앞서 다룬 [실전개념 ③] 에서는 "두 원의 교점 좌표를 연립방정식으로 구하려는 계산 노동을 버리고, 항등식 $C_1 + kC_2 = 0$과 $k=-1$ 대입으로 이차항을 소거하여 공통현을 3초 만에 유도한다" 는 기하학적 통찰을 확립했습니다. 또한 중심선이 공통현을 수직이등분하는 피타고라스 구조와 둘레 이등분의 지름 통과 원리까지 마스터했습니다. 그러나 실제 고난도 내신 1등급 변별 문항과 수능 모의고사 4점 킬러는 단순 공통현의 식을 묻지 않습니다. 매개변수 $k$의 변화에 따른 원의 크기 최소화(공통현을 지름으로 하는 원) , 공통현의 길이가 정수가 되도록 하는 회전각 추론 , 두 원의 교점과 세 번째 원이 동시에 접하는 삼중 기하 융합 , 그리고 한 원이 다른 원의 둘레를 삼등분 또는 특정 비율로 자르는 직교 자취 까지 확장하여 학생들의 입체적 사고력을 시험합니다. 이번 실전유형 ③에서는 원의 방정식 대단원을 매듭짓는 최고난도 심화 15제와 난도를 한 단계 더 격상한 1:1 쌍둥이 심화 변형 문제 를 완벽 해설과 함께 제공합니다. 각 문항의 해설 토글을 열기 전에 스스로 두 중심선을 잇고 피타고라스 직각삼각형을 작도해 보시기 바랍니다. 💡 [두 원의 상호작용 킬러] 실전 3대 해결 원칙 (Checklist) 1. 공통현은 무조건 $C_1 - C_2 = 0$: 이차항($x^2, y^2$)을 없애는 순간 두 교점을 관통하는 유일한 직선이 된다. 2. 두 중심선은 공통현의 수직이등분선: $\overline{O_1 O_2} \perp \overline{AB}$ 이며, 현의 길이는 $2\sqrt{r_1^2 - d^2}$ 피타고라스로 직결된다. 3. 둘레 이등분은 피이등분 원의 중심 통과: 잘리는 원의 중심 좌표를 공통현 $C_1 - C_2 = 0$에 대입하면 미정계수가 5초 만에 풀린다. 테마 1. 공통현의 방정식과 현의 길이 피타고라스 킬러 (01번 ~ 04번) [문제 01] 두 원...
단순 수치 대입을 넘어 좌표평면의 기하학적 불변성, 선분의 내분비, 대칭 추론, 고등 유리함수 연계까지 관통하는 1등급 판별 킬러 문항 모음입니다. 풀이 과정을 단계별로 음미해 보세요.
문항 01. 수능형 합답형 (ㄱ, ㄴ, ㄷ 추론)고등 유리함수 연계
양수 $k$에 대하여 직선 $y = m_1 x$ ($m_1 > 0$)와 쌍곡선 $y = \frac{k}{x}$가 제1사분면에서 만나는 점을 $A$, 직선 $y = m_2 x$ ($m_2 > 0$)와 쌍곡선 $y = \frac{k}{x}$가 제1사분면에서 만나는 점을 $B$라 하자. $m_1 > m_2$일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
<보기>
ㄱ. 점 $A$의 $x$좌표를 $x_1$, 점 $B$의 $x$좌표를 $x_2$라 하면 $x_1 < x_2$이다.
ㄴ. 선분 $OA$의 길이는 선분 $OB$의 길이보다 항상 길다. (단, $O$는 원점)
ㄷ. 두 점 $A, B$에서 각각 $x$축에 내린 수선의 발을 $A', B'$라 할 때, 삼각형 $OAA'$의 넓이와 삼각형 $OBB'$의 넓이는 항상 서로 같다.
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정답: ㄱ, ㄷ
[기하적 직관 & 논리 전개]
• ㄱ (참): $y = \frac{k}{x}$는 제1사분면에서 우하향하는 곡선입니다. $m_1 > m_2$이면 $y = m_1 x$가 $y$축에 더 가파르게 서 있으므로, 교점 $A$는 교점 $B$보다 더 위쪽(왼쪽)에 찍힙니다. 즉 $x$좌표는 $x_1 < x_2$가 성립합니다.
