율초의 수학연구소

$x = 0$이라는 것은 $y$축 위의 점을 뜻합니다. 하지만 분모에 0이 들어가는 수는 정의되지 않으므로, 반비례 곡선은 $y$축과 만나는 점이 애초에 존재하지 않습니다.

$a \neq 0$이므로 아무리 큰 $x$를 분모에 넣어도 $y$는 0이 될 수 없습니다. $x = 10000$이면 $y = 0.0001$로 작아질 뿐 0이 되지는 않습니다. 즉, $x$축과도 영원히 닿지 않습니다.

직선 그래프를 그릴 때처럼 끝까지 시원하게 선을 긋다가 $x$축이나 $y$축과 만나게 그려 감점을 당합니다. 분모는 0이 될 수 없고($x \neq 0$), 아무리 큰 수를 나누어도 결괏값이 0이 될 수 없기($y \neq 0$) 때문에, 반비례 곡선은 축에 무한히 가까워질 뿐 절대 닿아서는 안 됩니다.

예를 들어 $y = 12 - x$처럼 합이 일정한 관계도 $x$가 커지면 $y$가 줄어듭니다. 하지만 이는 기울기가 음수인 직선(일차식)일 뿐 반비례가 아닙니다. 반드시 두 변수의 곱($x \times y$)이 항상 일정한지 확인해야 합니다.

$y = \frac{x}{4}$와 $y = \frac{4}{x}$를 혼동하는 경우가 많습니다. $x$가 분자에 있는 $y = \frac{1}{4}x$는 정비례 직선이며, 오직 $x$가 분모 자리에 있는 $y = \frac{4}{x}$만이 반비례입니다.

'반비례'라는 이름 탓에 "무조건 $x$가 증가하면 $y$는 감소한다"라고 외우면 함정에 빠집니다. 이는 $a > 0$일 때만 성립합니다.
• $a > 0$일 때 ($y = \frac{6}{x}$): 제1, 3사분면에서 오른쪽 아래로 내려가는 우하향 곡선(감소)입니다.
• $a < 0$일 때 ($y = -\frac{6}{x}$): 제2, 4사분면에서 오른쪽 위로 올라가는 우상향 곡선(증가)입니다! 점을 찍어보면 $x$가 $-6 \rightarrow -2$로 증가할 때 $y$는 $1 \rightarrow 3$으로 명백하게 증가합니다. 따라서 "반비례는 항상 감소한다"는 객관식 보기는 명백한 거짓(X)입니다.

$a > 0$일 때라도 제3사분면의 점 $(-1, -6)$에서 제1사분면의 점 $(1, 6)$으로 갈 때는 $x$도 증가하고 $y$도 증가합니다. 즉, $x=0$을 가로지르는 전 구간에서는 감소가 성립하지 않습니다. 반드시 "각 사분면에서" 혹은 "$x > 0$, $x < 0$ 각각의 구간에서"라는 전제가 붙어야만 올바른 서술입니다.

[문제 1] 직사각형 넓이 불변성과 미지수 구하기

반비례 관계 $y = \frac{a}{x}$ ($a > 0$)의 그래프 위의 점 $P$에서 $x$축, $y$축에 내린 수선의 발을 각각 $A, B$라 하자. 직사각형 $OAPB$의 넓이가 $20$이고, 점 $P$의 $x$좌표가 $5$일 때, 상수 $a$의 값과 점 $P$의 $y$좌표를 구하세요.

[문제 2] 두 반비례 곡선 사이의 사각형 넓이

제1사분면에서 두 반비례 관계 $y = \frac{24}{x}$와 $y = \frac{10}{x}$의 그래프가 있다. $x = 2$라는 세로선이 두 곡선과 만나는 점을 각각 $A, B$라 하고, $x = 5$라는 세로선이 두 곡선과 만나는 점을 각각 $C, D$라 할 때, 사각형 $ABDC$의 넓이를 구하세요.

[문제 3] 정비례 직선과 반비례 곡선의 교점과 직각삼각형 넓이

정비례 관계 $y = 2x$의 그래프와 반비례 관계 $y = \frac{18}{x}$의 그래프가 만나는 두 교점 중 $x$좌표가 양수인 점을 $A$, 음수인 점을 $B$라 하자. 점 $A$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $C$라 할 때, 삼각형 $ABC$의 넓이를 구하세요.

[문제 4] 교점 대칭성을 이용한 평행사변형 넓이 (심화)

정비례 관계 $y = \frac{3}{4}x$의 그래프와 반비례 관계 $y = \frac{12}{x}$의 그래프가 두 점 $A, B$에서 만난다 ($A$의 $x$좌표는 양수). 점 $A$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $A'$, 점 $B$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $B'$이라 할 때, 사각형 $AA'BB'$의 넓이를 구하세요.

[문제 5] 수직·수평 연계 교점과 삼각형 넓이 (최고난도 킬러)

정비례 관계 $y = ax$ ($a > 0$)와 반비례 관계 $y = \frac{32}{x}$의 그래프가 제1사분면에서 만나는 점을 $P$, 제3사분면에서 만나는 점을 $Q$라 하자. 점 $P$를 지나고 $x$축에 평행한 직선이 반비례 관계 $y = -\frac{16}{x}$의 그래프와 만나는 점을 $R$이라 한다. 점 $P$의 $x$좌표가 $4$일 때, 상수 $a$의 값과 삼각형 $PQR$의 넓이를 구하세요.

율초의 한마디: 반비례의 직사각형은 훗날 미적분의 적분 요소가 됩니다

가로가 늘어나면 세로가 줄어들며 $x \times y = a$로 면적을 영원히 보존하는 반비례의 성질은, 훗날 고등학교 미적분에서 곡선 아래를 얇은 직사각형($dx \times f(x)$)으로 채워 넣는 정적분의 본질적 원형입니다. 모양이 제아무리 찌그러지고 변해도 그 본질(넓이)이 변하지 않는 아름다움, 이 수학적 감각을 중1 때 맛본 아이는 앞으로 어떤 고난도 함수를 만나도 흔들리지 않습니다.