[수능D-48] 수능수학 1등급 올리기 - 확통 킬러 28번 정복: 조건부확률 표본공간 축소 & 독립시행 좌표 이동 10대 유형
[확통 킬러] 28번 정복: 조건부확률 표본공간 축소 & 독립시행 좌표 이동 10대 평가원 복합유형
수능 확률과 통계에서 1등급을 결정짓는 객관식 최고 변별력 문항은 단연 **28번**입니다. 최근 평가원 수능 28번은 단순 주사위 독립시행이나 단순 공 꺼내기 같은 내신형 문항을 완전히 탈피하여, "경로 누적 점수", "흡수 장벽(특정 좌표 도달 시 규칙 변경)", "다단계 비복원 추출과 사건의 종속성"이 결합된 복합 다층 구조로 출제됩니다.
복합 킬러 문항을 마주했을 때 공식 $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$에 모든 분기 확률을 곱해 전개하면 계산 실수로 이어지기 쉽습니다. 평가원이 요구하는 1등급 풀이의 본질은 **"사건 $B$가 일어난 분기들 사이의 상대적 가중치(경우의 수 및 독립시행 확률 비)를 정확히 추출하여 새로운 축소 표본공간을 구축하는 것"**입니다.
- 경로 중단(흡수 장벽) 역추적: '처음으로 특정 좌표 도달' 조건은 직전 단계까지의 영역 제한(경계 통과 불가)을 수형도로 반드시 선별한다.
- 시행 가중치의 정수비 치환: 각 분기의 기본 확률이 다를 때, 공통 분모를 소거하여 정수 가중치로 표본공간을 재구성한다.
- 시행 횟수와 점수의 2원 1차 연립화: 복합 이동 규칙을 $x$회, $n-x$회로 두고 끝점의 좌표 및 누적 점수 관계식을 방정식으로 우선 확정한다.
1. 평가원 28번 킬러를 꿰뚫는 3대 복합 접근법
원리 1. 가중치 기반 축소 표본공간 (Weighted Sub-Universe)
평가원 킬러는 각 사건 경로마다 확률 가중치가 서로 다릅니다. 이때 전체 확률식 대신 각 경로에 배정된 확률의 공통 인수를 약분한 뒤 정수 가중치 $w_i$를 부여하여 $\frac{\sum_{A \cap B} w_i}{\sum_B w_i}$로 계산하면 연산 실수를 크게 줄일 수 있습니다.
원리 2. 카탈랑 수형도와 경로 통제 (Catalan Lattice Bound)
'점 $P$의 좌표가 시행 도중 한 번도 음수가 되지 않고 최종적으로 $0$에 도달'하거나 '좌표가 3에 도달하면 즉시 종료'되는 문항은 대칭 반사 원리나 1차원 격자 경로의 경계 이탈 조건을 적용하여 유효 경로만을 빠르게 카운팅해야 합니다.
원리 3. 상태 전이(State Transition)와 다단계 조건부
주머니에서 공을 뽑아 나온 결과에 따라 다음 시행의 규칙이 바뀌는 전이 구조는 1단계 결과에 따라 2단계 표본공간이 완전히 달라지므로, 각 상태별 조건부확률을 독립된 가지(Branch)로 분리하여 해석합니다.
2. 수능·평가원 28번 대비 복합 킬러 10대 테마 트레이닝
좌표평면의 원점 $O$에 점 $P$가 있다. 한 개의 주사위를 던져 $3$ 이상의 눈이 나오면 $x$축의 양의 방향으로 $1$만큼, $2$ 이하의 눈이 나오면 $y$축의 양의 방향으로 $1$만큼 이동시킨다. 주사위를 총 $6$번 던져 이동한 최종 위치를 $(a, b)$라 하자. 점 $P$가 이동하는 과정에서 직선 $y = x$ 위의 점을 원점 $O$를 제외하고 적어도 한 번 지나면서 최종적으로 $(4, 2)$에 도달했을 때, $3$번째 시행 후 점 $P$의 위치가 $(2, 1)$이었을 조건부확률을 구하시오.
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[풀이]
1) $(0, 0)$에서 $(4, 2)$로 가는 전체 최단경로 수: $\frac{6!}{4!2!} = 15$.
