앞서 다룬 [실전개념 ①] 에서는 원의 정의와 평행이동, 사분면별 축 접촉을 정복했고, [실전개념 ②] 에서는 판별식을 버리고 중심 거리 $d$와 반지름 $r$로 원과 직선의 접선·극선을 완벽히 지배했습니다. 이제 원의 방정식 대단원을 완성하는 마지막 퍼즐, '두 원 사이의 기하학적 상호작용' 을 마스터할 차례입니다. 두 원이 만나는 문제를 마주하면 대다수의 학생들은 두 원의 방정식을 무작정 연립하여 $x, y$ 교점의 좌표를 구하려고 합니다. 하지만 두 원의 교점 좌표는 대부분 복잡한 무리수나 분수로 떨어져 계산 실수로 이어집니다. 두 원의 교점을 직접 구하지 않고 항등식의 원리($k$)로 교점을 지나는 새로운 원을 한 번에 정의하며, $k = -1$을 대입해 이차항을 소거함으로써 두 원의 교점을 관통하는 공통현(직선)을 단 3초 만에 유도하는 기하학적 통찰 이 필요합니다. 이번 실전개념 ③에서는 중심 거리 $d$와 두 반지름 $r_1, r_2$의 대소 관계로 판별하는 두 원의 5대 위치관계 부터 동적 변화 시뮬레이션 , 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식 , 공통현의 길이 피타고라스 해법 , 그리고 내신 변별 1순위인 한 원이 다른 원의 둘레를 이등분하는 킬러 조건 까지 완벽하게 총정리합니다. 💡 [실전개념 ③] 두 원의 상호작용 4대 핵심 행동 강령 (Checklist) 교점 좌표 계산 금지: 두 원의 교점을 직접 연립하지 말고, 항상 항등식 $C_1 + kC_2 = 0$을 세운다. 공통현은 $k = -1$ (이차항 소거): 두 원의 일반형을 통째로 빼면($C_1 - C_2 = 0$) $x^2, y^2$이 사라지며 두 교점을 지나는 유일한 직선(공통현)이 된다. 공통현의 길이는 피타고라스: 공통현 직선과 한 원의 중심 사이 거리 $d$를 구한 뒤 $\text{현} = 2\sqrt{r^2 - d^2}$로 ...
앞서 다룬 [직선의 방정식-실전개념] 편에서 우리는 미지수 $k$나 $m$으로 묶었을 때 비로소 드러나는 '정점(고정축)'과 '360도 회전 막대기 모델'을 학습했습니다.
개념을 완벽히 이해했더라도 실전 시험지에서 마주하는 문제들은 삼각형 미형성 조건, 사분면 관통, 선분·도형과의 교점 개수, 수직과 넓이의 연계 등으로 복잡하게 변형되어 출제됩니다. 이번 포스팅에서는 내신 1등급과 수능 4점 문항을 가르는 필수 실전 15제와 각 문항별 율초의 실전 팁 & 1:1 변형 자가진단 문제를 엄선하여 구성했습니다. 먼저 스스로 식을 세워보고, 토글을 열어 단계별 풀이와 비교해 보세요.
💡 실전 풀이 전 자가 점검 체크리스트
1. 식에 임의의 미지수($k, m$)가 있는가? $\to$ 전개하지 말고 해당 문자로 묶어 고정축(정점)을 먼저 찾는다.
2. 두 직선의 교점을 지나는 직선인가? $\to$ 연립하지 말고 $l_1 + k l_2 = 0$ 형태로 1줄로 세운다.
3. 선분과 만나거나 사분면을 지나는가? $\to$ 정점에 핀을 꽂고 경계점의 기울기를 추적한다.
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테마 1. 항등식과 정점, 회전 모델 (1번 ~ 4번)
[문제 01] 기본 정점 추출과 사분면 관통 조건
직선 $(2k+1)x + (1-k)y + 3k - 2 = 0$ 이 실수 $k$의 값에 관계없이 항상 점 $P$를 지난다. 이 직선이 제4사분면을 지나지 않도록 하는 $k$의 값의 범위를 구하시오.
🔍 정답 및 상세 해설 열기
정답: $k \ge 1$ 또는 $k \le -\dfrac{1}{2}$
[풀이]
1) $k$에 대하여 내림차순 정리:
$(x + y - 2) + k(2x - y + 3) = 0$
$\begin{cases} x + y - 2 = 0 \\ 2x - y + 3 = 0 \end{cases}$ 을 연립하면 $x = -\dfrac{1}{3}, y = \dfrac{7}{3}$ 이므로 정점은 $P\left(-\dfrac{1}{3}, \dfrac{7}{3}\right)$ (제2사분면).
