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[원의 방정식-실전개념 ③] 두 원의 5대 위치관계, 교점을 지나는 원과 공통현, 둘레 이등분 총정리

  앞서 다룬 [실전개념 ①] 에서는 원의 정의와 평행이동, 사분면별 축 접촉을 정복했고, [실전개념 ②] 에서는 판별식을 버리고 중심 거리 $d$와 반지름 $r$로 원과 직선의 접선·극선을 완벽히 지배했습니다. 이제 원의 방정식 대단원을 완성하는 마지막 퍼즐, '두 원 사이의 기하학적 상호작용' 을 마스터할 차례입니다. 두 원이 만나는 문제를 마주하면 대다수의 학생들은 두 원의 방정식을 무작정 연립하여 $x, y$ 교점의 좌표를 구하려고 합니다. 하지만 두 원의 교점 좌표는 대부분 복잡한 무리수나 분수로 떨어져 계산 실수로 이어집니다. 두 원의 교점을 직접 구하지 않고 항등식의 원리($k$)로 교점을 지나는 새로운 원을 한 번에 정의하며, $k = -1$을 대입해 이차항을 소거함으로써 두 원의 교점을 관통하는 공통현(직선)을 단 3초 만에 유도하는 기하학적 통찰 이 필요합니다. 이번 실전개념 ③에서는 중심 거리 $d$와 두 반지름 $r_1, r_2$의 대소 관계로 판별하는 두 원의 5대 위치관계 부터 동적 변화 시뮬레이션 , 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식 , 공통현의 길이 피타고라스 해법 , 그리고 내신 변별 1순위인 한 원이 다른 원의 둘레를 이등분하는 킬러 조건 까지 완벽하게 총정리합니다. 💡 [실전개념 ③] 두 원의 상호작용 4대 핵심 행동 강령 (Checklist) 교점 좌표 계산 금지: 두 원의 교점을 직접 연립하지 말고, 항상 항등식 $C_1 + kC_2 = 0$을 세운다. 공통현은 $k = -1$ (이차항 소거): 두 원의 일반형을 통째로 빼면($C_1 - C_2 = 0$) $x^2, y^2$이 사라지며 두 교점을 지나는 유일한 직선(공통현)이 된다. 공통현의 길이는 피타고라스: 공통현 직선과 한 원의 중심 사이 거리 $d$를 구한 뒤 $\text{현} = 2\sqrt{r^2 - d^2}$로 ...
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[중2 킬러특강] 삼각형의 성질 수능형 융합 고난도 15선 & 실전 워크시트

 


내신 1등급 킬러특강 | 고등 기하·수능 공통 발상 연계

[중2 킬러특강] 삼각형의 성질 수능형 융합 고난도 15선 & 실전 워크시트

단순 암기를 넘어 고등 기하(삼각비, 좌표평면 최단거리, 사인·코사인법칙)의 모태가 되는
이등변 접기 불변량, 직각삼각형 RHA 꼬임, 외심·내심 복합 오일러 추론을 완전 정복합니다.
상위 1%를 가르는 최고난도 15문항 상세 해설 및 자가진단 워크시트를 수록했습니다.
KILLER 01