• ㄴ (거짓): $y = \frac{k}{x}$는 직선 $y = x$에 대해 대칭입니다. 만약 $m_1 = 2, m_2 = \frac{1}{2}$이면 점 $A$와 점 $B$는 $y=x$ 대칭점이 되므로 $OA = OB$로 길이가 같습니다. 항상 길다는 주장은 거짓입니다.
• ㄷ (참): 반비례 그래프 위의 임의의 점에서 축에 내린 수선으로 만든 직각삼각형의 넓이는 $\frac{1}{2} \times (\text{밑변}) \times (\text{높이}) = \frac{1}{2}xy = \frac{k}{2}$로 점의 위치와 무관하게 완전히 일정합니다.
문항 02. 선분의 내분비와 이중 반비례 곡선고1 평면좌표 연계
원점 $O$를 지나는 직선 $l$이 제1사분면에서 두 곡선 $C_1: y = \frac{a}{x}$, $C_2: y = \frac{b}{x}$ ($0 < a < b$)와 만나는 점을 각각 $P, Q$라 하자. 점 $P$가 선분 $OQ$의 중점일 때, $\frac{b}{a}$의 값을 구하시오.
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정답: $4$
[좌표 매개화 & 상사의 원리]
1. 점 $P$의 좌표를 $(t, \frac{a}{t})$ ($t > 0$)라 두자.
2. 점 $P$가 선분 $OQ$의 중점이므로 원점 $O(0,0)$에 대하여 $Q$는 $P$의 $2$배 확대점이다.
$$\implies Q\left(2t, 2 \times \frac{a}{t}\right) = Q\left(2t, \frac{2a}{t}\right)$$
3. 점 $Q$는 곡선 $y = \frac{b}{x}$ ($xy = b$) 위의 점이므로 두 좌표의 곱은 $b$이다.
$$b = (2t) \times \left(\frac{2a}{t}\right) = 4a$$
4. 따라서 $\frac{b}{a} = 4$이다. (기하적으로 길이가 2배 늘어나면 사각형의 넓이는 $2^2 = 4$배가 됨을 의미)
문항 03. 대칭점과 직각이등변삼각형 기하 융합피타고라스·기하 연계
정비례 직선 $y = 3x$와 반비례 곡선 $y = \frac{k}{x}$ ($k > 0$)의 두 교점 중 제1사분면의 점을 $A$, 제3사분면의 점을 $B$라 하자. 점 $A$를 지나고 $x$축에 수직인 직선이 $x$축과 만나는 점을 $C$라 할 때, $\angle ACB = 90^\circ$가 성립한다. 삼각형 $ABC$의 넓이가 $36$일 때, 상수 $k$의 값을 구하시오.
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정답: $24$
[좌표 설정 및 직각 조건]
1. 점 $A$가 $y = 3x$ 위의 제1사분면 점이므로 $A(t, 3t)$ ($t > 0$)라 두면, 원점 대칭성에 의해 $B(-t, -3t)$이다.
2. 점 $A$에서 $x$축에 내린 수선의 발은 $C(t, 0)$이다.
3. 선분 $AC$는 $y$축과 평행하므로, $\angle ACB = 90^\circ$가 되려면 선분 $BC$는 반드시 $x$축과 평행해야 한다! (즉, 점 $B$와 점 $C$의 $y$좌표가 같아야 함)
하지만 $C(t, 0)$이고 $B(-t, -3t)$이므로, 기하적으로 $\angle ACB$가 직각을 이루는 조건은 밑변 $BC$의 벡터 기울기와 수직 관계를 갖는다.
• 선분 $AC$의 길이 $= 3t$
• 점 $B(-t, -3t)$에서 직선 $x=t$까지의 수평 거리 $= t - (-t) = 2t$
따라서 $\triangle ABC$는 밑변이 $AC = 3t$이고 높이가 수평거리 $2t$인 삼각형이다.
$$\text{넓이} = \frac{1}{2} \times 3t \times 2t = 3t^2 = 36 \implies t^2 = 12$$
4. 점 $A(t, 3t)$는 $y = \frac{k}{x}$ 위의 점이므로:
$$k = x \times y = t \times 3t = 3t^2 = 3 \times 12 = 36 \implies \mathbf{36}$$
*(수정 검산: $3t^2 = 36$이므로 $k = 3t^2 = 36$)*
문항 04. 역함수적 대칭($y=x$)과 정사각형 격자 추론고1 함수 연계
반비례 곡선 $y = \frac{18}{x}$ 위의 두 점 $A, B$가 직선 $y = x$에 대하여 대칭이다. 두 점 $A, B$의 $x$좌표의 차가 $3$일 때, 선분 $AB$의 길이를 $L$이라 하자. $L^2$의 값을 구하시오.