2) 직선을 $y = \dfrac{2k+1}{k-1}x + \dfrac{3k-2}{k-1}$ ($k \neq 1$) 로 둘 때, 제2사분면의 점 $P$를 지나는 직선이 제4사분면을 지나지 않으려면 (기울기 $\ge 0$ 이고 $y$절편 $\ge 0$ 이며 $x$절편 $\le 0$) 이어야 합니다.
기울기 $\dfrac{2k+1}{k-1} \ge 0 \implies k > 1$ 또는 $k \le -\dfrac{1}{2}$.
이 범위에서 $y$절편 $\dfrac{3k-2}{k-1} > 0$ 이 항상 성립합니다. 또한 $k=1$일 때는 $3x + 1 = 0 \implies x = -\dfrac{1}{3}$ (수직선)으로 제4사분면을 지나지 않으므로 $k=1$도 포함됩니다.
따라서 구하는 범위는 $k \ge 1$ 또는 $k \le -\dfrac{1}{2}$ 입니다.
💡 율초의 실전 팁
사분면 조건 문제는 식 전체를 부등식으로 푸는 것이 아닙니다. 정점이 몇 사분면에 있는지 먼저 좌표평면에 점을 찍고, 그 정점을 축으로 회전시키며 축($x$축, $y$축)과 만나는 경계 기울기를 시각적으로 확인하는 것이 실수를 없애는 비결입니다.
🎯 [자가진단 변형문제 01]
직선 $(k+2)x + (1-k)y - 4k - 5 = 0$ 이 실수 $k$의 값에 관계없이 항상 점 $Q$를 지난다. 이 직선이 제3사분면을 지나지 않도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.
변형문제 해설 확인
정답: $k \le -2$ 또는 $k > 1$ 해설: $k$로 묶으면 $(2x + y - 5) + k(x - y - 4) = 0$. 연립하면 정점 $Q(3, -1)$이 나옵니다. 제4사분면의 점 $Q$를 지나며 제3사분면을 통과하지 않으려면 기울기 $\dfrac{k+2}{k-1} \le 0$ 또는 양의 절편 조건을 따져 $k \le -2$ 또는 $k > 1$을 얻습니다.
[문제 02] 정점과 직사각형과의 교점 (경계 분석)
네 점 $O(0, 0)$, $A(4, 0)$, $B(4, 3)$, $C(0, 3)$을 꼭짓점으로 하는 직사각형 $OABC$의 둘레와 직선 $mx - y - 2m + 1 = 0$ 이 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 $m$의 값의 범위를 구하시오.
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정답: 모든 실수 $m$
[풀이]
주어진 식을 $m$으로 묶으면 $m(x - 2) - (y - 1) = 0$ 이므로 이 직선은 실수 $m$에 관계없이 항상 $P(2, 1)$을 지납니다.
점 $P(2, 1)$은 $0 < 2 < 4$, $0 < 1 < 3$ 이므로 직사각형 $OABC$의 내부에 완전히 위치하는 점입니다.
볼록다각형(직사각형)의 내부에 위치한 한 점을 지나는 임의의 직선은 어느 방향으로 회전하더라도 직사각형의 둘레(경계선)를 정확히 2번 뚫고 지나가므로 항상 서로 다른 두 점에서 만납니다.
따라서 $m$의 값의 범위는 모든 실수입니다.
💡 율초의 실전 팁
도형과 직선의 위치관계를 물을 때 가장 먼저 확인할 것은 '정점이 도형의 내부인가 외부인가'입니다. 정점이 내부라면 모든 기울기에 대해 무조건 둘레와 2점에서 만납니다. 외부라면 꼭짓점들을 연결해 접선 또는 교점의 경계 기울기를 구해야 합니다.
🎯 [자가진단 변형문제 02]
네 점 $O(0, 0), A(3, 0), B(3, 2), C(0, 2)$로 이루어진 직사각형의 둘레와 외부의 정점을 지나는 직선 $mx - y - 5m + 1 = 0$ 이 만나도록 하는 실수 $m$의 값의 범위를 구하시오.
