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[원의 방정식-실전개념 ③] 두 원의 5대 위치관계, 교점을 지나는 원과 공통현, 둘레 이등분 총정리

  앞서 다룬 [실전개념 ①] 에서는 원의 정의와 평행이동, 사분면별 축 접촉을 정복했고, [실전개념 ②] 에서는 판별식을 버리고 중심 거리 $d$와 반지름 $r$로 원과 직선의 접선·극선을 완벽히 지배했습니다. 이제 원의 방정식 대단원을 완성하는 마지막 퍼즐, '두 원 사이의 기하학적 상호작용' 을 마스터할 차례입니다. 두 원이 만나는 문제를 마주하면 대다수의 학생들은 두 원의 방정식을 무작정 연립하여 $x, y$ 교점의 좌표를 구하려고 합니다. 하지만 두 원의 교점 좌표는 대부분 복잡한 무리수나 분수로 떨어져 계산 실수로 이어집니다. 두 원의 교점을 직접 구하지 않고 항등식의 원리($k$)로 교점을 지나는 새로운 원을 한 번에 정의하며, $k = -1$을 대입해 이차항을 소거함으로써 두 원의 교점을 관통하는 공통현(직선)을 단 3초 만에 유도하는 기하학적 통찰 이 필요합니다. 이번 실전개념 ③에서는 중심 거리 $d$와 두 반지름 $r_1, r_2$의 대소 관계로 판별하는 두 원의 5대 위치관계 부터 동적 변화 시뮬레이션 , 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식 , 공통현의 길이 피타고라스 해법 , 그리고 내신 변별 1순위인 한 원이 다른 원의 둘레를 이등분하는 킬러 조건 까지 완벽하게 총정리합니다. 💡 [실전개념 ③] 두 원의 상호작용 4대 핵심 행동 강령 (Checklist) 교점 좌표 계산 금지: 두 원의 교점을 직접 연립하지 말고, 항상 항등식 $C_1 + kC_2 = 0$을 세운다. 공통현은 $k = -1$ (이차항 소거): 두 원의 일반형을 통째로 빼면($C_1 - C_2 = 0$) $x^2, y^2$이 사라지며 두 교점을 지나는 유일한 직선(공통현)이 된다. 공통현의 길이는 피타고라스: 공통현 직선과 한 원의 중심 사이 거리 $d$를 구한 뒤 $\text{현} = 2\sqrt{r^2 - d^2}$로 ...
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[중2 기하] 이등변삼각형의 성질 증명 & 직각삼각형의 특수합동(RHS·RHA)의 본질: 왜 직각삼각형은 2가지 조건만으로 합동일까? (각의 이등분선 정리)

 


기하 완성 시리즈 03 (Geometry Foundations)

직각과 대칭의 완벽한 조화: 이등변삼각형의 성질 증명 & 직각삼각형의 특수합동(RHS·RHA)과 각의 이등분선 정리

앞선 02편에서 우리는 일반 삼각형의 뼈대를 고정하는 합동 3형제($SSS, SAS, ASA$)와 왜 $SSA$가 합동이 될 수 없는지(스윙 도어의 모호성)를 확인했습니다. 이제 이 견고한 합동의 논리를 손에 쥐고, 중2 기하의 관문이자 고등 수능 기하의 핵심 축인 이등변삼각형과 직각삼각형의 세계로 들어섭니다.

많은 학생들이 "일반 삼각형은 변과 각이 3개나 필요한데, 왜 직각삼각형은 빗변과 한 요소($RHS, RHA$)만으로 합동이 될까?"를 단순히 암기합니다. 하지만 직각삼각형의 합동은 하늘에서 떨어진 새로운 공식이 아니라, 두 직각삼각형을 뒤집어 붙여 거대한 이등변삼각형을 만들어내는 필연적 증명에서 출발합니다.

이등변삼각형 꼭지각의 이등분선이 만드는 완벽한 수직이등분의 대칭성, $RHS \cdot RHA$의 유도 과정, 그리고 훗날 삼각형의 내심과 원의 접선으로 이어지는 '각의 이등분선 정리'의 정수를 수학자의 시선으로 명쾌하게 짚어드립니다.

📐 징검다리 01: 꼭지각의 이등분선이 증명하는 이등변삼각형의 절대 성질

이등변삼각형은 두 변의 길이가 같은 삼각형입니다. 여기서 "꼭지각 $\angle A$의 이등분선을 밑변 $BC$로 내리는 단 하나의 보조선"을 긋는 순간, 모든 성질이 한 번에 쏟아져 나옵니다.

