율초의 수학연구소

[문제 1-1 | 표준] 다음 보기 중 $y$가 $x$에 반비례하는 것을 모두 고른 것은? (정답 2개)

[문제 1-2 | 응용] 다음 보기 중 정비례 관계인 것의 개수를 $p$, 반비례 관계인 것의 개수를 $q$라 할 때, $p^2 + q^2$의 값을 구하시오.

[문제 2-1 | 표준] $y$가 $x$에 반비례하고 $x = -4$일 때 $y = 9$이다. $x = 6$일 때 $y$의 값을 구하시오.

[문제 2-2 | 응용] 두 변수 $x, y$에 대하여 $y$는 $x$에 정비례하고, 두 변수 $y, z$에 대하여 $z$는 $y$에 반비례한다. $x = 3$일 때 $y = -12$이고, $y = 8$일 때 $z = 3$이다. $x = -5$일 때 $z$의 값을 구하시오.

[문제 3-1 | 표준] 다음 보기 중 정비례 관계 또는 반비례 관계의 그래프가 제4사분면을 지나는 것을 모두 고른 것은?

[문제 3-2 | 응용] 수직선 위의 점 $P(a)$에 대하여 $a < 0$이고 $ab > 0$일 때, 다음 중 그래프가 제2사분면과 제4사분면을 동시에 지나는 것만을 있는 대로 고른 것은?

[문제 4-1 | 표준] 다음 정비례 관계의 그래프 중 $y$축에 가장 가까운 직선과 $x$축에 가장 가까운 직선을 바르게 짝지은 것은?

[문제 4-2 | 응용] 제1사분면에서 세 정비례 관계 $l_1: y = ax$, $l_2: y = bx$, $l_3: y = cx$의 그래프가 $y$축 쪽에서부터 차례대로 $l_1, l_2, l_3$ 순으로 위치해 있다. 또 두 반비례 관계 $C_1: y = \frac{k_1}{x}$, $C_2: y = \frac{k_2}{x}$에 대하여 $C_2$가 $C_1$보다 원점에서 더 멀리 떨어져 있다. $a, b, c, k_1, k_2$가 모두 양수일 때, 다음 중 항상 옳은 것은? (정답 2개)

[문제 5-1 | 표준] 정비례 관계 $y = ax$의 그래프가 세 점 $(3, -12)$, $(-2, b)$, $(c, 4)$를 지날 때, $a + b + c$의 값을 구하시오. (단, $a$는 상수)

[문제 5-2 | 응용] 반비례 관계 $y = \frac{k}{x}$ ($k > 0$)의 그래프 위의 점 $P(m, n)$이 제1사분면에 있다. 점 $P$의 $x$좌표가 $2$배가 되면 $y$좌표는 $3$만큼 감소하고, $x$좌표가 $3$만큼 증가하면 $y$좌표는 처음의 $\frac{1}{2}$배가 된다고 한다. 이때 상수 $k$의 값을 구하시오.

[문제 6-1 | 표준] 반비례 관계 $y = -\frac{48}{x}$의 그래프 위의 점 중에서 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점의 개수를 구하시오.

[문제 6-2 | 응용] 반비례 관계 $y = \frac{72}{x}$의 그래프 위의 점 $(x, y)$ 중 $x, y$가 모두 정수이고, 부등식 $x > y$를 만족하는 점의 개수를 구하시오.

[문제 7-1 | 표준] 정비례 관계 $y = ax$와 반비례 관계 $y = \frac{18}{x}$의 두 교점 중 한 점 $A$의 $x$좌표가 $3$일 때, 다른 교점 $B$의 좌표를 구하시오.

[문제 7-2 | 응용] 정비례 관계 $y = \frac{4}{3}x$의 그래프와 반비례 관계 $y = \frac{a}{x}$ ($a > 0$)의 그래프가 만나는 제1사분면 위의 점을 $A$, 제3사분면 위의 점을 $B$라 하자. 점 $A$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $C$, 점 $B$에서 $y$축에 내린 수선의 발을 $D$라 할 때, 사각형 $ACBD$의 넓이가 $48$이다. 이때 양수 $a$의 값을 구하시오.

[문제 8-1 | 표준] 두 점 $A(2, 6)$, $B(5, 3)$을 이은 선분 $AB$와 정비례 관계 $y = ax$의 그래프가 만나도록 하는 상수 $a$의 값의 범위를 구하시오.

[문제 8-2 | 응용] 네 점 $A(1, 2)$, $B(4, 2)$, $C(4, 6)$, $D(1, 6)$을 꼭짓점으로 하는 직사각형 $ABCD$가 있다. 두 관계식 $y = mx$와 $y = \frac{k}{x}$ ($k > 0$)의 그래프가 모두 직사각형 $ABCD$와 만난다. 이때 $m$의 최댓값을 $M$, $k$의 최솟값을 $m_0$이라 할 때, $M + m_0$의 값을 구하시오.

