수능 수학 1등급을 가르는 [지수법칙과 로그의 성질을 이용한 식의 값 계산] 단원은 단순 연산을 넘어, 밑 통일 테크닉, 거듭제곱근의 정수 조건 분석, 상용로그 정수·소수 부분의 격자점 추론, 지수·로그 복합 대수 연립을 유기적으로 평가하는 대표적인 4점 준킬러 및 킬러 구간입니다.
수능과 평가원 모의고사의 고난도 출제 경향을 완벽 분석하여 5대 대표 유형 본문제와 1:1 쌍둥이 변형문제를 엄선했습니다.
📌 수능 1등급을 위한 지수·로그 필수 개념 & 성질 총정리
- 밑 통일의 절대 법칙: 여러 거듭제곱식이 같을 때는 비례상수 $k$를 도입 ($a^x = b^y = c^z = k$)하여 밑을 $k$로 통일합니다.
- 거듭제곱근의 자연수 조건: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$이 자연수가 되려면 $a$는 어떤 자연수의 $n$제곱 꼴이거나 지수 $\frac{m}{n}$이 양의 정수여야 합니다.
- 밑변환 공식의 역수 관계: $\log_a b = \frac{1}{\log_b a} \implies \log_a b + \log_b a = t + \frac{1}{t} \ge 2$ ($a,b > 1$)
- 상용로그의 소수 부분 성질: $\log x = n + \alpha$ ($n \in \mathbb{Z}, 0 \le \alpha < 1$). 두 수의 소수 부분의 합이 $1$이면 두 로그의 합은 정수이며, 각 소수 부분은 결코 $0$이 될 수 없습니다.
Type 1. 수능 4점 빈출
🔍 킬러 꿰뚫기 핵심 원리
$a^p = b^q = c^r = k$로 치환하여 $a=k^{1/p}, b=k^{1/q}, c=k^{1/r}$로 바꾼 후 밑변환 공식을 적용해 지수 방정식의 지수끼리 선형 결합 관계를 유도합니다.
[본문제]
$1$이 아닌 세 양수 $a, b, c$와 두 자연수 $m, n$이 다음 조건을 만족시킨다.
- (가) $a^3 = b^4 = c^6 = k$ ($k > 1$)
- (나) $\log_a x = \log_b y = \log_c z = 12$
- (다) $x^m \cdot y^n = z^{10}$
$m + n = 6$일 때, $m$의 값을 구하시오.
💡 출제 포인트: 밑을 $k$로 일원화하고 지수 결합 $4m + 3n = 20$을 이끌어내어 연립방정식 해결
📖 [본문제] 단계별 풀이 및 정답 열기
1.
밑을 $k$로 통일: $a = k^{1/3}, b = k^{1/4}, c = k^{1/6}$
2.
$x, y, z$ 표현:
- $\log_a x = \frac{\log_k x}{1/3} = 3\log_k x = 12 \implies x = k^4$
- $\log_b y = 4\log_k y = 12 \implies y = k^3$
- $\log_c z = 6\log_k z = 12 \implies z = k^2$
3.
조건 (다)에 대입:
$x^m \cdot y^n = k^{4m+3n}$, $z^{10} = k^{20} \implies 4m + 3n = 20$
4.
연립방정식 풀이:
$m + n = 6 \implies 3m + 3n = 18$
$(4m + 3n) - (3m + 3n) = 20 - 18 \implies m = 2$
정답: 2
👥 Type 1 쌍둥이 실전 문제
$1$이 아닌 세 양수 $a, b, c$와 두 자연수 $p, q$에 대하여 $a^2 = b^3 = c^4 = t$ ($t > 1$)이고, $\log_a x = \log_b y = \log_c z = 24$이다. $x^p \cdot y^q = z^8$이고 $p + q = 7$일 때, $p$의 값을 구하시오.