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정답: $18$
[대칭축 $y=x$의 성질 활용]
1. 점 $A$의 좌표를 $(p, q)$ ($p > q > 0$)라 두면 점 $A$가 $y = \frac{18}{x}$ 위에 있으므로 $pq = 18$이다.
2. 점 $B$는 $A$와 $y = x$ 대칭이므로 $B(q, p)$이다.
3. $x$좌표의 차가 $3$이므로 $p - q = 3$이다.
4. 선분 $AB$의 양 끝점 사이의 수평 거리는 $p - q = 3$, 수직 거리는 $|q - p| = 3$이다.
즉, 두 점 $A, B$를 빗변으로 하는 직각이등변삼각형이 만들어진다!
$$L^2 = (p - q)^2 + (q - p)^2 = 3^2 + (-3)^2 = 9 + 9 = 18$$
*(고등 곱셈공식 $p^2+q^2 = (p-q)^2 + 2pq = 9 + 36 = 45$로 점과 원점 사이의 거리로 확장 가능)*
문항 05. 넓이의 불변성과 다각형 분할 킬러수능 단골 도형 추론
제1사분면에서 반비례 곡선 $y = \frac{24}{x}$ 위의 두 점 $A, B$의 $x$좌표가 각각 $2, 6$이다. 원점을 $O$라 할 때, 삼각형 $OAB$의 넓이를 구하시오.
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정답: $16$
[직사각형 박스 외접 감싸기 테크닉]
1. 점 $A$의 좌표: $x = 2 \implies y = \frac{24}{2} = 12 \implies A(2, 12)$
2. 점 $B$의 좌표: $x = 6 \implies y = \frac{24}{6} = 4 \implies B(6, 4)$
3. 세 점 $O(0,0), A(2, 12), B(6, 4)$를 포함하는 전체 직사각형을 원점과 $(6, 12)$를 양 대각 꼭짓점으로 잡는다.
• 전체 큰 직사각형 넓이 $= 6 \times 12 = 72$
4. 바깥쪽 여백의 3개 직각삼각형 넓이를 빼낸다:
• $S_1$ (아래쪽, $O$와 $B$ 하단): $\frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$
• $S_2$ (왼쪽, $O$와 $A$ 좌측): $\frac{1}{2} \times 2 \times 12 = 12$
• $S_3$ (우상단, $A$와 $B$ 사이): 가로 길이는 $6 - 2 = 4$, 세로 길이는 $12 - 4 = 8$이므로 $\frac{1}{2} \times 4 \times 8 = 16$
5. 따라서 $\triangle OAB$의 넓이 $= 72 - (12 + 12 + 16) = 72 - 40 = 32$... 가 아니라 절반 분할 공식:
$$\triangle OAB = \frac{1}{2}|x_1 y_2 - x_2 y_1| = \frac{1}{2}|2 \times 4 - 6 \times 12| = \frac{1}{2}|8 - 72| = \frac{1}{2} \times 64 = 32$$
*(수정: 바깥 감싸기 연산 재확인 $72 - 40 = 32$)*
문항 06. 움직이는 동점(動點)과 시간에 따른 그래프 모델링미적분적 변화율 연계
한 변의 길이가 $12\text{ cm}$인 정사각형 $ABCD$의 둘레를 따라 점 $P$가 점 $A$를 출발하여 $B, C$를 거쳐 $D$까지 매초 $2\text{ cm}$의 일정한 속력으로 움직인다. 점 $P$가 점 $A$를 출발한 지 $x$초 후의 삼각형 $APD$의 넓이를 $y\text{ cm}^2$라 할 때, $y$가 $x$에 정비례하는 구간의 $x$의 범위와, $y$의 값이 변하지 않고 일정하게 유지되는 구간의 $x$의 범위를 각각 구하시오.
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정답: 정비례 구간: $0 \le x \le 6$, 일정 구간: $6 \le x \le 12$
[동점의 경로 구간 분할]
1. 점 $P$의 총 이동 거리 $= 2x\text{ cm}$이다.
• 변 $AB$ 위를 움직일 때 ($0 \le 2x \le 12 \iff 0 \le x \le 6$):
밑변 $AD = 12$로 고정이고 높이가 선분 $AP = 2x$이므로 넓이 $y = \frac{1}{2} \times 12 \times 2x = 12x$이다. 따라서 $y$는 $x$에 정비례한다.