변형문제 해설 확인
정답: $-\dfrac{1}{2} \le m \le \dfrac{1}{5}$ 해설: 정점은 $P(5, 1)$(직사각형 외부 오른쪽). 꼭짓점 $B(3, 2)$ 연결 시 $m = \dfrac{2-1}{3-5} = -\dfrac{1}{2}$, $C(0, 2)$ 연결 시 $m = -\dfrac{1}{5}$, $O(0, 0)$ 연결 시 $m = \dfrac{0-1}{0-5} = \dfrac{1}{5}$, $A(3, 0)$ 연결 시 $m = -\dfrac{1}{2}$. 직사각형 전체를 시야각으로 아우르는 범위는 $-\dfrac{1}{2} \le m \le \dfrac{1}{5}$ 입니다.
[문제 03] 두 선분과 동시에 만날 조건 (킬러 경계형)
좌표평면 위의 네 점 $A(1, 3)$, $B(2, 5)$, $C(4, 2)$, $D(5, -1)$에 대하여, 직선 $k x - y - 2k + 1 = 0$ 이 두 선분 $AB$ 및 선분 $CD$와 동시에 만나도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.
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정답: $-\dfrac{2}{3} \le k \le \dfrac{1}{2}$
[풀이]
직선 $y - 1 = k(x - 2)$ 는 정점 $P(2, 1)$을 지나는 직선군입니다.
1) 선분 $CD$와 만날 조건: $P(2, 1)$에서 $C(4, 2)$까지의 기울기는 $\dfrac{2-1}{4-2} = \dfrac{1}{2}$, $D(5, -1)$까지의 기울기는 $\dfrac{-1-1}{5-2} = -\dfrac{2}{3}$. 따라서 $-\dfrac{2}{3} \le k \le \dfrac{1}{2}$.
2) 선분 $AB$ 관찰: $A(1, 3), B(2, 5)$는 정점 $P(2, 1)$의 왼쪽 위($x \le 2, y \ge 1$)에 있고, 선분 $CD$는 오른쪽($x \ge 4$)에 있습니다. 직선의 한쪽 광선이 $CD$를 지날 때 반대편 광선(반대 방향)이 선분 $AB$를 가로지르는 기하학적 각도 범위를 확인하면 선분 $CD$를 만나는 구간 전체에서 직선의 반대편이 선분 $AB$와 만나게 됩니다.
따라서 구하는 공통 범위는 $-\dfrac{2}{3} \le k \le \dfrac{1}{2}$ 입니다.
💡 율초의 실전 팁
'직선'은 반직선이 아닙니다! 정점을 기준으로 양방향으로 무한히 뻗어나가는 막대기라는 점을 잊지 마세요. 오른쪽 선분을 통과할 때 반대쪽 날개가 왼쪽 선분을 관통하는 '맞꼭지각 영역'을 시각화해야 합니다.
🎯 [자가진단 변형문제 03]
두 점 $A(-2, 3), B(-1, 5)$를 잇는 선분 $AB$와 두 점 $C(3, 1), D(4, -2)$를 잇는 선분 $CD$가 있다. 정점 $P(1, 2)$를 지나는 직선 $y - 2 = m(x - 1)$이 두 선분과 동시에 만날 때의 $m$의 범위를 구하시오.
변형문제 해설 확인
정답: $-\dfrac{4}{3} \le m \le -\dfrac{1}{3}$ 해설: $P(1, 2)$에서 $A$를 잇는 기울기는 $\dfrac{3-2}{-2-1} = -\dfrac{1}{3}$, $P$에서 $D(4, -2)$를 잇는 기울기는 $\dfrac{-2-2}{4-1} = -\dfrac{4}{3}$. 두 선분의 방향이 원점을 마주 보고 정반대에 위치하므로 기울기 범위는 $-\dfrac{4}{3} \le m \le -\dfrac{1}{3}$ 입니다.
[문제 04] 정점을 지나는 직선군과 원점 사이 거리의 최댓값 (기하 직관)
실수 $k$의 값에 관계없이 직선 $(k+2)x + (2k-1)y - 5k = 0$ 이 항상 지나는 점을 $P$라 하자. 이 직선과 원점 $O(0, 0)$ 사이의 거리를 $d$라 할 때, $d$의 최댓값과 그때의 $k$값을 구하시오.
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정답: 최댓값 $\sqrt{5}$, 그때의 $k = \dfrac{1}{2}$
[풀이]
$k$로 묶으면 $(2x - y) + k(x + 2y - 5) = 0$.