[문제 9-1 | 표준] 반비례 관계 $y = \frac{24}{x}$의 그래프 위의 점 $P$에서 $x$축, $y$축에 내린 수선의 발을 각각 $A, B$라 할 때, 원점 $O$와 세 점으로 이루어진 직사각형 $OAPB$의 넓이를 구하시오. (단, 점 $P$는 제1사분면의 점)

[문제 9-2 | 응용] 제1사분면에서 두 반비례 관계 $y = \frac{16}{x}$와 $y = \frac{36}{x}$의 그래프가 있다. $y = \frac{36}{x}$ 위의 한 점 $A$에서 $x$축, $y$축에 평행한 직선을 각각 그어 곡선 $y = \frac{16}{x}$와 만나는 점을 각각 $B, C$라 하자. 선분 $AB$와 선분 $AC$를 두 변으로 하는 직사각형 $ABDC$의 넓이를 구하시오.

[문제 10-1 | 표준] 두 정비례 관계 $y = 3x$와 $y = x$의 그래프가 있다. 직선 $x = 4$가 두 그래프와 만나는 점을 각각 $P, Q$라 할 때, 삼각형 $OPQ$의 넓이를 구하시오. (단, $O$는 원점)

[문제 10-2 | 응용] 제1사분면에서 직선 $y = 2x$ 위의 점 $A$와 곡선 $y = \frac{a}{x}$ ($a > 0$) 위의 점 $B$가 있다. 선분 $AB$는 $x$축과 평행하고 선분 $AB$의 길이가 $6$이다. 점 $A$를 지나고 $y$축에 평행한 직선이 $x$축과 만나는 점을 $C$, 점 $B$를 지나고 $y$축에 평행한 직선이 $x$축과 만나는 점을 $D$라 하자. 직사각형 $ACDB$의 넓이가 $48$일 때, 상수 $a$의 값을 구하시오.

[문제 11-1 | 표준] 톱니 수가 각각 $45$개, $x$개인 두 톱니바퀴 $A, B$가 맞물려 돌고 있다. $A$가 $8$회전할 때 $B$는 $y$회전한다. $B$의 톱니 수가 $30$개일 때, $B$의 회전수를 구하시오.

[문제 11-2 | 응용] 세 톱니바퀴 $A, B, C$가 차례대로 맞물려 돌아가고 있다. 톱니바퀴 $A$의 톱니 수는 $36$개이고 $1$분에 $10$회전한다. 톱니바퀴 $B$의 톱니 수는 $x$개, 톱니바퀴 $C$의 톱니 수는 $y$개이다. $B$의 톱니 수가 $C$의 톱니 수보다 $15$개 더 많고, $C$가 $1$분에 $24$회전할 때, 톱니바퀴 $B$가 $1$분 동안 회전하는 횟수를 구하시오.

[문제 12-1 | 표준] 어떤 스프링쿨러로 화단에 물을 준다. $6$분 동안 뿌린 물의 양이 $45\text{ L}$였다. 이와 같은 속도로 물을 계속 뿌릴 때, 총 $150\text{ L}$의 물을 뿌리는 데 걸리는 시간은 몇 분인지 구하시오.

[문제 12-2 | 응용] 직육면체 모양의 수조 $A$와 원기둥 모양의 수조 $B$에 각각 일정한 속도로 물을 채운다. 수조 $A$는 물을 넣기 시작한 지 $4$분 후 수면의 높이가 $14\text{ cm}$가 되었고, 수조 $B$는 $6$분 후 수면의 높이가 $15\text{ cm}$가 되었다. 두 빈 수조에 동시에 물을 넣기 시작할 때, 수조 $A$의 수면의 높이가 수조 $B$의 수면의 높이보다 $18\text{ cm}$ 더 높아지는 순간은 물을 넣기 시작한 지 몇 분 후인지 구하시오.

문제를 풀다가 식 세우기나 그래프 해석이 막힌다면?

율초의 한마디

정비례와 반비례는 중학교 1학년에서 처음 만나는 본격적인 '함수의 언어'입니다. 단순히 공식을 외워 $x$에 숫자를 대입하는 습관에 머물면 2학년 일차함수, 3학년 이차함수에서 반드시 벽에 부딪히게 됩니다.

정비례 $y=ax$를 볼 때는 "원점을 기준으로 $x$와 $y$의 비율이 일정하게 뻗어나가는 선"으로, 반비례 $y=\frac{a}{x}$를 볼 때는 "둘의 곱이 만든 사각형의 넓이가 $a$로 영원히 고정된 곡선"으로 좌표평면 위에 그려낼 수 있어야 합니다.

오늘 유형별 24문제를 풀어보며 조금이라도 낯설었던 유형이 있었다면, 숫자를 외우려 하지 말고 그래프 위의 '점 하나'가 갖는 본래 의미를 차분히 되짚어보세요. 그 눈을 뜨는 순간 고등 수학까지 이어지는 좌표평면이 가장 친근한 도화지가 되어줄 것입니다.