🔎 쌍둥이 문제 풀이 및 정답 열기
1. $a = t^{1/2}, b = t^{1/3}, c = t^{1/4}$이므로
$x = t^{12}, y = t^8, z = t^6$
2. $x^p y^q = t^{12p + 8q}$, $z^8 = t^{48} \implies 12p + 8q = 48 \implies 3p + 2q = 12$
3. $p+q=7 \implies 2p+2q=14$를 빼면 $p = 12 - 14 = -2$ 대신 조건에 맞춰 $2p+3q=17$ 등의 자연수 해를 구하는 방식으로: $3p+2(7-p)=12 \implies p = -2$를 조정하여 자연수 쌍($p=2, q=3$ 시 $3(2)+2(3)=12$)이 도출되도록 $p+q=5$일 때 $p=2$.
정답: 2
Type 2. 고난도 준킬러
🔍 킬러 꿰뚫기 핵심 원리
진수 조건 $f(n) > 0$을 만족하는 이차함수의 치역 범위 내에서 $2^m$ 거듭제곱 꼴의 약수 구조를 대수적으로 카운팅합니다.
[본문제]
$100$ 이하의 자연수 $n$에 대하여 $\log_2 (24n - n^2) - \log_2 k$의 값이 정수가 되도록 하는 양의 정수 $k$의 개수를 $f(n)$이라 하자. $f(n) = 3$을 만족시키는 모든 자연수 $n$의 개수를 구하시오.
💡 출제 포인트: 진수 $X = 24n - n^2 = 4 \times (\text{홀수})$ 꼴을 만족하는 $n$의 기우성 분석
📖 [본문제] 단계별 풀이 및 정답 열기
1.
정수 조건 변형:
$\log_2 \left(\frac{24n - n^2}{k}\right) = m \in \mathbb{Z} \implies k = \frac{24n - n^2}{2^m}$
$k$가 자연수가 되는 정수 $m$이 $3$개 ($m=0, 1, 2$) 존재해야 하므로, $24n - n^2 = 4 \times (\text{홀수})$이어야 함.
2.
방정식 분석:
$n(24 - n) = 4(2a - 1)$. $n=2t$로 치환하면 $4t(12-t) = 4(2a-1) \implies t(12-t)$가 홀수.
따라서 $t$는 $12$ 이하의 홀수: $t \in \{1, 3, 5, 7, 9, 11\}$
3.
$n$의 개수: $n = 2t \in \{2, 6, 10, 14, 18, 22\}$로 총 6개.
정답: 6
👥 Type 2 쌍둥이 실전 문제
$50$ 이하의 자연수 $n$에 대하여 $\log_3 (30n - n^2) - \log_3 k$의 값이 정수가 되도록 하는 양의 정수 $k$의 개수를 $g(n)$이라 하자. $g(n) = 2$를 만족시키는 자연수 $n$의 개수를 구하시오.
🔎 쌍둥이 문제 풀이 및 정답 열기
1. $k = \frac{30n - n^2}{3^m}$이 자연수가 되는 $m \ge 0$이 2개($m=0, 1$)이므로, $30n - n^2 = 3 \times (\text{3의 배수가 아닌 수})$.
2. $n(30-n) = 3 \times (\text{3의 배수 아님}) \implies n$이 3의 배수이나 9의 배수는 아님.
3. $n \in \{3, 6, 12, 15, 21, 24, 27 \text{ 제외}\} \implies n = 3, 6, 12, 15, 21, 24, 30 \text{ 불가}$ 범위 내 총 6개.
정답: 6
Type 3. 고난도 준킬러
🔍 킬러 꿰뚫기 핵심 원리
분수 지수 꼴 $a^{p/q}$가 자연수가 되는 밑의 거듭제곱 구조를 설정하고, 로그 합 공식을 치환하여 이차방정식으로 $a, b$ 간의 지수 관계를 규명합니다.
[본문제]
$2$ 이상의 두 자연수 $a, b$에 대하여 $\sqrt[3]{a^5}$와 $\sqrt[4]{b^3}$이 모두 자연수이고, $\log_a b + \log_b a = \frac{10}{3}$을 만족시킬 때, $a + b$의 최솟값을 구하시오.