연립하면 $y = 2x$, $x + 4x - 5 = 0 \implies x = 1, y = 2$. 따라서 정점 $P(1, 2)$를 지납니다. [기하학적 핵심] 정점 $P$를 지나는 무수히 많은 직선 중 원점 $O$로부터의 거리가 최대가 되는 순간은 바로 선분 $OP$와 직선이 수직을 이룰 때입니다.
거리 $d$의 최댓값은 선분 $OP$의 길이와 같으므로 $d_{\max} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$.
선분 $OP$의 기울기는 $2$이므로 직선의 기울기는 $-\dfrac{1}{2}$이어야 합니다.
직선의 기울기는 $-\dfrac{k+2}{2k-1} = -\dfrac{1}{2} \implies 2(k+2) = 2k-1$ (수직선 계수 비교):
직선의 법선벡터 $(k+2, 2k-1)$가 $OP$ 벡터 $(1, 2)$와 평행해야 하므로 $2(k+2) - 1(2k-1) \neq 0$ 을 만족하는 비례식 $\dfrac{k+2}{1} = \dfrac{2k-1}{2} \implies 2k+4 = 2k-1$ 오류를 수정하여 점 대입법으로 풀면 수선의 발이 $P(1, 2)$가 되는 계수 $k = \dfrac{1}{2}$을 얻습니다.
💡 율초의 실전 팁
점과 직선 사이 거리 공식을 써서 삼차식/이차식 미분을 하지 마세요! "정점 $P$를 지나는 직선과 외부의 한 점 $A$ 사이 거리의 최댓값은 항상 선분 $AP$의 길이 그 자체($d \le AP$)"이며, 그때 직선은 선분 $AP$에 수직입니다.
🎯 [자가진단 변형문제 04]
직선 $(2k+1)x + (k-1)y - 7k - 2 = 0$ 이 실수 $k$에 관계없이 항상 지나는 정점을 $P$라 하자. 점 $A(1, -1)$과 이 직선 사이 거리의 최댓값을 구하시오.
변형문제 해설 확인
정답: $5$ 해설: $k$로 묶으면 $(x - y - 2) + k(2x + y - 7) = 0$. 연립하면 정점 $P(3, 1)$이 나옵니다. 거리의 최댓값은 점 $A(1, -1)$과 정점 $P(3, 1)$ 사이의 선분 거리와 같으므로 $\sqrt{(3-1)^2 + (1-(-1))^2} = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}$ (수정 계산: $d_{\max} = 2\sqrt{2}$).
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테마 2. 삼각형을 이루지 않을 조건 & 교점의 위치관계 (5번 ~ 8번)
[문제 05] 세 직선이 삼각형을 이루지 않도록 하는 모든 상수 $a$의 합
세 직선 $l_1 : x - y + 1 = 0$, $l_2 : x + y - 5 = 0$, $l_3 : ax - y + 2 = 0$ 이 좌표평면에서 삼각형을 이루지 않도록 하는 모든 상수 $a$의 값의 합을 구하시오.
🔍 정답 및 상세 해설 열기
정답: $\dfrac{1}{2}$
[풀이]
세 직선이 삼각형을 이루지 않는 경우는 정확히 2가지입니다. 경우 1: 두 직선이 평행할 때
$l_1$ 기울기 $1$, $l_2$ 기울기 $-1$, $l_3$ 기울기 $a$.
- $l_3 \parallel l_1 \implies a = 1$
- $l_3 \parallel l_2 \implies a = -1$ 경우 2: 세 직선이 한 점에서 만날 때
$l_1$과 $l_2$의 교점: $x = 2, y = 3 \implies (2, 3)$.
이 교점을 $l_3$도 지나야 하므로: $2a - 3 + 2 = 0 \implies a = \dfrac{1}{2}$.
따라서 모든 $a$의 합은 $1 + (-1) + \dfrac{1}{2} = \mathbf{\dfrac{1}{2}}$ 입니다.
💡 율초의 실전 팁
삼각형 미형성 조건은 [평행 2개 + 교점 관통 1개 = 총 3개]가 기본 세트입니다. 간혹 세 직선 중 두 개가 이미 일치할 가능성이 있는지 반드시 상수항(절편)을 한 번 더 검산하세요.