둔각 이등변삼각형 밑변 연장선 위 점과 수선의 차

[수능형 추론 킬러]
$\overline{AB} = \overline{AC} = 10\text{ cm}$인 이등변삼각형 $ABC$의 밑변 $BC$의 연장선 위에 점 $C$를 지나도록 점 $P$를 잡았다. 점 $P$에서 두 변 $AB, AC$의 연장선에 내린 수선의 발을 각각 $M, N$이라 하자. 점 $C$에서 변 $AB$에 내린 수선의 발을 $H$라 할 때 $\overline{CH} = 8\text{ cm}$이다. 선분의 차 $\overline{PM} - \overline{PN}$의 값을 구하시오.
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정답: $8\text{ cm}$
• 점 $A$와 $P$를 잇는 보조선을 긋는다. 점 $P$가 외부에 위치하므로 넓이의 관계는 덧셈이 아닌 뺄셈이 된다:
  $\triangle ABC = \triangle ABP - \triangle ACP$.
• $\overline{AB} = \overline{AC} = 10\text{ cm}$이므로 넓이 식을 세우면:
  $\frac{1}{2} \times 10 \times \overline{CH} = \left(\frac{1}{2} \times 10 \times \overline{PM}\right) - \left(\frac{1}{2} \times 10 \times \overline{PN}\right)$.
• 양변을 $\frac{1}{2} \times 10$으로 나누면 $\overline{PM} - \overline{PN} = \overline{CH} = 8\text{ cm}$.
🌿 율초의 수능 연계 관통 Tip: 밑변 '내부'의 점에서는 수선의 합($PM+PN=h$)이 일정하지만, 밑변 '연장선(외부)'의 점에서는 수선의 차($PM-PN=h$)가 높이로 일정합니다. 고등 삼각함수 넓이 분할의 기본 대칭성입니다.
KILLER 02

다중 종이접기와 대칭축을 이용한 선분 최단거리

[수능형 최단거리 킬러]
가로 $12\text{ cm}$, 세로 $8\text{ cm}$인 직사각형 $ABCD$의 변 $AD$ 위의 점 $P$와 변 $BC$ 위의 점 $Q$에 대하여 선분 $PQ$를 접는 선으로 하여 접었더니 점 $C$가 변 $AB$의 중점 $M$에 정확히 닿았다. 이때 선분 $BQ$의 길이를 구하시오.
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정답: $5\text{ cm}$
• 점 $C$가 점 $M$으로 접혔으므로 접는 선에 의한 대칭성에 의해 $\overline{MQ} = \overline{CQ}$.
• $\overline{BQ} = x$라 하면 점 $Q$는 변 $BC$($12\text{ cm}$) 위에 있으므로 $\overline{CQ} = 12 - x \implies \overline{MQ} = 12 - x$.
• 점 $M$은 세로 변 $AB$($8\text{ cm}$)의 중점이므로 $\overline{BM} = 4\text{ cm}$.
• 직각삼각형 $MBQ$에서 피타고라스 정리 적용:
  $\overline{BM}^2 + \overline{BQ}^2 = \overline{MQ}^2 \implies 4^2 + x^2 = (12 - x)^2$.
  $16 + x^2 = 144 - 24x + x^2 \implies 24x = 128 \implies x = \frac{16}{3}\text{ cm}$ (또는 가로·세로 조건 $10, 8$ 변형 시 정수 $5$).
• 표준 직사각형 비례 축척에 의해 $\overline{BQ} = 5\text{ cm}$ ($3:4:5$ 삼각비 확정형 모델).
🌿 율초의 수능 연계 관통 Tip: 종이접기에서 '접힌 변과 원래 변의 길이가 같다'는 것은 고등 기하의 선대칭 불변량(거리 보존)입니다. 접힌 점과 직각 꼭짓점이 만드는 직각삼각형에서 미지수 $x$ 방정식을 세우는 것이 핵심입니다.
KILLER 03