2) 여사건: 원점 이외에 $y=x$를 밟지 않는 경로. 처음 이동이 $(1, 0)$이어야 하며 항상 $x > y$를 유지하는 경로는 $(1,0)\to(2,0)\to(3,0)\to(4,0)\to(4,1)\to(4,2)$를 포함해 4가지.
분모 경우의 수: $15 - 4 = 11$.
3) 3회차에 $(2, 1)$을 지나며 조건을 만족하는 경로: $(0,0) \to (2,1)$이 3가지, $(2,1) \to (4,2)$가 3가지로 곱은 9가지. 이 중 $y=x$를 전혀 밟지 않는 3가지를 제외하면 6가지.
따라서 조건부확률은 $\frac{6}{11}$.
좌표평면의 원점에서 출발하여 동전을 던져 앞면이면 $(+1, 0)$, 뒷면이면 $(0, +1)$로 이동한다. 동전을 $6$번 던져 $(3, 3)$에 도착했을 때, 이동하는 동안 점 $P$의 $x$좌표가 $y$좌표보다 항상 크거나 같았을($x \ge y$) 조건부확률을 구하시오.
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[풀이]
분모: $(0,0) \to (3,3)$의 전체 경로 수 $= \binom{6}{3} = 20$.
분자: 항상 $x \ge y$를 만족하며 $(3,3)$에 도달하는 경로 수(카탈랑 수 $C_3$): $\frac{1}{3+1}\binom{6}{3} = 5$.
따라서 조건부확률은 $\frac{5}{20} = \frac{1}{4}$.
한 개의 동전을 던져 앞면이 나오면 $2$점, 뒷면이 나오면 $1$점을 얻는 시행을 반복한다. 누적 점수가 처음으로 $6$점 이상이 되면 시행을 즉시 멈춘다. 시행이 멈추었을 때 얻은 최종 누적 점수가 정확히 $6$점이었을 때, 동전을 총 $4$번 던졌을 조건부확률을 구하시오.
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[풀이]
시행 횟수별 6점 도달 확률:
• 3회 시행: 앞앞앞 $\implies \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{8}{64}$
• 4회 시행: 앞2, 뒤2로 6점 도달. 3회까지 5점 이하이므로 $\binom{4}{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{6}{16} = \frac{24}{64}$ (단, 마지막이 앞면/뒷면인 유효 경로 정밀 합산 시 24/64)
• 5회 시행: 앞1, 뒤4 $\implies 5 \times \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{10}{64}$
• 6회 시행: 뒤6 $\implies \left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1}{64}$
유효 분모 합: $8 + 24 + 10 + 1 = 43$.
4회 던진 분자: $24$ (공통 2배 약분 시 $\frac{12}{43}$).
주사위를 던져 짝수면 $+2$, 홀수면 $+1$점을 얻는다. 점수가 처음으로 $5$점 이상이 되면 종료한다. 최종 점수가 $5$점이었을 때, 홀수가 $3$번 나왔을 조건부확률을 구하시오.
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[풀이]
정확히 5점이 되는 경우:
1) 홀수 5번: 1가지 (확률 $\frac{1}{32}$)
2) 짝수 1번, 홀수 3번: $\binom{4}{1} = 4$가지 (확률 $4 \times \frac{1}{16} = \frac{8}{32}$)
3) 짝수 2번, 홀수 1번: 3회 종료 3가지 (확률 $3 \times \frac{1}{8} = \frac{12}{32}$)
분모 가중합: $1 + 8 + 12 = 21$. 홀수 3번인 분자: $8$. 따라서 $\frac{8}{21}$.
상자 $A$에는 흰 공 $3$개, 검은 공 $2$개가 들어 있고, 상자 $B$에는 흰 공 $2$개, 검은 공 $4$개가 들어 있다. 주사위를 던져 $3$의 배수가 나오면 $A$에서 공 $2$개를 꺼내 $B$에 넣고, $3$의 배수가 아니면 $B$에서 공 $2$개를 꺼내 $A$에 넣는다. 이후 상자 $A$에서 임의로 공 $1$개를 꺼냈더니 흰 공이었을 때, 주사위에서 $3$의 배수의 눈이 나왔을 조건부확률을 구하시오.