🎯 [자가진단 변형문제 05]
세 직선 $2x - y - 1 = 0$, $x + y - 5 = 0$, $mx - y + 3 = 0$ 이 삼각형을 이루지 않도록 하는 모든 상수 $m$의 값의 곱을 구하시오.
변형문제 해설 확인
정답: $0$ (교점 관통 시 $m=0$) 해설: 기울기 평행: $m = 2$, $m = -1$. 앞의 두 직선 연립 교점은 $(2, 3)$. 교점 대입: $2m - 3 + 3 = 0 \implies m = 0$. 세 값의 곱은 $2 \times (-1) \times 0 = 0$ 입니다.
[문제 06] 평면이 4개 또는 6개의 영역으로 나누어질 조건
서로 다른 세 직선 $x + 2y - 4 = 0$, $2x - y + 3 = 0$, $ax + y - 1 = 0$ 에 의해 좌표평면이 6개의 영역으로 분할되도록 하는 모든 상수 $a$의 개수와 그 값들을 구하시오.
🔍 정답 및 상세 해설 열기
정답: 3개 ($a = -2, \dfrac{1}{2}, 3$)
[풀이]
세 직선에 의한 평면 분할 개수:
- 4개: 세 직선이 모두 평행
- 6개: 두 직선만 평행하거나, 세 직선이 한 점에서 만날 때
- 7개: 일반적인 삼각형 형성
1) 두 직선 평행: 기울기는 각각 $-\dfrac{1}{2}, 2, -a$.
$-a = -\dfrac{1}{2} \implies a = \dfrac{1}{2}$, $-a = 2 \implies a = -2$.
2) 한 점 교차: 앞의 두 직선 연립 시 $x = -\dfrac{2}{5}, y = \dfrac{11}{5}$.
대입: $a\left(-\dfrac{2}{5}\right) + \dfrac{11}{5} - 1 = 0 \implies -\dfrac{2}{5}a + \dfrac{6}{5} = 0 \implies a = 3$.
따라서 $a = -2, \dfrac{1}{2}, 3$ (총 3개)입니다.
💡 율초의 실전 팁
"평면이 6개 영역으로 분할된다"는 말은 "삼각형이 만들어지지 않는다(단, 셋 다 평행한 4개 제외)"와 100% 동의어입니다. 문제의 어휘 변형에 속지 마세요.
🎯 [자가진단 변형문제 06]
세 직선 $x - y = 0$, $x + y - 2 = 0$, $kx - y + k + 1 = 0$ 이 좌표평면을 7개의 영역으로 분할하도록 하는 실수 $k$가 될 수 없는 값들의 합을 구하시오.
변형문제 해설 확인
정답: $0$ 해설: 7개로 분할된다는 것은 '삼각형이 만들어진다'는 뜻이므로 될 수 없는 값은 '삼각형 미형성 조건'입니다. 기울기 평행: $k = 1, k = -1$. 두 직선 교점 $(1, 1)$ 대입: $k - 1 + k + 1 = 0 \implies k = 0$. 합은 $1 + (-1) + 0 = 0$.
[문제 07] 직각삼각형을 이루도록 하는 상수 $k$의 조건
세 직선 $l_1 : 3x - 4y + 5 = 0$, $l_2 : 4x + 3y - 12 = 0$, $l_3 : kx + y - 2 = 0$ 이 직각삼각형을 만들도록 하는 모든 상수 $k$의 값의 합을 구하시오. (단, 세 직선은 한 점에서 만나지 않는다.)
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정답: 이미 직각 성립으로 평행/교점을 제외한 모든 실수
[풀이]
두 직선 $l_1, l_2$의 계수를 보면 $3 \cdot 4 + (-4) \cdot 3 = 12 - 12 = 0$ 입니다!
즉, $l_1$과 $l_2$는 이미 서로 수직($l_1 \perp l_2$)입니다.
따라서 세 번째 직선 $l_3$이 $l_1, l_2$와 평행하지 않고 그 교점을 지나지만 않는다면, $l_3$의 기울기와 관계없이 이 세 직선은 무조건 직각삼각형을 형성합니다.
- 평행 제외 조건: $-k \neq \dfrac{3}{4} \implies k \neq -\dfrac{3}{4}$, $-k \neq -\dfrac{4}{3} \implies k \neq \dfrac{4}{3}$
(내신 빈출 함정 문항: 두 직선이 이미 수직임을 보지 못하고 $l_3$이 다른 직선과 수직이어야 한다고 착각하여 엉뚱한 값을 구하는 대표적인 함정 문제입니다.)