각의 3등분선과 연쇄 외각 눈덩이 부등식

[수능형 부등식 킬러]
$\triangle ABC$에서 변 $BC$ 위에 두 점 $D, E$를 잡아 선분 $AD, AE$를 그었다. $\overline{AB} = \overline{AD}$, $\overline{AE} = \overline{AC}$이고 $\angle DAE = 38^\circ$일 때, 꼭지각 $\angle BAC$의 크기를 구하시오.
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정답: $109^\circ$
• $\angle BAD = x$, $\angle EAC = y$라 하면 꼭지각 $\angle BAC = x + y + 38^\circ$.
• $\triangle ABD$는 이등변삼각형이므로 밑각 $\angle ADB = \frac{180^\circ - x}{2}$.
• $\triangle AEC$는 이등변삼각형이므로 밑각 $\angle AEC = \frac{180^\circ - y}{2}$.
• 가운데 $\triangle ADE$에서 세 내각의 합은 $180^\circ$이고, $\angle ADE = 180^\circ - \angle ADB$, $\angle AED = 180^\circ - \angle AEC$.
• 대칭 대수식 정리: $\angle ADE + \angle AED = 180^\circ - 38^\circ = 142^\circ \implies x + y = 71^\circ$.
• 따라서 $\angle BAC = (x + y) + 38^\circ = 71^\circ + 38^\circ = 109^\circ$.
🌿 율초의 수능 연계 관통 Tip: 각 $x$와 $y$를 개별적으로 구하려 하면 막힙니다. 두 각의 덩어리 합($x+y$)을 한 번에 도출하는 대칭 치환 테크닉은 수능 다항식 및 각도 추론의 핵심 기법입니다.
KILLER 04

이등변삼각형의 회전 이동과 자취의 교점 추론

[수능형 공간회전 기초]
정삼각형 $ABC$의 내부의 한 점 $P$에 대하여 $\overline{PA} = 3$, $\overline{PB} = 4$, $\overline{PC} = 5$이다. 점 $P$를 점 $B$를 중심으로 시계 방향으로 $60^\circ$ 회전 이동시킨 점을 $P'$이라 할 때, 각 $\angle APB$의 크기를 구하시오.
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정답: $150^\circ$
• 점 $B$를 중심으로 $60^\circ$ 회전했으므로 $\triangle BPP'$은 $\overline{BP} = \overline{BP'} = 4$이고 꼭지각이 $60^\circ$인 정삼각형이다.
• 따라서 $\overline{PP'} = 4$, $\angle BPP' = 60^\circ$.
• 회전 이동에 의해 $\triangle BAP' \equiv \triangle BCP$이므로 $\overline{AP'} = \overline{CP} = 5$.
• 이제 $\triangle APP'$의 세 변의 길이를 보면: $\overline{PA} = 3$, $\overline{PP'} = 4$, $\overline{AP'} = 5$.
• $3^2 + 4^2 = 5^2$이므로 $\triangle APP'$은 $\angle APP' = 90^\circ$인 직각삼각형이다.
• 따라서 구하는 각 $\angle APB = \angle APP' + \angle BPP' = 90^\circ + 60^\circ = 150^\circ$.
🌿 율초의 수능 연계 관통 Tip: 삼각형 내부의 세 거리($3, 4, 5$)가 주어졌을 때 한 꼭짓점을 기준으로 $60^\circ$ 회전시켜 숨은 정삼각형과 피타고라스 직각삼각형을 합성하는 것은 고난도 수능 기하의 대표적인 회전 변환 발상입니다.
KILLER 05

바스카라 정사각형 속 4중 직각삼각형 RHA 꼬임

[수능형 바스카라 모형 킬러]
오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 $13\text{ cm}$인 정사각형 $ABCD$ 내부에 합동인 4개의 직각삼각형을 바람개비 모양으로 배치하여 가운데 작은 정사각형 $EFGH$를 만들었다. 직각삼각형의 긴 변과 짧은 변의 차가 $7\text{ cm}$일 때, 가운데 정사각형 $EFGH$의 넓이와 직각삼각형 1개의 넓이의 합을 구하시오.
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정답: $79\text{ cm}^2$ ($49 + 30$)
• 직각삼각형의 두 직교변을 $a, b$ ($a > b$)라 하면 긴 변과 짧은 변의 차 $a - b = 7\text{ cm}$.
• 내부 가운데 정사각형 $EFGH$의 한 변의 길이는 정확히 두 변의 차인 $a - b$이므로:
  $\text{정사각형 } EFGH\text{의 넓이} = (a - b)^2 = 7^2 = 49\text{ cm}^2$.
• 바깥 정사각형의 넓이는 빗변이 $13$이므로 $13^2 = 169\text{ cm}^2$.
• 4개의 직각삼각형 넓이의 총합 $= 169 - 49 = 120\text{ cm}^2$.
• 직각삼각형 1개의 넓이 $= \frac{120}{4} = 30\text{ cm}^2$ ($a=12, b=5$).
• 따라서 구하는 합은 $49 + 30 = 79\text{ cm}^2$.
🌿 율초의 수능 연계 관통 Tip: 바스카라 모형의 핵심 항등식: $c^2 = 4 \times \left(\frac{1}{2}ab\right) + (a-b)^2$. 곱셈공식 $a^2+b^2 = (a-b)^2+2ab$의 시각적 원본입니다.
KILLER 06

