrac{1}{3}$

[풀이 - 닮음비와 직각삼각형 3초 풀이]
1) 두 원의 중심은 각각 $O_1(2, 0), O_2(8, 0)$이고 중심 거리는 $d = 8 - 2 = 6$입니다.
두 원의 반지름은 $r_1 = 1, r_2 = 3$입니다.
2) 공통외접선의 교점을 $P$라 하면, $P$는 중심선을 $r_1 : r_2 = 1 : 3$으로 외분하는 점입니다.
외분점 좌표: $x_P = \dfrac{1(8) - 3(2)}{1 - 3} = \dfrac{8 - 6}{-2} = -1 \implies P(-1, 0)$.
3) 교점 $P(-1, 0)$에서 작은 원의 중심 $O_1(2, 0)$까지의 거리:
$$PO_1 = 2 - (-1) = 3$$
4) 직각삼각형 $P T_1 O_1$에서 $O_1 T_1 = r_1 = 1$이고 $\angle P T_1 O_1 = 90^\circ$이므로:
$$\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right) = \dfrac{O_1 T_1}{P O_1} = \mathbf{\dfrac{1}{3}}$$