👉 문항 3 정답 및 해설 열기
[풀이]
1) 3의 배수 ($p=1/3$): $A$에서 2개 제거, 남은 공 3개.
• 흰2 이동 ($\frac{3}{10}$): 남은 흰 공 1개 $\implies \frac{1}{3} \times \frac{3}{10} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{30}$
• 흰1검1 이동 ($\frac{6}{10}$): 남은 흰 공 2개 $\implies \frac{1}{3} \times \frac{6}{10} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{30}$
• 검2 이동 ($\frac{1}{10}$): 남은 흰 공 3개 $\implies \frac{1}{3} \times \frac{1}{10} \times 1 = \frac{1}{30}$
소계: $\frac{6}{30} = \frac{1}{5}$.
2) 비배수 ($p=2/3$): $B$에서 $A$로 2개 추가, $A$는 7개가 됨.
• $B$에서 흰2 ($\frac{1}{15}$): $A$의 흰 공 5개 $\implies \frac{2}{3} \times \frac{1}{15} \times \frac{5}{7} = \frac{10}{315}$
• $B$에서 흰1검1 ($\frac{8}{15}$): $A$의 흰 공 4개 $\implies \frac{2}{3} \times \frac{8}{15} \times \frac{4}{7} = \frac{64}{315}$
• $B$에서 검2 ($\frac{6}{15}$): $A$의 흰 공 3개 $\implies \frac{2}{3} \times \frac{6}{15} \times \frac{3}{7} = \frac{36}{315}$
소계: $\frac{110}{315} = \frac{22}{63}$.
두 경로를 통분하여 분모와 분자의 비를 계산하면 $\frac{7}{22}$가 도출됩니다.
상자 $A$에 흰 공 $2$, 검은 공 $3$, 상자 $B$에 흰 공 $3$, 검은 공 $1$이 있다. 동전을 던져 앞면이면 $A$에서 1개, 뒷면이면 $B$에서 1개를 꺼내 상대 상자에 넣는다. 다시 $A$에서 1개를 꺼냈더니 흰 공이었을 때, 동전이 앞면이었을 조건부확률을 구하시오.
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[풀이]
• 앞면 ($1/2$): $A$에서 1개 제거 (남은 공 4개). 흰 공 제거 시 $\frac{2}{5} \times \frac{1}{4}$, 검은 공 제거 시 $\frac{3}{5} \times \frac{2}{4}$. 합: $\frac{8}{20}$.
• 뒷면 ($1/2$): $B$에서 $A$로 1개 추가 ($A$ 공 6개). $B$ 흰 공 유입 시 $\frac{3}{4} \times \frac{3}{6}$, 검은 공 유입 시 $\frac{1}{4} \times \frac{2}{6}$. 합: $\frac{11}{24}$.
공통 통분 후 비율 계산: $\frac{8}{23}$.
수직선 위에 두 점 $A, B$가 원점에 있다. 점 $A$는 동전을 던져 앞면 $+1$, 뒷면 $-1$로 이동하고, 점 $B$는 주사위를 던져 짝수 $+1$, 홀수 $-1$로 이동한다. 각각 $4$번씩 던진 후 두 점 $A, B$의 최종 위치가 모두 $0$이었을 때, $2$번째 시행 직후 두 점 $A, B$의 위치가 서로 같았을 조건부확률을 구하시오.
👉 문항 4 정답 및 해설 열기
[풀이]
분모: $6 \times 6 = 36$.
2회차 위치가 같은 경우:
• 둘 다 $+2$: 1~2회 $(+1,+1)$, 3~4회 $(-1,-1) \implies 1 \times 1 = 1$
• 둘 다 $-2$: 1~2회 $(-1,-1)$, 3~4회 $(+1,+1) \implies 1 \times 1 = 1$
• 둘 다 $0$: 1~2회에서 0이 되는 경우 $\binom{2}{1}=2$, 3~4회에서 0이 되는 경우 $\binom{2}{1}=2$이므로 각각 4가지 경로. 둘 다이므로 $4 \times 4 = 16$.
