율초의 수학연구소

[유형 1] 원주각의 성질과 아폴로니오스의 원 및 삼각함수의 활용

핵심 원리: 세 변의 길이가 주어진 삼각형에서 코사인법칙으로 각의 삼각비를 확정하고, 원의 접선과 현이 이루는 각 및 원주각 성질을 연동하여 선분의 비를 이끌어냅니다.

[대표 문제]
AB = 4, BC = 5, CA = 6인 삼각형 ABC가 있다. 선분 BC를 1:2로 내분하는 점 D를 지나고 선분 AB에 접하는 원이 선분 AC와 만나는 점 중 C가 아닌 점을 E라 하자. 세 점 A, D, E를 지나는 외접원과 선분 BC의 교점 중 D가 아닌 점을 F라 할 때, 선분 DF의 길이는? [4점]

[쌍둥이 변형 문제 1]
AB = 6, BC = 7, CA = 8인 삼각형 ABC에서 BC를 2:1로 내분하는 점 D를 지나고 선분 AB에 접하는 원과 AC의 교점 E에 대하여, 세 점 A, D, E를 지나는 외접원과 선분 BC의 교점 F에 대한 선분 DF의 길이를 구하시오. [4점]

[유형 2] 평행선 조건과 원주각 성질을 이용한 방멱 활용

핵심 원리: 삼각형 외접원과 평행선 조건이 만나면 엇각과 호의 길이(원주각)가 같아지는 대칭성이 확보되며, 이를 통해 선분 사이의 비례 관계를 도출합니다.

[대표 문제]
AB = 5, AC = 7, cos(∠BAC) = 3/7인 삼각형 ABC가 있다. 점 A를 지나고 선분 BC에 평행한 직선이 외접원 O와 만나는 점 중 A가 아닌 점을 P라 하자. AQ = 2인 점 Q를 잡고, 직선 CQ와 외접원의 교점 R에 대하여 선분 QR의 길이는? [4점]

[쌍둥이 변형 문제 2]
AB = 3, AC = 5, cos(∠BAC) = 1/5인 삼각형 ABC에서 점 A를 지나고 BC에 평행한 직선과 외접원의 교점 P를 잡는다. AQ = 1인 점 Q를 잡고 직선 CQ와 외접원의 교점 R에 대하여 선분 QR의 길이를 구하시오. [4점]

[유형 3] 각의 이등분선과 외접원 교점의 닮음 구조

핵심 원리: 각의 이등분선은 대변을 일정한 비로 나누며, 외접원과 만나는 특수한 교점은 삼각형 간의 AA 닮음 조건을 형성하는 열쇠가 됩니다.

[대표 문제]
AB = 6, BC = 4, ∠ABC = 2π/3인 삼각형 ABC가 있다. 각 B의 이등분선과 외접원의 교점을 D라 하자. BE = 3인 점 E를 잡고, 직선 AE와 외접원의 교점 F에 대하여 선분 EF의 길이는? [4점]

[쌍둥이 변형 문제 3]
AB = 8, BC = 5, ∠ABC = 2π/3인 삼각형 ABC에서 각 B의 이등분선과 외접원의 교점을 D라 하자. BE = 4인 점 E를 잡고 직선 AE와 외접원의 교점 F에 대하여 선분 EF의 길이를 구하시오. [4점]

[유형 4] 두 외접원의 공통현과 코사인법칙의 연동

핵심 원리: 두 개 이상의 원이 교차할 때 공통현의 성질과 각의 호에 대한 원주각의 일치를 이용하면 복잡한 도형 속에서도 현의 길이를 정확히 추적할 수 있습니다.

[대표 문제]
내접하는 사각형 ABCD에서 AB = 4, BC = 3, CD = 2, ∠ABC = π/3이다. 대각선 교점을 P라 할 때, 삼각형 ABP와 CDP의 외접원의 교점 Q에 대하여 선분 PQ의 길이는? [4점]

[쌍둥이 변형 문제 4]
내접하는 사각형 ABCD에서 AB = 6, BC = 4, CD = 3, ∠ABC = π/3이다. 대각선 교점 P에 대하여 두 외접원의 교점 Q까지의 선분 PQ의 길이를 구하시오. [4점]

[유형 5] 아폴로니오스의 원과 삼각형 내분점 심화

핵심 원리: 특정 비를 만족하는 점의 자취(아폴로니오스의 원)와 삼각형 내부 선분의 길이를 코사인법칙으로 동시에 엮어내는 고난도 대수-기하 융합 유형입니다.

[대표 문제]
AB = 3, AC = 6인 삼각형 ABC에서 변 BC를 1:2로 내분하는 점을 D라 하자. 삼각형 ABD와 ACD의 외접원의 교점 중 D가 아닌 점을 P라 할 때, 선분 AP의 길이는? [4점]

[쌍둥이 변형 문제 5]
AB = 4, AC = 8인 삼각형 ABC에서 변 BC를 1:3으로 내분하는 점 D에 대하여 두 외접원의 교점 P에 대한 선분 AP의 길이를 구하시오. [4점]

[유형 6] 내심과 외접원의 반지름을 엮은 사인법칙 추론

핵심 원리: 삼각형의 내심 성질과 외접원 사이의 거리를 다룰 때, 내심을 지나는 직선이 외접원과 이루는 현의 길이 성질(안트이엔 성질)을 활용합니다.