A B C D 밑각 ∠B 밑각 ∠C
02편 합동 공준을 통한 3단계 논리 전개:
1. $AB = AC$ (이등변 가정)
2. $\angle BAD = \angle CAD$ (꼭지각의 이등분선 보조선)
3. 선분 $AD$는 공통변
$\implies$ 두 삼각형은 $\Delta ABD \equiv \Delta ACD \ (SAS \ 합동)$입니다.
$\implies$ 대응각이 같으므로 두 밑각의 크기는 같다 ($\angle B = \angle C$).
$\implies$ 대응변 $BD = CD$이고 평각이 반으로 쪼개지므로($180^\circ \div 2 = 90^\circ$), "꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다"는 정리가 완벽하게 입증됩니다.

⚖️ 왜 직각삼각형은 조건 2개(빗변+1요소)만으로 합동일까? (RHS와 RHA)

직각삼각형에는 이미 $90^\circ$라는 고정된 직각($R$: Right angle)이 존재합니다. 따라서 가장 긴 변인 빗변($H$: Hypotenuse)이 고정되면, 나머지 요소 1개만 주어져도 합동이 성립합니다.

1. RHA 합동 (Right-Hypotenuse-Angle)
빗변(H)의 길이와 한 예각(A)의 크기가 같을 때 직각과 한 예각이 정해지면 세 번째 각은 저절로 $90^\circ - \angle A$로 결정됩니다. 즉, 빗변의 양 끝 각이 확정되므로 $ASA$ 합동의 필연적 변형입니다.
2. RHS 합동 (Right-Hypotenuse-Side)
빗변(H)의 길이와 다른 한 변(S)의 길이가 같을 때 02편에서 배운 SSA는 합동이 아니었지만, 직각삼각형에서는 왜 성립할까요? 아래의 '뒤집어 붙이기 증명'이 그 비밀을 풀어냅니다.
서술형 만점 포인트: RHS 증명의 핵심 메커니즘 (뒤집어 붙이기)
길이가 같은 한 변(높이)을 서로 맞대어 두 직각삼각형을 좌우로 붙입니다.
1. 가운데 맞닿은 두 각이 각각 $90^\circ$이므로, 밑변은 $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$의 완벽한 하나의 일직선이 됩니다.
2. 양쪽 빗변의 길이가 같으므로, 합쳐진 거대한 외곽 삼각형은 '이등변삼각형'이 됩니다!
3. 이등변삼각형이므로 두 밑각의 크기가 같아집니다 ($\implies RHA$ 조건 충족).
$\implies$ 따라서 직각삼각형에서는 $SSA$가 흔들리지 않고 반드시 유일한 합동(RHS)으로 완결됩니다.

🎯 고등 수능 기하를 관통하는 무기: [각의 이등분선 정리]

각의 이등분선 위의 임의의 점에서 각을 이루는 두 변에 수선의 발을 내리면, 두 직각삼각형은 공통 빗변($OP$)을 공유하는 $RHA$ 합동이 됩니다. 이 단순한 사실이 훗날 삼각형의 내심(Incenter)과 원의 접선(Tangent line)을 만드는 절대 원리가 됩니다.

X Y O P (이등분선 위의 점) A (수선의 발) B (수선의 발) 수선의 거리 같음 (PA = PB) 공통 빗변 OP (RHA 합동)
각의 이등분선 성질 2대 명제 (서로 역 관계):
• 명제 1: 각의 이등분선 위의 임의의 한 점에서 그 각을 이루는 두 변까지의 거리는 같다 ($PA = PB$). ($\Delta AOP \equiv \Delta BOP$ by $RHA$ 합동, 선분 $OP$는 공통 빗변)
• 명제 2 (역): 각을 이루는 두 변에서 같은 거리에 있는 점은 그 각의 이등분선 위에 존재한다. ($\Delta AOP \equiv \Delta BOP$ by $RHS$ 합동)
⚠️

