율초의 수학연구소

직선과 쌍곡선이 만나는 순간: 정비례와 반비례의 기하학적 결합

중1 좌표평면과 그래프 단원에서 단독 개념으로 정비례($y=ax$)와 반비례($y=\frac{k}{x}$)를 마스터했다면, 학교 시험의 최고 배점 서술형과 킬러 문항은 언제나 "두 그래프가 하나의 좌표평면 위에 겹쳐지는 순간"에서 출발합니다.

점들이 직선을 타고 오르내리고, 곡선 위에서 일정한 면적을 품은 채 정사각형, 평행사변형, 분할된 삼각형을 이룹니다. 얼핏 복잡해 보이는 도형 복합 문제들이지만, 사실 단 두 가지의 대수·기하학적 원리만 꿰뚫고 있으면 모든 미지수가 순식간에 풀려나옵니다.

💡 도형 복합 문제를 단숨에 푸는 3대 치트키

두 함수 사이에 놓인 정사각형의 한 변의 길이

점 $A$는 정비례 $y = 2x$의 그래프 위에 있고, 점 $C$는 반비례 $y = \frac{8}{x}$의 그래프 위에 있다. 점 $A$의 $x$좌표가 $2$이고 사각형 $ABCD$가 네 변이 좌표축에 평행한 정사각형일 때, 정사각형 $ABCD$의 한 변의 길이와 점 $D$의 좌표를 구하시오.

원점을 지나는 직선의 직각삼각형 넓이 이등분

세 점 $O(0, 0)$, $A(8, 12)$, $B(8, 0)$을 꼭짓점으로 하는 직각삼각형 $OAB$가 있다. 원점 $O$를 지나는 정비례 $y = ax$ ($a > 0$)의 그래프가 직각삼각형 $OAB$의 넓이를 정확히 이등분할 때, 상수 $a$의 값을 구하시오.

두 교점의 원점 대칭성을 이용한 넓이

정비례 $y = \frac{3}{2}x$와 반비례 $y = \frac{24}{x}$의 그래프가 제1사분면에서 만나는 점을 $A$, 제3사분면에서 만나는 점을 $B$라 하자. 두 점 $A, B$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 각각 $C, D$라 할 때, 사각형 $ACBD$의 넓이를 구하시오.

두 반비례 곡선 사이에 놓인 직사각형

점 $A$는 반비례 $y = \frac{36}{x}$ 위의 점이고, 점 $C$는 반비례 $y = \frac{12}{x}$ 위의 점이다. 사각형 $ABCD$의 네 변이 축에 평행하고 점 $A$의 $x$좌표가 $3$, 가로 변 $AD$의 길이가 $3$일 때, 직사각형 $ABCD$의 넓이를 구하시오.

직각삼각형 넓이로 비례상수 역추적

정비례 $y = ax$와 반비례 $y = \frac{k}{x}$가 제1사분면 위의 점 $P$에서 만난다. 점 $P$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $Q$, 원점을 $O$라 할 때, 직각삼각형 $OPQ$의 넓이가 $15$이고 점 $P$의 $x$좌표가 $5$이다. 상수 $a$와 $k$의 곱 $a \times k$의 값을 구하시오.

좌표평면 위에서 도형이 등장하면 많은 아이들이 "함수가 갑자기 기하학으로 바뀌었다"며 당황하곤 합니다. 하지만 이 문제들의 본질은 결코 도형이 아닙니다. 도형의 변을 매개로 삼아 좌표들을 하나의 문자로 엮어내는 대수적 표현력이 핵심입니다.

"왼쪽 위 점 하나를 잡으면 나머지 세 점의 좌표가 도미노처럼 정해진다"는 이 좌표화 감각은 중2 일차함수의 넓이 이등분, 그리고 고1 유리함수와 고2 미적분의 극대·극소 내접 사각형 문제까지 고스란히 이어집니다. 오늘 다룬 5개 유형을 손으로 직접 좌표를 적어가며 체화해 보세요. 어떤 복합 문제가 나와도 출제자의 의도가 투명하게 보일 것입니다.