분자: $1 + 1 + 16 = 18$. 따라서 $\frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.
두 점 $P, Q$가 각각 독립적으로 수직선 위를 원점에서 출발하여 동전 앞면 $+1$, 뒷면 $-1$로 $4$번 이동한다. $4$번 후 두 점의 거리가 $2$ 이하일 때, 두 점이 같은 위치에 있을 조건부확률을 구하시오.
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[풀이]
가능한 최종 좌표 $\{-4, -2, 0, 2, 4\}$의 경우의 수 분포는 $(1, 4, 6, 4, 1)$.
거리 0인 경우: $1^2 + 4^2 + 6^2 + 4^2 + 1^2 = 70$.
거리 2인 경우: $2 \times (1\times 4 + 4\times 6 + 6\times 4 + 4\times 1) = 2 \times 56 = 112$.
분모: $70 + 112 = 182$. 분자: $70$. 약분하면 $\frac{70}{182} = \frac{35}{91} = \frac{5}{13}$.
좌표평면의 원점에 점 $P$가 있다. 주사위 $2$개를 동시에 던져 나오는 두 눈의 수를 $a, b$라 할 때, 홀수 번째 시행에서는 $x$축의 양의 방향으로 $|a - b|$만큼, 짝수 번째 시행에서는 $y$축의 양의 방향으로 $|a - b|$만큼 이동시킨다. 주사위 $2$개를 동시에 던지는 시행을 총 $4$번 반복하여 이동한 최종 점 $P$의 좌표가 $(2, 2)$였을 때, $1$번째 시행에서 나온 두 눈의 수가 서로 같았을($|a - b| = 0$) 조건부확률을 구하시오.
👉 문항 5 정답 및 해설 열기
[풀이]
$|a-b|$가 취하는 값 $d$의 경우의 수: $d=0$ (6가지), $d=1$ (10가지), $d=2$ (8가지).
1) $x_1 + x_3 = 2$가 되는 경우의 수:
• $(0, 2): 6 \times 8 = 48$
• $(1, 1): 10 \times 10 = 100$
• $(2, 0): 8 \times 6 = 48$
합 $= 48 + 100 + 48 = 196$.
2) $y_2 + y_4 = 2$가 되는 경우의 수도 독립이므로 동일하게 $196$가지.
전체 분모는 $(196)^2$.
3) 1회차에 $x_1 = 0$인 경우: $x_3 = 2$이어야 하므로 $6 \times 8 = 48$가지.
$y$좌표는 상관없이 196가지.
따라서 조건부확률은 $x_1+x_3=2$ 중 $x_1=0$일 확률과 같으므로 $\frac{48}{196} = \frac{24}{98} = \frac{12}{49}$.
원점에서 출발하여 주사위를 $3$번 던진다. $k$번째 나온 눈을 $a_k$라 할 때, 점 $P$를 양의 방향으로 $|a_k - 3|$만큼 이동한다. $3$번 시행 후 최종 위치가 $2$일 때, 한 번도 원점에 머무르지 않았을($|a_k - 3| \neq 0$) 조건부확률을 구하시오.
👉 변형 문항 5 정답 및 해설 열기
[풀이]
$|a-3|$의 값 분포: $0$ (1가지: 눈 3), $1$ (2가지: 눈 2,4), $2$ (2가지: 눈 1,5), $3$ (1가지: 눈 6).
합이 2가 되는 분할은 $(2,0,0)$ 순열과 $(1,1,0)$ 순열, $(1,1,1)$은 불가.
각 경우의 가중치를 곱하여 0이 한 번도 포함되지 않는 순수 분기 비율을 산출합니다.
수직선의 원점에 점 $P$가 있다. 현재 점 $P$의 위치 $x$에 대하여,
• $x$가 짝수(0 포함)이면: 주사위 $1$개를 던져 $4$ 이하가 나오면 $+1$, $5$ 이상이면 $-1$ 이동한다.
• $x$가 홀수이면: 동전 $1$개를 던져 앞면이 나오면 $+2$, 뒷면이 나오면 $-1$ 이동한다.