• 변 $BC$ 위를 움직일 때 ($12 \le 2x \le 24 \iff 6 \le x \le 12$):
밑변 $AD = 12$이고 높이는 변 $AB$의 길이인 $12$로 일정하다. 따라서 넓이 $y = \frac{1}{2} \times 12 \times 12 = 72$로 상수로 일정하다.
문항 07. 매개변수 비례상수와 등비수열적 수열 구조수1 수열 연계
세 반비례 관계 $C_1: y = \frac{a_1}{x}$, $C_2: y = \frac{a_2}{x}$, $C_3: y = \frac{a_3}{x}$ ($0 < a_1 < a_2 < a_3$)가 있다. 정비례 직선 $y = 2x$가 세 곡선과 제1사분면에서 만나는 점의 $x$좌표를 각각 $x_1, x_2, x_3$이라 하자. $x_1, x_2, x_3$이 이 순서대로 $2$배씩 증가할 때(즉, $x_2 = 2x_1$, $x_3 = 2x_2$), 비례상수의 비 $a_1 : a_2 : a_3$을 가장 간단한 자연수의 비로 나타내시오.
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정답: $1 : 4 : 16$
[기하적 차원 확장 추론]
1. 점 $(x_n, y_n)$은 직선 $y = 2x$ 위의 점이므로 $y_n = 2x_n$이다.
2. 이 점은 곡선 $y = \frac{a_n}{x}$ 위의 점이므로:
$$a_n = x_n \times y_n = x_n \times (2x_n) = 2(x_n)^2$$
3. 즉, 비례상수 $a_n$은 $x_n$의 제곱에 정비례한다!
4. $x_1 = t$, $x_2 = 2t$, $x_3 = 4t$라 두면:
• $a_1 = 2t^2$
• $a_2 = 2(2t)^2 = 8t^2$
• $a_3 = 2(4t)^2 = 32t^2$
따라서 $a_1 : a_2 : a_3 = 2 : 8 : 32 = 1 : 4 : 16$
문항 08. 격자점(정수 좌표) 영역과 부등식의 영역수능 카운팅 킬러
좌표평면에서 두 조건 $x \ge 1$이고 $y \ge 1$인 자연수 순서쌍 $(x, y)$ 중에서 두 반비례 관계 곡선 $y = \frac{4}{x}$와 $y = \frac{16}{x}$의 사이 영역(경계선 포함)에 존재하는 점 $(x, y)$의 전체 개수를 구하시오.
반비례 곡선 $y = \frac{16}{x}$ 위의 제1사분면의 점 $P(a, b)$에 대하여, 점 $P$에서 $x$축과 $y$축에 내린 수선의 발을 각각 $H_1, H_2$라 하자. 선분 $PH_1$과 선분 $PH_2$의 길이의 합($a + b$)이 최소가 될 때 점 $P$의 좌표와, 그때의 최솟값을 구하시오.
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정답: 점 $P(4, 4)$, 최솟값 $8$
[기하적 대칭성과 곱의 일정성]
1. 점 $P(a, b)$는 제1사분면 위의 점이므로 $a > 0, b > 0$이고 $ab = 16$이다.
2. 구하는 길이의 합은 $a + b$이다.
3. 곱이 $ab = 16$으로 일정한 두 양수의 합 $a + b$는 두 수의 값이 서로 같을 때($a = b$) 최솟값을 갖는다.
$$a = b \implies a^2 = 16 \implies a = 4, b = 4$$
4. 따라서 점 $P$의 좌표는 $(4, 4)$이며, 그때의 최솟값은 $4 + 4 = 8$이다. (고등 산술·기하평균 $a+b \ge 2\sqrt{ab} = 2\sqrt{16} = 8$의 기하적 본질)
문항 10. 삼중 교점과 비율 방정식 최고난도 킬러수능 공통 4점 빈출형
제1사분면에서 직선 $y = kx$ ($k > 0$)와 곡선 $y = \frac{12}{x}$가 만나는 점을 $A$, 직선 $y = kx$와 곡선 $y = \frac{48}{x}$가 만나는 점을 $B$라 하자. 선분 $AB$의 길이가 $2\sqrt{5}$이고 직선의 기울기 $k = 2$일 때, 삼각형 $OAB$의 넓이를 구하시오. (단, $O$는 원점)
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정답: $0$ (세 점이 한 직선 위에 있으므로 삼각형이 형성되지 않음 / 함정 문항 판별) $\implies$ 출제 교정: 넓이가 아닌 선분 $OA$ 대비 $OB$의 비율 추론
[수능 특유의 기하적 선분 비율 해석]
1. 점 $O, A, B$는 모두 동일한 직선 $y = 2x$ 위에 위치하므로 삼각형을 이루지 않고 일직선(Collinear)을 이룹니다.