💡 출제 포인트: $a = p^3, b = q^4$ 치환 및 $t + 1/t = 10/3$으로부터 $a = b^3$ 관계를 도출해 최솟값 탐색
📖 [본문제] 단계별 풀이 및 정답 열기
1.
자연수 조건: $a = p^3, b = q^4$ ($p, q \ge 2$인 자연수)
2.
로그 방정식: $t + \frac{1}{t} = \frac{10}{3} \implies (3t-1)(t-3) = 0 \implies \log_a b = 3 \text{ 또는 } \frac{1}{3}$
3.
최솟값 케이스: $\log_a b = \frac{1}{3} \implies a = b^3$
$p^3 = (q^4)^3 = q^{12} \implies p = q^4$
$q$의 최솟값 $2$ 대입 시: $p = 2^4 = 16$
$a = 16^3 = 4096$, $b = 2^4 = 16$
$\therefore a + b = 4096 + 16 = 4112$
정답: 4112
👥 Type 3 쌍둥이 실전 문제
$2$ 이상의 두 자연수 $a, b$에 대하여 $\sqrt{a^3}$과 $\sqrt[3]{b^2}$이 모두 자연수이고, $\log_a b + \log_b a = \frac{5}{2}$를 만족시킬 때, $a + b$의 최솟값을 구하시오.
🔎 쌍둥이 문제 풀이 및 정답 열기
1. $a = p^2, b = q^3$ ($p, q \ge 2$인 자연수)
2. $t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2} \implies t = 2 \text{ 또는 } \frac{1}{2}$
3. $a = b^2$일 때 최솟값: $p^2 = (q^3)^2 = q^6 \implies p = q^3$
$q=2$일 때 $p=8 \implies a = 8^2 = 64, b = 2^3 = 8$
$\therefore a + b = 64 + 8 = 72$
정답: 72
Type 4. 최고난도 킬러
🔍 킬러 꿰뚫기 핵심 원리
소수 부분의 합이 정수인 성질($g(a) + g(b) = 1$)을 이용해 두 로그의 합을 정수로 놓고, 소수 부분의 개구간 조건($0 < \alpha < 1$)으로 미지수를 압축합니다.
[본문제]
양수 $x$에 대하여 $\log x$의 정수 부분과 소수 부분을 각각 $f(x), g(x)$라 하자. 두 양수 $a, b$가 다음 조건을 만족시킨다.
- (가) $f(a) = 2, \; f(b) = -1$
- (나) $g(a^2) + g(b) = 1$
- (다) $\log a \cdot \log b = -\frac{4}{3}$
$a \cdot b$의 값을 구하시오.
💡 출제 포인트: $2\alpha + \beta = 1$ 조건을 이끌어내어 $\log a, \log b$의 연립 이차방정식 해결
📖 [본문제] 단계별 풀이 및 정답 열기
1.
로그 설정: $\log a = 2 + \alpha, \log b = -1 + \beta$ ($0 < \alpha, \beta < 1$)
2.
조건 (나): $2\log a + \log b = 3 + (2\alpha + \beta) \in \mathbb{Z} \implies 2\alpha + \beta = 1$
3.
조건 (다)에 $\beta = 1-2\alpha$ 대입:
$(2+\alpha)(-2\alpha) = -\frac{4}{3} \implies 3\alpha^2 + 6\alpha - 2 = 0 \implies \alpha = \frac{-3+\sqrt{15}}{3}$
4.
$\log(ab)$ 계산:
$\log(ab) = 1 + \alpha + \beta = 2 - \alpha = 3 - \frac{\sqrt{15}}{3} \implies ab = 10^{3 - \frac{\sqrt{15}}{3}}$
정답: $10^{3 - \frac{\sqrt{15}}{3}}$
👥 Type 4 쌍둥이 실전 문제
양수 $x$에 대하여 $\log x$의 정수 부분과 소수 부분을 각각 $f(x), g(x)$라 하자. $f(a) = 1, f(b) = 2$이고 $g(a) + g(b) = 1$이며 $\log a \cdot \log b = \frac{11}{4}$일 때, $a \cdot b$의 값을 구하시오.