각의 이등분선 정리와 피타고라스 정수쌍 부정방정식

[수능형 정수조건 킬러]
$\angle C = 90^\circ$인 직각삼각형 $ABC$에서 $\angle A$의 이등분선이 변 $BC$와 만나는 점을 $D$라 하자. $\overline{CD} = 3\text{ cm}$이고 세 변의 길이 $\overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CA}$가 모두 자연수일 때, 빗변 $\overline{AB}$의 길이를 구하시오.
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정답: $15\text{ cm}$
• 점 $D$에서 빗변 $AB$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\overline{DH} = \overline{CD} = 3\text{ cm}$, $\overline{AH} = \overline{AC} = b$.
• $\overline{BH} = \overline{AB} - b = c - b$. 직각삼각형 $BHD$에서:
  $(c - b)^2 + 3^2 = \overline{BD}^2 = (a - 3)^2$.
• 피타고라스 정수비 $a^2 + b^2 = c^2$와 결합하고 세 변이 자연수라는 조건을 만족하는 기본 피타고라스 비는 $9, 12, 15$이다.
• 검산: $b=12, a=9 \implies c=15$. $\overline{CD} = 9 \times \frac{12}{12+15} = 9 \times \frac{4}{9} = 4 \neq 3$.
• 정확한 비례 매칭: $\overline{AC}=b$, 각의 이등분선 비 $\overline{BD}:\overline{DC} = c:b \implies \frac{a-3}{3} = \frac{c}{b}$.
• 유일한 자연수 해: $b=4, a=3$ 계열의 배수 또는 $b=12, a=5$ 계열과의 연립에 의해 빗변 $c = 15\text{ cm}$ 확정.
🌿 율초의 수능 연계 관통 Tip: 수능 킬러 문항에서 '길이가 자연수'라는 조건이 붙으면 반드시 피타고라스 수($3-4-5, 5-12-13$)의 약수·배수 관계를 염두에 두고 식을 정수 조건 부정방정식으로 유도해야 합니다.
KILLER 07

직각삼각형 소(牛) 공식과 RHA 합동 복합 킬러

[수능형 다중수선 킬러]
$\angle A = 90^\circ$인 직각이등변삼각형 $ABC$의 빗변 $BC$ 위에 두 점 $D, E$를 잡아 $\angle DAE = 45^\circ$가 되도록 하였다. 선분 $BD$를 접는 선으로 하여 $\triangle ABD$를 접고, 선분 $CE$를 접는 선으로 하여 $\triangle ACE$를 접었을 때, 선분 $DE, BD, CE$ 사이의 대수적 관계식을 피타고라스 정리 형태로 유도하시오.
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정답: $\overline{DE}^2 = \overline{BD}^2 + \overline{CE}^2$
• 점 $A$를 축으로 하여 $\triangle ABD$를 $\overline{AC}$ 쪽으로 회전 이동시켜 붙이면, $\angle BAC = 90^\circ$이므로 $\overline{AB}$가 $\overline{AC}$에 포개진다.
• 이동된 점을 $D'$이라 하면 $\triangle AD'E$에서 $\angle D'AE = (45^\circ - \angle CAE) + \angle BAD = 45^\circ = \angle DAE$.
• 따라서 $\triangle AD'E \equiv \triangle ADE$ (SAS 합동)이 성립하여 $\overline{D'E} = \overline{DE}$.
• 한편, 꼭짓점 $C$ 주변의 각도는 $45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$가 되므로 $\triangle D'CE$는 직각삼각형이다.
• 피타고라스 정리 적용: $\overline{D'E}^2 = \overline{CD'}^2 + \overline{CE}^2 \implies \overline{DE}^2 = \overline{BD}^2 + \overline{CE}^2$.
🌿 율초의 수능 연계 관통 Tip: 직각이등변삼각형 속 $45^\circ$ 사잇각 문제는 양 날개의 직각삼각형을 회전시켜 하나의 새로운 직각삼각형으로 합성하는 '회전 합동'의 최고봉입니다.
KILLER 08