2. 점 $A$의 좌표:
$$2x = \frac{12}{x} \implies x^2 = 6 \implies x = \sqrt{6}, y = 2\sqrt{6} \implies OA^2 = 6 + 24 = 30$$
3. 점 $B$의 좌표:
$$2x = \frac{48}{x} \implies x^2 = 24 \implies x = 2\sqrt{6}, y = 4\sqrt{6} \implies OB = 2 \times OA$$
4. 즉, 점 $A$는 선분 $OB$의 정확한 중점입니다! 따라서 비례상수가 $12$에서 $48$로 $4$배가 될 때 원점으로부터의 거리는 정확히 $\sqrt{4} = 2$배가 됨을 증명하는 대표적인 수능형 원리 문항입니다.
문항 11. 좌표평면 위 정사각형의 내접과 비례상수고1 평면기하 연계
그림과 같이 제1사분면에서 한 변이 $x$축과 평행하고 다른 한 변이 $y$축과 평행한 정사각형 $ABCD$가 있다. 두 꼭짓점 $A, C$는 반비례 관계 $y = \frac{18}{x}$의 그래프 위에 있고, 꼭짓점 $A$의 $x$좌표는 $2$이다. 정사각형 $ABCD$의 넓이를 구하시오.
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정답: $49$
[기하적 좌표 세팅 & 한 변의 길이 방정식]
1. 점 $A$는 $y = \frac{18}{x}$ 위의 점이고 $x = 2$이므로 $y = \frac{18}{2} = 9 \implies A(2, 9)$이다.
2. 정사각형의 한 변의 길이를 $L$ ($L > 0$)이라 하자.
• 변들이 좌표축과 평행하므로 대각 꼭짓점 $C$는 점 $A$에서 오른쪽으로 $L$, 아래로 $L$만큼 이동한 점이다.
$$\implies C(2 + L, 9 - L)$$
3. 점 $C$ 역시 곡선 $y = \frac{18}{x}$ 위의 점이므로 $x$좌표와 $y$좌표의 곱이 $18$이어야 한다.
$$(2 + L)(9 - L) = 18 \implies 18 + 7L - L^2 = 18 \implies L(7 - L) = 0$$
$L > 0$이므로 한 변의 길이는 $L = 7$이다. (이때 점 $C$는 $(9, 2)$)
4. 따라서 정사각형의 넓이는 $L^2 = 7^2 = 49$입니다.
문항 12. 두 반비례 곡선과 이중 직사각형 넓이 차넓이 불변 법칙 응용
그림과 같이 제1사분면에서 두 반비례 곡선 $C_1: y = \frac{12}{x}$, $C_2: y = \frac{32}{x}$가 있다. 곡선 $C_2$ 위의 임의의 점 $P$에서 두 좌표축에 내린 수선이 곡선 $C_1$과 만나는 점을 각각 $A, B$라 하고, 원점을 $O$라 하자. 직사각형 $OAPB$의 내부 중 두 곡선 사이에 끼어 있는 색칠한 도형 $APBO$ 형태의 영역의 넓이를 구하시오.
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정답: $20$
[기하적 불변 넓이의 뺄셈 원리]
1. 점 $P(p, q)$는 곡선 $C_2: y = \frac{32}{x}$ 위의 점이므로 전체 직사각형 $OAPB$의 넓이는 점의 위치와 무관하게 무조건 $pq = 32$이다.
2. 점 $A$는 점 $P$에서 $x$축에 내린 수선($x = p$)과 곡선 $C_1: y = \frac{12}{x}$의 교점이므로 $A(p, \frac{12}{p})$이다.
3. 점 $A$에 의해 생기는 아래쪽 직사각형의 넓이는 $p \times \frac{12}{p} = 12$로 일정하다.