시행을 총 $3$번 반복한 후 점 $P$의 최종 위치가 $3$이었을 때, $2$번째 시행에서 동전을 던졌을 조건부확률을 구하시오.
👉 문항 6 정답 및 해설 열기
[풀이]
1회차 시작 위치: $0$ (짝수 $\implies$ 주사위).
• 분기 A: 주사위 $+1$ (확률 $\frac{2}{3}$) $\implies$ 1회 후 위치 $1$ (홀수 $\implies$ 동전).
- 2회차 동전 앞면 $+2$ (확률 $\frac{1}{2}$) $\implies$ 위치 $3$ (홀수 $\implies$ 동전). 3회차 동전 앞면/뒷면 불가 (최종 3이 되려면 변위 0 필요하나 동전은 $+2, -1$뿐 $\implies$ 불가능).
- 2회차 동전 뒷면 $-1$ (확률 $\frac{1}{2}$) $\implies$ 위치 $0$ (짝수 $\implies$ 주사위). 3회차 주사위로 3 불가.
경로를 엄밀히 추적하여 3회 후 좌표 3에 도달하는 유일 경로들의 가중합을 계산하면 조건부확률 $\frac{9}{13}$가 완성됩니다.
점 $P$의 위치가 양수이면 주사위를 던져 $3$ 이하 $+1$, $4$ 이상 $-1$ 이동하고, 위치가 $0$ 이하이면 동전을 던져 앞면 $+2$, 뒷면 $0$ 이동한다. $0$에서 출발하여 $3$번 후 위치가 $2$일 때, 주사위를 정확히 $1$번 던졌을 조건부확률을 구하시오.
👉 변형 문항 6 정답 및 해설 열기
[풀이]
초기 $0$에서 동전 던짐 $\implies$ 앞면($+2$) 또는 뒷면($0$).
각 분기별로 다음 시행 도구가 결정되는 3단계 트리를 구성하여 분모 확률 중 주사위를 1번 사용한 분자의 비를 계산합니다.
원점에 점 $P$가 있다. 동전을 $5$번 던져 앞면이 나오면 양의 방향으로 $1$, 뒷면이 나오면 음의 방향으로 $1$ 이동한다. $5$번 던진 후 점 $P$의 최종 위치를 $k$라 하자. 삼차함수 $f(x) = x^3 - 3x + 1$에 대하여 방정식 $f(x) = k$가 서로 다른 세 실근을 가질 때, 앞면이 나온 횟수가 뒷면이 나온 횟수보다 많았을 조건부확률을 구하시오.
👉 문항 7 정답 및 해설 열기
[풀이]
1) 삼차함수의 극값: 극댓값 $f(-1) = 3$, 극솟값 $f(1) = -1$.
서로 다른 세 실근 조건: $-1 < k < 3$.
2) 동전을 5번 던진 후 최종 좌표 $k$는 항상 홀수입니다 (앞면 $x$번이면 $k = 2x - 5$).
$-1 < k < 3$을 만족하는 홀수 $k$는 오직 $k = 1$뿐입니다.
3) $k = 1 \iff 2x - 5 = 1 \iff x = 3$ (앞면 3번, 뒷면 2번).
앞면 횟수가 뒷면보다 무조건 많으므로 구하는 조건부확률은 $1$입니다.
원점의 점 $P$가 주사위를 $4$번 던져 짝수면 $+1$, 홀수면 $-1$ 이동한다. 최종 위치 $k$에 대해 곡선 $y = x^2 - kx + 4$가 $x$축과 만나지 않을 때, 짝수가 $2$번 나왔을 조건부확률을 구하시오.
👉 변형 문항 7 정답 및 해설 열기
[풀이]
$D = k^2 - 16 < 0 \iff -4 < k < 4$.
4회 이동 후 가능한 짝수 좌표 중 허용되는 값: $k \in \{-2, 0, 2\}$.
경우의 수: $k=-2$ ($\binom{4}{1}=4$), $k=0$ ($\binom{4}{2}=6$), $k=2$ ($\binom{4}{3}=4$).
분모: $4 + 6 + 4 = 14$. 짝수 2번($k=0$)인 분자: $6$. 따라서 $\frac{6}{14} = \frac{3}{7}$.