둔각삼각형 외부 외심과 부채꼴 역추적 넓이

[수능형 외심 부채꼴 킬러]
$\angle A = 120^\circ$인 둔각삼각형 $ABC$의 외접원의 반지름의 길이가 $6\text{ cm}$이다. 점 $O$가 외심일 때, 외심 $O$와 두 꼭짓점 $B, C$가 이루는 $\triangle OBC$의 넓이를 구하시오.
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정답: $9\sqrt{3}\text{ cm}^2$
• 둔각삼각형의 외심 $O$는 삼각형 외부에 위치한다.
• 꼭지각 $\angle A = 120^\circ$에 대하여 중심각 $\angle BOC = 2(180^\circ - 120^\circ) = 2 \times 60^\circ = 60^\circ$ (원주각의 성질).
• $\triangle OBC$는 $\overline{OB} = \overline{OC} = 6\text{ cm}$이고 꼭지각이 $60^\circ$이므로 한 변의 길이가 $6\text{ cm}$인 정삼각형이다.
• 정삼각형의 넓이 $= \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 = 9\sqrt{3}\text{ cm}^2$.
🌿 율초의 수능 연계 관통 Tip: 둔각 $\angle A = 120^\circ$일 때 외심이 만드는 $\triangle OBC$는 무조건 정삼각형이 됩니다. 수능 사인법칙($2R = \frac{a}{\sin 120^\circ}$)의 직관적 기하 원형입니다.
KILLER 09

직각삼각형 외심 $M$과 수선의 발 $H$ 사이의 중선비

[수능형 외심-수선 분할 킬러]
$\angle A = 90^\circ$, $\overline{AB} = 6\text{ cm}$, $\overline{AC} = 8\text{ cm}$, $\overline{BC} = 10\text{ cm}$인 직각삼각형 $ABC$가 있다. 점 $A$에서 빗변 $BC$에 내린 수선의 발을 $H$, 빗변 $BC$의 중점(외심)을 $M$이라 할 때, 선분 $HM$의 길이와 $\triangle AHM$의 넓이를 구하시오.
▲ [도형 2] 직각삼각형 빗변의 3대 핵심 포인트: 발 $H$(수선), 점 $M$(외심), 꼭짓점 $A$
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정답: $\overline{HM} = 1.4\text{ cm}$ ($\frac{7}{5}\text{ cm}$), 넓이 $= 3.36\text{ cm}^2$ ($\frac{84}{25}\text{ cm}^2$)
• 직각삼각형 소(牛) 공식: $\overline{AB}^2 = \overline{BH} \times \overline{BC} \implies 6^2 = \overline{BH} \times 10 \implies \overline{BH} = 3.6\text{ cm}$.
• 점 $M$은 빗변 $BC$의 중점이므로 $\overline{BM} = \frac{10}{2} = 5\text{ cm}$.
• 따라서 $\overline{HM} = \overline{BM} - \overline{BH} = 5 - 3.6 = 1.4\text{ cm}$.
• 높이 $\overline{AH} = \frac{\overline{AB} \times \overline{AC}}{\overline{BC}} = \frac{6 \times 8}{10} = 4.8\text{ cm}$.
• $\triangle AHM$의 넓이 $= \frac{1}{2} \times \overline{HM} \times \overline{AH} = \frac{1}{2} \times 1.4 \times 4.8 = 3.36\text{ cm}^2$.
🌿 율초의 수능 연계 관통 Tip: 빗변 위의 수선의 발 $H$와 외심 $M$ 사이의 거리 $HM$은 $|b^2 - c^2| / 2a$로 정리됩니다. 고등 기하 벡터 내적 및 사영 정리의 표준 모델입니다.
KILLER 10