시험장 오답 클리닉: 상위권도 순간 낚이는 3대 착각 포인트

함정 01. 빗변이 아닌 두 변이 같은데 무의식적으로 "RHS 합동" 쓰기
직각을 낀 두 변(밑변과 높이)이 각각 같은 직각삼각형은 RHS가 아니라 SAS 합동입니다. 반드시 '가장 긴 변인 빗변(H)'이 같다는 조건이 명시되어 있는지 확인해야 합니다.
함정 02. 각의 이등분선 정리에서 $PA=PB$와 $OA=OB$의 혼동
이등분선 위의 점에서 변에 내린 수선의 발까지의 거리($PA=PB$)가 같은 것이지, 꼭짓점으로부터의 거리나 밑변의 분할 지점이 중점이 되는 것은 아닙니다.
함정 03. 종이접기에서 "접은 각 = 원래 각" 대칭성을 미지수로 연결 못함
접은 선을 기준으로 직각삼각형 전체가 포개어지므로 대응변과 대응각이 완전히 일치합니다. 이를 이용해 직각삼각형 한 변을 $(8-x)$로 놓고 피타고라스로 엮어내는 대칭식 유도가 필수입니다.

📖 기하 3대 핵심 킬러 유형 & 실전 클리닉

내신 빈출 킬러 01

직각삼각형의 종이접기에서 RHS 합동 발견하기

$\angle C = 90^\circ$, $AC = 6\text{cm}$, $BC = 8\text{cm}$, $AB = 10\text{cm}$인 직각삼각형 $ABC$가 있다. 꼭짓점 $C$가 빗변 $AB$ 위의 점 $D$에 오도록 선분 $AE$를 접는 선으로 접었다. 이때 선분 $BE$의 길이를 구하시오.

👉 대표문제 정답 및 상세 해설 확인
정답: $5\text{cm}$
종이접기와 RHS 대칭 추론:
1. 접은 도형의 대칭성에 의해 $\Delta ACE \equiv \Delta ADE$입니다.
2. 따라서 $AD = AC = 6\text{cm}$, $\angle ADE = \angle C = 90^\circ$, $DE = CE$입니다.
3. 빗변 전체 $AB = 10\text{cm}$이므로 남은 선분 $BD = AB - AD = 10 - 6 = 4\text{cm}$입니다.
4. 이제 직각삼각형 $\Delta BDE$에서 구하는 $BE = x$라 두면, $CE = DE = 8 - x$입니다.
5. 피타고라스 정리 적용:
$$x^2 = 4^2 + (8 - x)^2 \implies x^2 = 16 + 64 - 16x + x^2$$
$$16x = 80 \implies x = \mathbf{5\text{cm}}$$ (따라서 $BE = 5\text{cm}$, $CE = 3\text{cm}$).
👯 쌍둥이 변형 문제 01

$\angle C = 90^\circ$인 직각이등변삼각형 $ABC$의 꼭짓점 $C$를 지나는 직선 $l$을 긋고, 두 점 $A, B$에서 직선 $l$에 내린 수선의 발을 각각 $D, E$라 하자. $AD = 5\text{cm}, BE = 3\text{cm}$일 때, 선분 $DE$의 길이를 구하시오.

정답 및 해설 펼치기
$\angle CAD + \angle ACD = 90^\circ$, $\angle ACD + \angle BCE = 90^\circ$이므로 $\angle CAD = \angle BCE$입니다.
빗변 $AC = CB$이므로 $\Delta ADC \equiv \Delta CEB \ (RHA \ 합동)$입니다.
따라서 $CD = BE = 3\text{cm}$, $CE = AD = 5\text{cm}$입니다.
선분 $DE = CD + CE = 3 + 5 = \mathbf{8\text{cm}}$입니다.
오답률 1위 킬러 02

직각이등변삼각형 회전 보조선과 RHA 합동 (모래시계형 구조)

그림과 같이 $\angle ACB = 90^\circ$이고 선분 $AC = BC$인 직각이등변삼각형 $ABC$가 있다. 꼭짓점 $C$를 지나는 임의의 직선에 두 점 $A, B$에서 내린 수선의 발을 각각 $D, E$라 할 때, 사각형 $ABED$의 넓이가 $32\text{cm}^2$이고 $AD = 6\text{cm}$이다. 이때 선분 $BE$의 길이를 구하시오.