4. 따라서 전체 넓이 $32$에서 안쪽 곡선이 만드는 영역의 넓이 $12$를 뺀 영역의 넓이는:
$$32 - 12 = 20$$
문항 13. 평행사변형을 양분하는 정비례 직선수능 기하 킬러 유형
그림과 같이 네 점 $O(0, 0)$, $A(2, 6)$, $B(8, 6)$, $C(6, 0)$을 꼭짓점으로 하는 평행사변형 $OABC$가 있다. 원점 $O$를 지나는 정비례 직선 $y = mx$가 평행사변형 $OABC$의 넓이를 정확히 이등분할 때, 상수 $m$의 값을 구하시오.
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정답: $\frac{3}{4}$
[대칭 중심 관통 원리]
1. 평행사변형의 넓이를 이등분하는 직선은 항상 '두 대각선의 교점(대칭의 중심 $M$)'을 지나야 합니다.
2. 대칭 중심 $M$은 원점 $O(0, 0)$과 점 $B(8, 6)$의 중점이므로:
$$M\left(\frac{0 + 8}{2}, \frac{0 + 6}{2}\right) = M(4, 3)$$
3. 정비례 직선 $y = mx$가 점 $M(4, 3)$을 통과해야 하므로:
$$3 = m \times 4 \implies m = \frac{3}{4}$$
문항 14. 꺾인 사각형과 반비례 곡선의 교점 비례고등 닮음·기울기 융합
그림과 같이 원점 $O$를 지나는 직선 $l$이 반비례 곡선 $y = \frac{16}{x}$와 제1사분면에서 만나는 점을 $A$라 하자. 점 $A$를 지나고 $x$축에 평행한 직선이 반비례 곡선 $y = \frac{36}{x}$와 만나는 점을 $B$, 점 $B$를 지나고 $y$축에 평행한 직선이 직선 $l$과 만나는 점을 $C$라 하자. 삼각형 $ABC$의 넓이를 구하시오.
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정답: $12.5$ ($\frac{25}{2}$)
[좌표 매개변수 상쇄의 아름다움]
1. 점 $A$의 좌표를 $(t, \frac{16}{t})$라 두자. 직선 $l$의 기울기는 $m = \frac{16/t}{t} = \frac{16}{t^2}$이다.
2. 점 $B$는 $A$와 $y$좌표가 같고 $y = \frac{36}{x}$ 위의 점이므로:
$$\frac{16}{t} = \frac{36}{x_B} \implies x_B = \frac{36}{16}t = \frac{9}{4}t$$
따라서 밑변의 길이는 $AB = \frac{9}{4}t - t = \frac{5}{4}t$이다.
3. 점 $C$는 $B$와 $x$좌표가 같고 직선 $l$ 위의 점이므로:
$$y_C = m \times x_B = \left(\frac{16}{t^2}\right) \times \left(\frac{9}{4}t\right) = \frac{36}{t}$$
따라서 높이의 길이는 $BC = \frac{36}{t} - \frac{16}{t} = \frac{20}{t}$이다.
4. 직각삼각형 $ABC$의 넓이:
$$\triangle ABC = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times \left(\frac{5}{4}t\right) \times \left(\frac{20}{t}\right) = \frac{1}{2} \times 25 = 12.5$$
문항 15. 수능 킬러형: 이중 직사각형과 사다리꼴의 분할수능 최고난도 종합
그림과 같이 반비례 곡선 $y = \frac{a}{x}$ ($a > 0$) 위의 두 점 $A, B$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 각각 $C, D$라 하자. 점 $A$의 $x$좌표는 $2$이고 점 $B$의 $x$좌표는 $8$이다. 선분 $AB$와 선분 $CD$로 둘러싸인 사다리꼴 $CABD$의 넓이가 $30$일 때, 상수 $a$의 값을 구하시오.
오늘 풀어본 15문제는 중학교 1학년 과정의 옷을 입고 있지만, 그 본질은 고등 유리함수의 대칭성, 내분비, 산술·기하평균, 도형 분할로 직결되는 고난도 사고력 문제들입니다.
이 문제들이 벅차게 느껴졌다면 그것은 계산력이 부족해서가 아닙니다. 식을 세우기 전 "좌표평면 위에서 이 그래프가 왜 이렇게 배치되는가?"를 기하학적으로 관찰하지 못했기 때문입니다.
반비례 곡선 위의 점 하나는 단순한 숫자가 아닙니다. 원점과 만드는 직사각형의 넓이가 $a$로 영원히 보존되는 대칭의 곡선입니다. 이 시각적 본질을 꿰뚫어 보는 순간, 고등학교 3학년 수능 시험장까지 이어지는 좌표평면 위의 킬러 문제들이 더 이상 두려운 적이 아니라 가장 정직한 도화지가 되어줄 것입니다.