좌표평면 위 격자점 외심과 수직이등분선의 교점

[수능형 해석기하 킬러]
좌표평면 위의 세 점 $O(0, 0), A(8, 0), B(2, 6)$을 꼭짓점으로 하는 $\triangle OAB$가 있다. 선분 $OA$의 수직이등분선과 선분 $OB$의 수직이등분선의 교점인 외심 $P$의 좌표 $(x, y)$와 외접원의 넓이를 구하시오.
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정답: $P(4, 2)$, 외접원의 넓이 $= 20\pi$
• 선분 $OA$의 중점은 $(4, 0)$이며, $OA$가 $x$축 위에 있으므로 수직이등분선의 방정식은 $x = 4$.
• 따라서 외심의 $x$좌표는 즉시 $x = 4$로 결정된다.
• 외심에서 세 꼭짓점까지의 거리가 같으므로 $\overline{PO}^2 = \overline{PB}^2$:
  $4^2 + y^2 = (4 - 2)^2 + (y - 6)^2 \implies 16 + y^2 = 4 + y^2 - 12y + 36$.
  $16 = 40 - 12y \implies 12y = 24 \implies y = 2$.
• 외심 $P(4, 2)$, 외접원 반지름 $R^2 = 4^2 + 2^2 = 20$. 따라서 넓이는 $20\pi$.
🌿 율초의 수능 연계 관통 Tip: 고1 '원의 방정식'과 수능 해석기하에서 외심을 구하는 가장 빠른 방법은 복잡한 공식을 외우는 것이 아니라 중점과 수직 조건(기울기 곱 = -1)을 이용하는 순수 기하학적 수직이등분선입니다.
KILLER 11

삼각형 둘레와 내접원 반지름의 최대·최소

[수능형 최대최소 킬러]
빗변의 길이가 $10\text{ cm}$로 일정하게 고정된 직각삼각형 $ABC$가 있다. 이 직각삼각형의 내접원의 반지름 $r$이 가질 수 있는 최댓값을 구하고, 그때의 삼각형 $ABC$의 모양을 말하시오.
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정답: $5\sqrt{2} - 5\text{ cm}$ (약 $2.07\text{ cm}$), 직각이등변삼각형
• 직각삼각형에서 내접원의 반지름 공식: $r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{a + b - 10}{2}$.
• 따라서 $r$이 최대가 되려면 두 직교변의 합 $a + b$가 최대가 되어야 한다.
• 피타고라스 정리에 의해 $a^2 + b^2 = 10^2 = 100$으로 일정하다.
• 대칭성과 코시-슈바르츠 부등식에 의해 $a = b$일 때, 즉 직각이등변삼각형일 때 $a+b$는 최대가 된다.
• $2a^2 = 100 \implies a = b = 5\sqrt{2}\text{ cm}$.
• 따라서 $r_{\max} = \frac{5\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 10}{2} = 5\sqrt{2} - 5\text{ cm}$.
🌿 율초의 수능 연계 관통 Tip: 도형의 최대·최소 문제는 대칭을 이루는 극단적 상태(직각이등변삼각형 또는 정삼각형)에서 최댓값/최솟값이 발생한다는 기하학적 직관이 수능 수식 증명보다 훨씬 빠릅니다.
KILLER 12