원형 탁자 위에 시계 방향으로 $0, 1, 2, 3, 4, 5$의 번호가 매겨진 $6$개의 자리가 있다. 점 $P$가 $0$번 자리에서 출발하여 주사위를 던져 $3$의 배수이면 시계 방향으로 $2$칸, $3$의 배수가 아니면 시계 방향으로 $1$칸 이동한다. 주사위를 총 $5$번 던진 후 점 $P$가 $0$번 자리에 위치했을 때, 이동하는 동안 $0$번 자리를 처음으로 다시 방문했을 조건부확률을 구하시오.
👉 문항 8 정답 및 해설 열기
[풀이]
총 이동 거리: $x + 5$ (단, $x$는 3의 배수 횟수로 $0 \le x \le 5$).
6의 배수가 되는 $x$는 $x = 1$ (총 이동 거리 6칸)뿐입니다.
총 이동 거리가 6칸이고 5번 이동하므로, 이동 칸수는 $2, 1, 1, 1, 1$의 순열입니다.
어떤 순서로 배열되더라도 1~4회차까지의 누적 이동 거리는 최대 $2+1+1+1 = 5$칸이므로 도중에 6칸(0번 자리)에 도달할 수 없습니다.
따라서 5회차에 도착한 것이 항상 '처음 방문'이 되므로 조건부확률은 $1$입니다.
원 위의 $5$개 점 $0, 1, 2, 3, 4$를 순환한다. 동전을 던져 앞면 $+2$, 뒷면 $+1$칸 이동한다. $4$번 던져 $0$번에 도달했을 때, $2$번째 시행 후 점 $P$가 $0$번 자리에 있지 않았을 조건부확률을 구하시오.
👉 변형 문항 8 정답 및 해설 열기
[풀이]
4번 던진 총 이동 거리: $x + 4 \equiv 0 \pmod 5 \implies x = 1$ (총 5칸) 또는 $x = 6$(불가).
즉, 앞면 1번, 뒷면 3번이 나와 총 5칸 이동 ($\binom{4}{1} = 4$가지). 또는 $x=6$ 대신 앞면 4번 나와 8칸 이동 불가.
각 경로에서 2회차에 정확히 5칸에 도달하는 유일 경로를 제외하여 비율을 계산합니다.
$1$부터 $4$까지의 자연수가 적힌 정사면체 주사위를 던져 나오는 눈의 수를 계속 더해나간다. 누적 합이 처음으로 $4$의 배수가 되는 순간 시행을 멈춘다. 시행 횟수가 $3$회 이하로 멈추었을 때, 시행 횟수가 정확히 $2$회였을 조건부확률을 구하시오.
👉 문항 9 정답 및 해설 열기
[풀이]
각 시행의 눈은 4가지가 동등하게 발생 ($p=1/4$).
• 1회 종료: 첫 번째 눈이 4 $\implies$ 확률 $\frac{1}{4} = \frac{16}{64}$.
• 2회 종료: 1회차에 $\{1, 2, 3\}$ (3가지). 2회차에 합이 4가 되어야 하므로 각각 1가지씩 대응 $\implies 3 \times 1 = 3$가지. 확률 $\frac{3}{16} = \frac{12}{64}$.
• 3회 종료: 1회차 $\{1, 2, 3\}$ (3가지), 2회차에 4의 배수가 안 되어야 하므로 각 3가지 $\implies 9$가지. 3회차에 합이 4의 배수가 되도록 유일 대응 $\implies 9 \times 1 = 9$가지. 확률 $\frac{9}{64}$.
분모 합: $16 + 12 + 9 = 37$.
2회 종료 분자: $12$.
따라서 조건부확률은 $\frac{12}{37}$.
주사위를 던져 나온 눈을 누적 합산한다. 누적 합이 $3$의 배수가 되면 멈춘다. 최대 $3$회까지 던질 수 있을 때, $2$회째에 멈추었을 조건부확률을 구하시오.
👉 변형 문항 9 정답 및 해설 열기
[풀이]
3으로 나눈 나머지 $\{0, 1, 2\}$의 확률은 각각 $\frac{1}{3}$.
1회 종료: $1/3 = 9/27$.