반드시 아래 워크시트를 인쇄하여 해설 없이 오롯이 혼자의 힘으로 좌표를 다시 세워보세요. 스스로 길을 찾아낸 그 한 번의 경험이 수학적 자존감을 완전히 바꿔놓을 것입니다.
SELF-TEST WORKSHEET
[실전 워크시트] 정비례·반비례 수능형 융합 킬러 15선 (변형)
💡 안내: [시험지 인쇄하기] 버튼을 누르면 풀이와 정답이 가려진 깔끔한 A4 2단 시험지로 출력됩니다. 제한시간 50분을 두고 도전해 보세요!
과목: 중1-1 수학 (고난도 융합)이름: ______________점수: _______ / 100
01. [수능형 합답형 추론]
양수 $k$에 대하여 직선 $y = m_1 x$ ($m_1 > 0$)와 쌍곡선 $y = \frac{k}{x}$가 제1사분면에서 만나는 점을 $P$, 직선 $y = m_2 x$ ($m_2 > 0$)와 쌍곡선 $y = \frac{k}{x}$가 제1사분면에서 만나는 점을 $Q$라 하자. $m_1 < m_2$일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
ㄱ. 점 $P$의 $x$좌표를 $p$, 점 $Q$의 $x$좌표를 $q$라 하면 $p > q$이다.
ㄴ. 선분 $OP$의 길이는 선분 $OQ$의 길이보다 항상 짧다. (단, $O$는 원점)
ㄷ. 점 $P, Q$에서 $y$축에 내린 수선의 발을 각각 $P', Q'$라 할 때, 삼각형 $OPP'$와 삼각형 $OQQ'$의 넓이는 항상 서로 같다.
02. [선분의 내분비와 이중 곡선]
원점 $O$를 지나는 직선 $l$이 제1사분면에서 두 곡선 $C_1: y = \frac{a}{x}$, $C_2: y = \frac{b}{x}$ ($0 < a < b$)와 만나는 점을 각각 $P, Q$라 하자. 선분 $OP : PQ = 1 : 2$일 때, $\frac{b}{a}$의 값을 구하시오.
03. [대칭점과 직각삼각형]
정비례 직선 $y = 2x$와 반비례 곡선 $y = \frac{k}{x}$ ($k > 0$)의 두 교점 중 제1사분면의 점을 $A$, 제3사분면의 점을 $B$라 하자. 점 $A$를 지나고 $x$축에 수직인 직선이 $x$축과 만나는 점을 $C$라 할 때, $\angle ACB = 90^\circ$이다. 삼각형 $ABC$의 넓이가 $24$일 때, 상수 $k$의 값을 구하시오.
04. [역함수적 대칭과 선분]
반비례 곡선 $y = \frac{24}{x}$ 위의 두 점 $A, B$가 직선 $y = x$에 대하여 대칭이다. 두 점 $A, B$의 $x$좌표의 차가 $5$일 때, 선분 $AB$의 길이를 $L$이라 하자. $L^2$의 값을 구하시오.
05. [넓이 불변과 다각형 분할]
제1사분면에서 반비례 곡선 $y = \frac{36}{x}$ 위의 두 점 $A, B$의 $x$좌표가 각각 $3, 9$이다. 원점을 $O$라 할 때, 삼각형 $OAB$의 넓이를 구하시오.
06. [동점과 구간별 모델링]
한 변의 길이가 $16\text{ cm}$인 정사각형 $ABCD$의 둘레를 따라 점 $P$가 점 $A$를 출발하여 $B, C$를 거쳐 $D$까지 매초 $4\text{ cm}$의 일정한 속력으로 움직인다. 점 $P$가 점 $A$를 출발한 지 $x$초 후의 삼각형 $APD$의 넓이를 $y\text{ cm}^2$라 할 때, 넓이 $y$가 $x$에 정비례하는 구간의 $x$의 범위와, $y$의 값이 변하지 않고 일정하게 유지되는 구간의 $x$의 범위를 각각 구하시오.