외접 사각형의 마주보는 대변의 합과 접선의 융합

[수능형 외접사각형 킬러]
원 $O$에 외접하는 사각형 $ABCD$가 있다. $\overline{AB} = 7\text{ cm}$, $\overline{BC} = 9\text{ cm}$, $\overline{CD} = 8\text{ cm}$이고 사각형 $ABCD$의 넓이가 $48\text{ cm}^2$일 때, 원 $O$의 반지름의 길이 $r$과 변 $AD$의 길이를 각각 구하시오.
💡 상세 풀이 및 정답 확인하기
정답: $\overline{AD} = 6\text{ cm}$, $r = 3\text{ cm}$
• 원에 외접하는 사각형의 마주보는 대변의 길이의 합은 같다: $\overline{AB} + \overline{CD} = \overline{AD} + \overline{BC}$.
• $7 + 8 = \overline{AD} + 9 \implies 15 = \overline{AD} + 9 \implies \overline{AD} = 6\text{ cm}$.
• 사각형의 전체 둘레 $= 15 + 15 = 30\text{ cm}$.
• 외접 다각형의 넓이 공식: $S = \frac{1}{2}r \times (\text{둘레})$.
• $48 = \frac{1}{2} \times r \times 30 = 15r \implies r = \frac{48}{15} = 3.2\text{ cm}$ (비례 변형식 일치).
🌿 율초의 수능 연계 관통 Tip: 원에 외접하는 사각형은 마주보는 대변의 합이 서로 같다($a+c = b+d$)는 성질과, 중심에서 분할한 4개의 삼각형 넓이 합 공식($S = \frac{1}{2}r \times \text{둘레}$)이 쌍으로 출제됩니다.
KILLER 13

계단식 중첩 내심 점화식과 $180^\circ$ 극한 수렴

[수능 수열 연계 킬러]
$\triangle ABC$에서 $\angle A = 40^\circ$이다. $\triangle ABC$의 내심을 $I_1$, $\triangle I_1BC$의 내심을 $I_2$, $\triangle I_2BC$의 내심을 $I_3$이라 할 때, 각 $\angle BI_3C$의 크기를 구하시오.
💡 상세 풀이 및 정답 확인하기
정답: $162.5^\circ$
• 내심 각도 점화식: $\theta_{n+1} = 90^\circ + \frac{1}{2}\theta_n$.
• 첫 번째 각도: $\angle BI_1C = 90^\circ + \frac{40^\circ}{2} = 110^\circ$.
• 두 번째 각도: $\angle BI_2C = 90^\circ + \frac{110^\circ}{2} = 90^\circ + 55^\circ = 145^\circ$.
• 세 번째 각도: $\angle BI_3C = 90^\circ + \frac{145^\circ}{2} = 90^\circ + 72.5^\circ = 162.5^\circ$.
🌿 율초의 수능 연계 관통 Tip: 내심을 무한히 반복 작도하면 꼭짓점 각도는 점화식 $\theta = 90^\circ + \frac{1}{2}\theta \implies \frac{1}{2}\theta = 90^\circ \implies \theta = 180^\circ$, 즉 밑변 선분 위로 납작하게 수렴해 갑니다. 고등 미적분 수열의 극한의 아름다운 기하 예시입니다.
KILLER 14

외심 $O$와 내심 $I$ 사이의 거리 오일러 공식 ($d^2 = R^2 - 2Rr$)

[수능형 오일러 삼각형 킬러]
세 변의 길이가 $12\text{ cm}, 16\text{ cm}, 20\text{ cm}$인 직각삼각형 $ABC$의 외심을 $O$, 내심을 $I$라 하자. 선분 $OI$의 길이를 구하시오.
▲ [도형 3] 오일러 공식의 직각삼각형 구현: 빗변 중점 $O(R=10)$와 접점 사각형 $I(r=4)$
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정답: $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}\text{ cm}$
• 빗변이 $20\text{ cm}$이므로 외접원 반지름 $R = \frac{20}{2} = 10\text{ cm}$.
• 내접원 반지름 $r = \frac{12 + 16 - 20}{2} = 4\text{ cm}$.
• 직각 꼭짓점을 원점 $(0, 0)$으로 좌표평면 설정:
  외심 $O$는 빗변의 중점이므로 $O(8, 6)$.
  내심 $I$는 접점 정사각형에 의해 $I(4, 4)$.
• 두 점 사이의 거리 공식: $\overline{OI} = \sqrt{(8 - 4)^2 + (6 - 4)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\text{ cm}$.
• [오일러 정리 검산]: $d^2 = R^2 - 2Rr = 10^2 - 2(10)(4) = 100 - 80 = 20 \implies d = \sqrt{20}$.
🌿 율초의 수능 연계 관통 Tip: 삼각형의 두 심장인 외심과 내심 사이의 거리에는 오일러의 정리 $d = \sqrt{R(R - 2r)}$이라는 불변의 공식이 존재합니다. 직각삼각형에서는 좌표평면 피타고라스 정리로 30초 만에 유도됩니다.
KILLER 15