직선 l A B C D E AD = 6 CE = 6 (AD와 같음) BE = x CD = x ΔADC ≡ ΔCEB (RHA) AD = CE = 6, CD = BE = x
👉 킬러문제 정답 및 상세 해설 확인
정답: $2\text{cm}$
단계별 풀이 과정:
1. $\angle D = \angle E = 90^\circ$이고 빗변 $AC = BC$ (직각이등변 가정).
2. $\angle DAC = 90^\circ - \angle ACD = \angle BCE$이므로, $\Delta ADC \equiv \Delta CEB \ (RHA \ 합동)$입니다.
3. 따라서 $CE = AD = 6\text{cm}$이고, 구하는 $BE = CD = x$라 두면 밑변 $DE = CD + CE = x + 6$입니다.
4. 사다리꼴 $ABED$의 넓이 공식:
$$\text{넓이} = \frac{1}{2} \times (AD + BE) \times DE = \frac{1}{2}(6 + x)(6 + x) = 32$$
$$(6 + x)^2 = 64 \implies 6 + x = 8 \implies x = \mathbf{2\text{cm}}$$.
👯 쌍둥이 변형 문제 02

위 문제와 동일한 조건에서 $AD = 7\text{cm}$, $BE = 3\text{cm}$일 때, 삼각형 $ABC$ 자체의 넓이를 구하시오.

정답 및 해설 펼치기
사다리꼴 넓이에서 두 합동 직각삼각형 넓이를 빼는 것이 가장 빠릅니다.
$DE = 7 + 3 = 10\text{cm}$.
사다리꼴 넓이 $= \frac{1}{2}(7+3)\times 10 = 50\text{cm}^2$.
두 삼각형 넓이의 합 $= 2 \times \left(\frac{1}{2} \times 7 \times 3\right) = 21\text{cm}^2$.
따라서 $\Delta ABC = 50 - 21 = \mathbf{29\text{cm}^2}$입니다.
내신 빈출 킬러 03

각의 이등분선과 보조선을 이용한 삼각형의 넓이 분할

$\angle B = 90^\circ$인 직각삼각형 $ABC$에서 $\angle A$의 이등분선이 변 $BC$와 만나는 점을 $D$라 하자. $AB = 12\text{cm}$, $AC = 15\text{cm}$, $\Delta ABC$의 넓이가 $54\text{cm}^2$일 때, 선분 $CD$의 길이를 구하시오.

👉 대표문제 정답 및 상세 해설 확인
정답: $5\text{cm}$
보조선 수선 긋기 (각의 이등분선 성질):
1. 점 $D$에서 빗변 $AC$에 수선의 발 $H$를 내립니다.
2. $\Delta ABD \equiv \Delta AHD \ (RHA \ 합동)$이므로, 높이 $DH = DB$입니다.
3. $\Delta ABC$의 밑변 $BC = \frac{2 \times 54}{12} = 9\text{cm}$입니다.
4. 전체 넓이는 두 삼각형의 합이므로:
$$\Delta ABC = \Delta ABD + \Delta ADC = \frac{1}{2}(12 \times DH) + \frac{1}{2}(15 \times DH) = 54$$
$$\frac{27}{2} DH = 54 \implies DH = 4\text{cm}$$
5. 따라서 $DB = DH = 4\text{cm}$이므로, 선분 $CD = BC - DB = 9 - 4 = \mathbf{5\text{cm}}$입니다.
👯 쌍둥이 변형 문제 03

위 문제의 결과로부터 '삼각형 내각의 이등분선은 밑변을 두 변의 길이비로 내분한다($AB : AC = BD : CD$)'는 사실이 성립함을 확인하시오.

정답 및 해설 펼치기
두 삼각형 $\Delta ABD$와 $\Delta ADC$의 높이는 $DH = DB$로 같습니다.
따라서 두 삼각형의 넓이비는 밑변의 비 $BD : CD$와 같습니다.
동시에 밑변을 $AB, AC$로 보면 높이가 같으므로 넓이비는 $AB : AC$와 같습니다.
$\implies AB : AC = 12 : 15 = 4 : 5 = BD : CD$가 완벽히 증명됩니다.
💬

율초의 한마디

직각삼각형의 합동($RHS, RHA$)을 단순한 공식으로 암기한 아이는 조금만 도형이 회전해도 길을 잃습니다. 하지만 "두 직각삼각형을 뒤집어 붙여 이등변삼각형을 만들었던 증명의 기억"을 가진 아이는 보조선 하나로 복잡한 킬러 문항을 단숨에 평정합니다.

꼭지각의 이등분선이 빚어낸 대칭성, 그리고 각의 이등분선 위의 점에서 변에 내린 두 수선의 길이가 같다는 필연성을 손끝으로 체득한 아이는, 곧이어 배울 삼각형의 외심과 내심, 피타고라스 정리, 그리고 고등 수능 기하의 원과 접선까지 막힘없이 꿰뚫는 강력한 안목을 갖추게 됩니다.

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