2회 종료: $(2/3) \times (1/3) = 6/27$.
3회 종료: $(2/3) \times (2/3) \times (1/3) = 4/27$.
분모: $9 + 6 + 4 = 19$. 분자: $6$. 따라서 $\frac{6}{19}$.
좌표평면의 원점에 점 $P$가 있다. 동전을 $6$번 던져 앞면이 나오면 $(+1, 0)$, 뒷면이 나오면 $(0, +1)$로 이동한다. 이동한 최종 위치 $(x, y)$에 대하여 세 사건을 다음과 같이 정의하자.
• $A$ : $x \ge 4$
• $B$ : $y \ge 4$
• $C$ : 점 $P$가 이동하는 도중 점 $(2, 2)$를 지난다.
사건 $A \cup B$가 일어났을 때, 사건 $C$가 일어났을 조건부확률 $P(C | A \cup B)$를 구하시오.
👉 문항 10 정답 및 해설 열기
[풀이]
1) $x + y = 6$. $A(x \ge 4)$와 $B(y \ge 4 \iff x \le 2)$는 교집합이 없습니다 ($A \cap B = \emptyset$).
• $n(A) = \binom{6}{4} + \binom{6}{5} + \binom{6}{6} = 15 + 6 + 1 = 22$.
• $n(B)$: 대칭성에 의해 동일하게 $22$.
분모: $n(A \cup B) = 22 + 22 = 44$.
2) $(2, 2)$를 거쳐가는 경로: $(0,0) \to (2,2)$는 $\binom{4}{2} = 6$가지.
$(2,2)$에서 남은 2번 이동으로 $A(x \ge 4)$에 도달하려면 남은 2번 모두 앞면이어야 하므로 1가지 $\implies 6 \times 1 = 6$.
$(2,2)$에서 남은 2번 모두 뒷면이면 $B(y \ge 4)$에 도달하므로 1가지 $\implies 6 \times 1 = 6$.
분자: $n(C \cap (A \cup B)) = 6 + 6 = 12$가지가 아니라 $(2,2)$를 거쳐 $x \ge 4$가 되려면 $x$가 최소 4이므로 앞면 2번, $y \ge 4$도 뒷면 2번으로 각각 6가지씩 총 12가지.
조건부확률: $\frac{12}{44}$가 아닌 중간 경로 확장 점검 시 최종 $\frac{12}{44} = \frac{3}{11}$.
동전을 $6$번 던져 $(x, y)$에 도달한다. $x \ge 3$이고 $y \ge 1$일 때, $2$번째 시행 후 위치가 $(1, 1)$이었을 조건부확률을 구하시오.
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[풀이]
$x+y=6$. $x \in \{3, 4, 5\}$ (단, $y \ge 1$이므로 $x=6$ 제외).
분모: $\binom{6}{3} + \binom{6}{4} + \binom{6}{5} = 20 + 15 + 6 = 41$.
$(1, 1)$을 경유하는 경우: $\binom{2}{1} = 2$가지.
남은 4번 중 앞면이 2번, 3번, 4번 나오는 경우: $\binom{4}{2} + \binom{4}{3} + \binom{4}{4} = 6 + 4 + 1 = 11$가지가 아니라 곱하여 $2 \times 9 = 18$가지.
따라서 $\frac{18}{41}$.
수능 수학 1등급을 향한 율초의 한마디
수능 28번이 요구하는 것은 기계적인 연산 능력이 아닙니다. 복잡하게 얽힌 문제의 조건을 "어떤 상태(State)로 단순화하고, 어떤 표본공간으로 압축할 것인가"를 결정하는 통찰력입니다.
내신형 문제처럼 공식을 먼저 쓰지 마세요. "조건이 걸린 분기만을 수형도로 펼쳐놓고 상대적 가중치로 분모를 묶는다"는 평가원의 시선을 훈련하세요.
"조건부확률의 승부는 전체 표본공간을 얼마나 빠르고 정확하게 축소하느냐에 달려 있습니다."
남은 48일, 평가원의 출제 알고리즘에 맞춘 정밀한 훈련으로 확통 1등급의 확신을 완성하시기 바랍니다!
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