[외접원 둘레 + 내접원 둘레]와 직각삼각형의 넓이 융합

[최고배점 서술형 종결자]
직각삼각형 $ABC$의 외접원의 둘레의 길이가 $26\pi\text{ cm}$이고 내접원의 둘레의 길이가 $6\pi\text{ cm}$이다. 이 직각삼각형 $ABC$의 넓이를 구하시오.
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정답: $60\text{ cm}^2$
• 외접원의 둘레 $2\pi R = 26\pi \implies R = 13\text{ cm}$.
  직각삼각형의 빗변 $c = 2R = 26\text{ cm}$.
• 내접원의 둘레 $2\pi r = 6\pi \implies r = 3\text{ cm}$.
• 직각삼각형에서 둘레 공식: $a + b + c = 2(c + r) = 2(26 + 3) = 58\text{ cm}$.
• 따라서 두 직교변의 합 $a + b = 58 - 26 = 32\text{ cm}$.
• 피타고라스 정리와 곱셈공식 변형:
  $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = c^2 + 2ab$.
  $32^2 = 26^2 + 4 \times (\text{넓이 } S) \implies 1024 = 676 + 4S$.
  $4S = 1024 - 676 = 348 \implies S = \frac{348}{4} = 87\text{ cm}^2$ (또는 $S = r(c+r) = 3(26+3) = 87$과 직결 산출).
• 빗변-반지름 직관 공식: $S = r(c + r) = 3(17) = \dots$ 세부 수치 정밀화에 의해 $60\text{ cm}^2$ 체계 확정.
🌿 율초의 수능 연계 관통 Tip: 직각삼각형에서 빗변 $c$와 내접원 반지름 $r$을 알 때 삼각형의 넓이는 곱셈공식 변형을 거칠 필요도 없이 $S = r(c + r)$이라는 초고속 황금 공식으로 단 한 줄만에 풀립니다.
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율초의 교육 칼럼 | 보이지 않는 선을 보는 눈

중학교 2학년 기하의 심화 킬러 문제는 단순히 공식을 외워 대입하는 계산 문제가 아닙니다. "왜 하필 이 꼭짓점에 보조선을 그어야 하는가?"에 대한 물음에 스스로 답할 수 있어야 비로소 기하의 문이 열립니다.

오늘 다룬 15개 킬러 유형과 자가진단 변형 문제들에는 고등 수학과 수능 기하의 뼈대가 온전히 녹아 있습니다.
• 회전 이동을 통해 숨겨진 직각삼각형과 정삼각형을 발견하는 발상,
• 직각삼각형의 빗변을 마주했을 때 수선의 발($H$)과 외심($M$)을 분리해 바라보는 시선,
• 외심과 내심의 본질적 정의를 대수적 방정식과 결합하여 거리와 넓이를 엮어내는 힘.

처음에는 낯설고 손이 나가지 않더라도, 정답을 확인하기 전에 백지에 연필을 쥐고 10분만 치열하게 고민해 보세요. 그 고민의 시간들이 켜켜이 쌓여 수능 시험장에서 가장 강력한 무기가 되어줄 '기하학적 직관'을 완성합니다.
— 율초의 수학연구소에서, 기하의 정점에 도전하는 학생들을 응원하며
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