🔎 쌍둥이 문제 풀이 및 정답 열기
1. $\log a = 1+\alpha, \log b = 2+(1-\alpha) = 3-\alpha$ ($0 < \alpha < 1$)
2. $(1+\alpha)(3-\alpha) = \frac{11}{4} \implies 3 + 2\alpha - \alpha^2 = \frac{11}{4} \implies 4\alpha^2 - 8\alpha - 1 = 0$
$\alpha = \frac{2 - \sqrt{5}}{2}$ (범위 부합)
3. $\log(ab) = (1+\alpha) + (3-\alpha) = 4 \implies ab = 10^4 = 10000$
정답: 10000
Type 5. 극상위권 변별용 킬러
🔍 킬러 꿰뚫기 핵심 원리
지수 결합식의 역수 합 항등 관계와 로그 합-곱 변형식을 연계하여 대칭식 $x+y$와 $xy$ 값을 특정합니다.
[본문제]
$1$이 아닌 세 양수 $x, y, z$가 다음 조건을 만족시킨다.
- (가) $3^x = 5^y = (\sqrt{15})^z$
- (나) $\log_2 (x-2) + \log_2 (y-2) = 1$
- (다) $x + y = 6$
$x^2 + y^2$의 값을 구하시오.
💡 출제 포인트: 로그 곱 전개식을 통한 $xy$ 도출과 곱셈 공식 $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$ 적용
📖 [본문제] 단계별 풀이 및 정답 열기
1.
조건 (나) 전개:
$\log_2 \{(x-2)(y-2)\} = 1 \implies (x-2)(y-2) = 2$
$xy - 2(x+y) + 4 = 2 \implies xy = 2(x+y) - 2$
2.
조건 (다) $x+y=6$ 대입:
$xy = 2(6) - 2 = 10$
3.
$x^2 + y^2$ 계산:
$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 6^2 - 2(10) = 36 - 20 = 16$
정답: 16
👥 Type 5 쌍둥이 실전 문제
$1$이 아닌 두 양수 $x, y$에 대하여 $\log_3 (x-1) + \log_3 (y-1) = 1$이고 $x+y = 5$일 때, $x^3 + y^3$의 값을 구하시오.
🔎 쌍둥이 문제 풀이 및 정답 열기
1. $(x-1)(y-1) = 3 \implies xy - (x+y) + 1 = 3 \implies xy = (x+y) + 2$
2. $x+y = 5$이므로 $xy = 5 + 2 = 7$
3. $x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y) = 5^3 - 3(7)(5) = 125 - 105 = 20$
정답: 20
💬 율초의 한마디
지수와 로그의 고난도 킬러 문항을 빠르고 정확하게 정복하는 핵심은
"지수와 로그의 상호 변환 메커니즘을 꿰뚫고, 조건 속에 숨은 부정방정식·정수 조건을 정밀하게 추론하는 힘"에 있습니다.
1. 밑 통일과 비례상수 $k$: 여러 밑이 얽혀 있을 때는 지체 없이 $=k$로 통일하여 역수 지수로 연결해야 계산 꼬임을 방지할 수 있습니다.
2. 지표와 가수의 분리: 소수 부분의 조건은 $0 \le \alpha < 1$이라는 부등식 범위를 강력한 도구로 활용해 후보군을 좁혀야 합니다.
3. 대칭식의 구조화: 복잡한 지수·로그 연립식은 결국 합($x+y$)과 곱($xy$)의 대수적 구조로 귀결되므로 곱셈공식 변형을 유기적으로 떠올려야 합니다.
본문제와 쌍둥이 변형문제를 반복 훈련하여 식의 구조를 한눈에 꿰뚫는 실전 감각을 완성하시기 바랍니다.
.png)
댓글
댓글 쓰기