앞서 다룬 [실전개념 ③] 에서는 "두 원의 교점 좌표를 연립방정식으로 구하려는 계산 노동을 버리고, 항등식 $C_1 + kC_2 = 0$과 $k=-1$ 대입으로 이차항을 소거하여 공통현을 3초 만에 유도한다" 는 기하학적 통찰을 확립했습니다. 또한 중심선이 공통현을 수직이등분하는 피타고라스 구조와 둘레 이등분의 지름 통과 원리까지 마스터했습니다. 그러나 실제 고난도 내신 1등급 변별 문항과 수능 모의고사 4점 킬러는 단순 공통현의 식을 묻지 않습니다. 매개변수 $k$의 변화에 따른 원의 크기 최소화(공통현을 지름으로 하는 원) , 공통현의 길이가 정수가 되도록 하는 회전각 추론 , 두 원의 교점과 세 번째 원이 동시에 접하는 삼중 기하 융합 , 그리고 한 원이 다른 원의 둘레를 삼등분 또는 특정 비율로 자르는 직교 자취 까지 확장하여 학생들의 입체적 사고력을 시험합니다. 이번 실전유형 ③에서는 원의 방정식 대단원을 매듭짓는 최고난도 심화 15제와 난도를 한 단계 더 격상한 1:1 쌍둥이 심화 변형 문제 를 완벽 해설과 함께 제공합니다. 각 문항의 해설 토글을 열기 전에 스스로 두 중심선을 잇고 피타고라스 직각삼각형을 작도해 보시기 바랍니다. 💡 [두 원의 상호작용 킬러] 실전 3대 해결 원칙 (Checklist) 1. 공통현은 무조건 $C_1 - C_2 = 0$: 이차항($x^2, y^2$)을 없애는 순간 두 교점을 관통하는 유일한 직선이 된다. 2. 두 중심선은 공통현의 수직이등분선: $\overline{O_1 O_2} \perp \overline{AB}$ 이며, 현의 길이는 $2\sqrt{r_1^2 - d^2}$ 피타고라스로 직결된다. 3. 둘레 이등분은 피이등분 원의 중심 통과: 잘리는 원의 중심 좌표를 공통현 $C_1 - C_2 = 0$에 대입하면 미정계수가 5초 만에 풀린다. 테마 1. 공통현의 방정식과 현의 길이 피타고라스 킬러 (01번 ~ 04번) [문제 01] 두 원...
정비례 그래프 $y = ax$의 기본 개형을 익힌 아이들이 중학교 내신 시험에서 가장 많이 좌절하는 단원이 바로 ‘도형의 넓이’ 문제입니다.
분명 식도 세울 줄 알고 점도 찍을 줄 아는데, "직선과 축으로 둘러싸인 삼각형이나 사다리꼴의 넓이를 구하시오"라는 문장만 나오면 밑변과 높이를 어디로 잡아야 할지 헤매거나, 음수 좌표를 길이에 그대로 넣어 넓이가 음수가 나오는 어처구니없는 오답을 냅니다.
하지만 원리만 알면 정비례 도형 문제는 가장 확실하게 고득점을 챙길 수 있는 효자 유형입니다. 이번 글에서는 주어진 한 점으로 3초 만에 정비례 식을 완성하는 역산 비법부터 축과 이루는 삼각형·사다리꼴, 그리고 비스듬한 복합 도형을 박스(Box)로 감싸 단칼에 베어내는 실전 기하 테크닉까지 완벽히 정리해 드립니다.
1. 지나는 점 $(x_1, y_1)$ 하나로 식 완성하기: 3초 비율 공식
원점 이외의 점 하나 $(p, q)$가 주어졌을 때 정비례 식을 구하는 방법은 두 가지입니다.
방법 ① 정석 대입법:
$y = ax$에 $x = p, y = q$를 대입하여 $q = a \times p \rightarrow a = \frac{q}{p}$로 방정식을 풉니다.
방법 ② 율초의 3초 비율 공식:
정비례의 본질은 $\frac{y}{x} = a$로 항상 일정합니다. 따라서 점의 좌표를 보자마자 분모에 $x$좌표, 분자에 $y$좌표를 얹으면 즉시 비례상수 $a$가 나옵니다.
점 $(3, -6)$을 지난다? $\rightarrow a = \frac{-6}{3} = -2 \rightarrow$ $y = -2x$
2. 정비례 직선과 축이 만드는 직각삼각형: 절댓값($|\cdot|$) 처리
정비례 직선 $y = ax$ 위의 점 $P(p, q)$에서 $x$축에 수선의 발을 내릴 때 생기는 삼각형은 언제나 직각삼각형입니다. 이때 가장 중요한 철칙은 "도형의 길이는 부호가 없다"는 점입니다.
[정답 2] $14$
(풀이: 점 $B(-2, 4)$와 점 $A(6, 2)$, 원점 $O(0, 0)$을 감싸는 박스를 만듭니다.
가로 범위는 $-2$부터 $6$까지이므로 가로 길이 $= 6 - (-2) = 8$.
세로 범위는 $0$부터 $4$까지이므로 세로 길이 $= 4 - 0 = 4$.
$\rightarrow \text{전체 박스 넓이} = 8 \times 4 = 32$.
* 여백 ① (아래쪽 $OA$ 직각삼각형): 밑변 $6$, 높이 $2 \rightarrow \frac{1}{2} \times 6 \times 2 = 6$
* 여백 ② (왼쪽 아래 $OB$ 직각삼각형): 밑변 $2$, 높이 $4 \rightarrow \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4$
* 여백 ③ (위쪽 $AB$ 사다리꼴 또는 삼각형): 가로 거리 $8$, 세로 차이 $4 - 2 = 2 \rightarrow \frac{1}{2} \times 8 \times 2 = 8$
따라서 삼각형 넓이 $= 32 - (6 + 4 + 8) = 32 - 18 = 14$)
[정답 3] $m = \frac{1}{2}$
(풀이: [율초의 3초 킬러 공식] 원점을 지나는 직선이 직사각형의 넓이를 이등분하려면, 반드시 ‘직사각형의 두 대각선의 교점(무게중심/대칭중심)’을 지나야 합니다!
직사각형의 대칭 중심 좌표는 가로 중점 $\frac{2+6}{2} = 4$, 세로 중점 $\frac{0+4}{2} = 2$이므로 $(4, 2)$입니다.
직선 $y = mx$가 점 $(4, 2)$를 지나야 하므로 $2 = 4m \rightarrow m = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$)
율초의 한마디: 기하와 대수가 만나는 지점에 수능 킬러의 열쇠가 있습니다
수학을 못하는 학생은 식 따로, 그림 따로 풉니다. 하지만 고등 수학 1등급을 받는 아이들은 "대수 식 $y=ax$를 보는 순간 좌표평면 위의 직각삼각형과 기울기 삼각형을 동시에 머릿속에 띄웁니다." 고등학교 2학년 때 배우는 미적분의 정적분(곡선 아래의 넓이)도 결국 이 작은 직각삼각형과 사다리꼴들의 무수한 합에서 출발합니다. 좌표를 길이(절댓값)로 치환해 도형을 해석하고 박스로 여백을 제어하는 훈련, 이것이 바로 중학교 1학년 때 반드시 완성해야 할 기하대수적 사고의 본체입니다.
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