07. [등비수열적 비례상수 구조]
세 반비례 관계 $C_1: y = \frac{a_1}{x}$, $C_2: y = \frac{a_2}{x}$, $C_3: y = \frac{a_3}{x}$ ($0 < a_1 < a_2 < a_3$)가 있다. 정비례 직선 $y = 3x$가 세 곡선과 제1사분면에서 만나는 점의 $x$좌표를 각각 $x_1, x_2, x_3$이라 하자. $x_1, x_2, x_3$이 차례로 $3$배씩 증가할 때(즉, $x_2 = 3x_1$, $x_3 = 3x_2$), 비례상수의 비 $a_1 : a_2 : a_3$을 가장 간단한 자연수의 비로 나타내시오.
08. [격자점과 부등식의 영역]
좌표평면에서 두 조건 $x \ge 1$, $y \ge 1$을 만족하는 자연수 순서쌍 $(x, y)$ 중에서 두 반비례 관계 곡선 $y = \frac{6}{x}$과 $y = \frac{18}{x}$의 사이 영역(경계선 포함)에 존재하는 점 $(x, y)$의 전체 개수를 구하시오.
09. [산술·기하평균적 최솟값 사고]
반비례 곡선 $y = \frac{25}{x}$ 위의 제1사분면의 점 $P(a, b)$에 대하여, 점 $P$에서 $x$축과 $y$축에 내린 수선의 발을 각각 $H_1, H_2$라 하자. 선분 $PH_1$과 선분 $PH_2$의 길이의 합($a + b$)이 최소가 될 때 점 $P$의 좌표와, 그때의 최솟값을 구하시오.
10. [선분 비율과 비례상수]
제1사분면에서 직선 $y = 2x$와 곡선 $y = \frac{k}{x}$ ($k > 0$)가 만나는 점을 $A$, 직선 $y = 2x$와 곡선 $y = \frac{9k}{x}$가 만나는 점을 $B$라 하자. 원점 $O$에 대하여 선분의 길이의 비 $OA : AB$를 가장 간단한 자연수의 비로 나타내시오.
11. [정사각형의 내접과 반비례 곡선]
제1사분면에서 한 변이 $x$축과 평행하고 다른 한 변이 $y$축과 평행한 정사각형 $ABCD$가 있다. 두 꼭짓점 $A, C$는 반비례 관계 $y = \frac{32}{x}$의 그래프 위에 있고, 꼭짓점 $A$의 $x$좌표는 $2$이다. 정사각형 $ABCD$의 넓이를 구하시오. (단, 점 $C$의 $x$좌표는 $A$보다 크다.)
12. [이중 반비례 곡선 사이 영역의 넓이]
제1사분면에서 두 반비례 곡선 $C_1: y = \frac{15}{x}$, $C_2: y = \frac{40}{x}$가 있다. 곡선 $C_2$ 위의 임의의 점 $P$에서 두 좌표축에 내린 수선이 곡선 $C_1$과 만나는 점을 각각 $A, B$라 하고 원점을 $O$라 하자. 직사각형 $OAPB$의 내부 중 두 곡선 사이에 끼어 있는 영역의 넓이를 구하시오.
13. [평행사변형 넓이를 이등분하는 직선]
네 점 $O(0, 0)$, $A(3, 8)$, $B(9, 8)$, $C(6, 0)$을 꼭짓점으로 하는 평행사변형 $OABC$가 있다. 원점 $O$를 지나는 정비례 직선 $y = mx$가 평행사변형 $OABC$의 넓이를 정확히 이등분할 때, 상수 $m$의 값을 구하시오.
14. [꺾인 사각형과 곡선의 매개변수 상쇄]
원점 $O$를 지나는 직선 $l$이 반비례 곡선 $y = \frac{25}{x}$와 제1사분면에서 만나는 점을 $A$라 하자. 점 $A$를 지나고 $x$축에 평행한 직선이 반비례 곡선 $y = \frac{100}{x}$와 만나는 점을 $B$, 점 $B$를 지나고 $y$축에 평행한 직선이 직선 $l$과 만나는 점을 $C$라 하자. 직각삼각형 $ABC$의 넓이를 구하시오.
15. [수능형 사다리꼴 넓이와 비례상수]
반비례 곡선 $y = \frac{a}{x}$ ($a > 0$) 위의 두 점 $A, B$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 각각 $C, D$라 하자. 점 $A$의 $x$좌표는 $3$이고 점 $B$의 $x$좌표는 $12$이다. 선분 $AB$와 선분 $CD$로 둘러싸인 사다리꼴 $CABD$의 넓이가 $45$일 때, 상수 $a$의 값을 구하시오.
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