[대표 문제]
AB = 7, BC = 8, CA = 5인 삼각형 ABC의 내심을 I라 하자. 직선 AI가 외접원과 만나는 점 중 A가 아닌 점을 D라 할 때, 삼각형 DBC 외접원 반지름의 길이가 14√3 / 3이다. 선분 ID의 길이는? [4점]

[쌍둥이 변형 문제 6]
AB = 5, BC = 6, CA = 4인 삼각형 ABC의 내심 I를 지나는 외접원의 교점 D에 대하여 삼각형 DBC의 외접원 반지름이 5√3 / 2일 때, 선분 ID의 길이를 구하시오. [4점]

[유형 7] 접선과 현이 이루는 각의 연쇄 활용

핵심 원리: 접선과 현이 이루는 각은 그 현에 대한 원주각과 같다는 성질을 이용하여 외접원과 삼각형 간의 숨겨진 닮음을 찾아냅니다.

[대표 문제]
AB = 6, BC = 7, CA = 5인 예각삼각형 ABC의 외접원 O에 대하여, 점 B에서의 접선과 직선 AC의 교점을 P라 하자. 삼각형 ABP 외접원의 중심을 O'이라 할 때, 선분 PO'의 길이는? [4점]

[쌍둥이 변형 문제 7]
AB = 4, BC = 5, CA = 3인 직각삼각형에서 점 B에서의 접선과 직선 AC의 교점 P에 대하여 삼각형 ABP 외접원 중심 O'과 P 사이의 거리를 구하시오. [4점]

[유형 8] 삼각형의 넓이비와 외접원 반지름 역추론

핵심 원리: 사인법칙 변형식과 삼각형의 넓이 공식을 동시에 활용하여 외접원과 현의 길이를 연립합니다.

[대표 문제]
외접원 반지름이 5이고 cos(∠BAC) = 3/5인 예각삼각형 ABC가 있다. 변 BC 위의 점 D에 대하여 BD = 3, DC = 5이다. 점 D를 지나고 AC에 평행한 직선이 외접원과 만나는 두 점 P, Q에 대하여 선분 PQ의 길이는? [4점]

[쌍둥이 변형 문제 8]
외접원 반지름이 10이고 cos(∠BAC) = 4/5인 삼각형에서 BD = 4, DC = 6이다. D를 지나고 AC에 평행한 직선이 외접원과 만나는 현 PQ의 길이를 구하시오. [4점]

[유형 9] 원에 내접하는 사각형의 대각선과 외접원 비율

핵심 원리: 원에 내접하는 사각형은 마주보는 각의 합이 π이므로, 대각선을 기준으로 나뉘는 두 삼각형에 코사인법칙을 연달아 적용해 미지수를 소거합니다.

[대표 문제]
한 원에 내접하는 사각형 ABCD가 다음 조건을 만족한다. AB = 3, BC = 4, CD = 5, DA = 3√2. 대각선 교점 P에 대하여 두 삼각형 ABP, DCP의 외접원 넓이의 비가 9:16일 때, 대각선 AC의 길이는? [4점]

[쌍둥이 변형 문제 9]
내접하는 사각형 ABCD에서 AB = 2, BC = 3, CD = 4, DA = 2√2이고 두 외접원 넓이 비가 4:9일 때, 대각선 AC의 길이를 구하시오. [4점]

[유형 10] 중선정리와 원의 현 최적화 복합 구조

핵심 원리: 파푸스의 중선정리와 삼각형의 외접원 성질을 동시에 활용하여, 삼각형 내부의 특정 수선과 외심 간의 거리 관계를 완성합니다.

[대표 문제]
AB = 4, AC = 6인 삼각형 ABC에서 각 A의 이등분선과 변 BC의 교점을 D라 하자. 두 외접원의 교점 P에서 BC에 내린 수선의 발 H에 대하여 PH = 3√3 / 2이다. 외접원의 반지름은? [4점]

[쌍둥이 변형 문제 10]
AB = 6, AC = 8인 삼각형에서 각 이등분선 교점 D와 외접원 교점 P에서 내린 수선의 발 H에 대하여 PH = 2√3일 때, 외접원의 반지름을 구하시오. [4점]

💡 율초의 한마디

수능 도형 킬러 문항은 공식을 무작정 대입해서 풀 수 있도록 설계되지 않았습니다. '주어진 조건(평행선, 이등분선, 접선, 내심)이 원 위에서 어떠한 대칭성과 각의 크기 변화를 이끌어내는가'를 시각적이고 논리적으로 꿰뚫어 보는 힘이 합격을 결정짓습니다. 남은 69일, 복잡한 계산의 늪에 빠지기보다 조건 속에 숨겨진 본질적인 도형의 성질을 찾아내는 훈련에 집중하세요. 여러분의 치열한 노력이 반드시 위대한 결실로 맺어질 것입니다. 끝까지 흔들리지 말고 완주합시다!