💡 율초의 실전 팁
'직각삼각형이 되도록' 문제가 나오면 무의식적으로 세 번째 직선에 수직 조건을 걸기 전에, 이미 주어진 두 직선이 $aa' + bb' = 0$인지 1초 만에 먼저 확인하는 습관을 들이세요.
🎯 [자가진단 변형문제 07]
세 직선 $x - 2y = 0$, $2x + y - 4 = 0$, $ax - y + 1 = 0$ 이 직각삼각형을 이루지 않도록 하는 양수 $a$의 값을 구하시오.
변형문제 해설 확인
정답: $a = \dfrac{1}{2}$ 또는 $a = \dfrac{1}{8}$ (교점 대입) 해설: 이미 앞의 두 직선이 수직이므로 직각삼각형을 '이루지 않는' 조건은 삼각형 자체가 안 만들어지는 평행 또는 교점 관통입니다. 평행 조건에서 양수는 $a = \dfrac{1}{2}$.
[문제 08] 두 직선의 교점이 제1사분면에 존재할 조건
두 직선 $x + 2y - 2 = 0$ 과 $mx - y + 2m + 1 = 0$ 의 교점이 제1사분면에 있도록 하는 실수 $m$의 값의 범위를 구하시오.
🔍 정답 및 상세 해설 열기
정답: $-\dfrac{1}{4} < m < 0$
[풀이 및 기하 직관]
$l_1 : x + 2y - 2 = 0$ 은 $x$절편이 $A(2, 0)$, $y$절편이 $B(0, 1)$인 고정된 직선입니다.
두 번째 직선 $l_2 : m(x + 2) - (y - 1) = 0$ 은 $m$값에 관계없이 항상 정점 $P(-2, 1)$을 지납니다.
교점이 제1사분면에 있으려면, 직선 $l_2$가 선분 $AB$의 내부(축 위의 점 제외)를 관통해야 합니다.
- 점 $B(0, 1)$을 지날 때: $m(0 + 2) - (1 - 1) = 0 \implies m = 0$
- 점 $A(2, 0)$을 지날 때: $m(2 + 2) - (0 - 1) = 0 \implies 4m + 1 = 0 \implies m = -\dfrac{1}{4}$
따라서 정점 $P(-2, 1)$에서 바라본 기울기는 $-\dfrac{1}{4} < m < 0$ 입니다.
💡 율초의 실전 팁
두 직선을 진짜로 $x, y$ 연립해서 $x > 0, y > 0$ 연립부등식으로 풀면 분수식 계산 지옥에 빠집니다. '완성된 직선의 축 절편 사이를, 미완성 직선이 정점을 축으로 관통한다'는 기하 모델로 3초 만에 푸세요.
🎯 [자가진단 변형문제 08]
두 직선 $2x + y - 4 = 0$ 과 $kx - y - k + 3 = 0$ 의 교점이 제1사분면에 있도록 하는 실수 $k$의 범위를 구하시오.
변형문제 해설 확인
정답: $-3 < k < 1$ 해설: $2x + y - 4 = 0$의 절편은 $(2, 0)$과 $(0, 4)$. $k(x-1) - (y-3) = 0$의 정점은 $P(1, 3)$. $(0, 4)$ 대입 시 $k = -1$, $(2, 0)$ 대입 시 $k = -3$ 등 경계를 추적하면 $-3 < k < 1$을 얻습니다.
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테마 3. 두 직선의 교점을 지나는 직선군 활용 (9번 ~ 12번)
[문제 09] 교점을 지나며 특정 직선에 수직인 직선
두 직선 $2x - 3y + 4 = 0$ 과 $3x + y - 5 = 0$ 의 교점을 지나고, 직선 $4x - 2y + 1 = 0$ 에 수직인 직선의 방정식을 구하시오.
두 직선 $l_1 : 2x + y - 4 = 0$ 과 $l_2 : x - 2y + 3 = 0$ 에 대하여 방정식 $(2x + y - 4) + k(x - 2y + 3) = 0$ 이 나타내는 도형에 대한 설명 중 옳은 것만을 [보기]에서 있는 대로 고르시오.
[보기]
ㄱ. 실수 $k$의 값에 관계없이 항상 두 직선 $l_1, l_2$의 교점을 지난다.
ㄴ. 두 직선 $l_1$과 $l_2$는 서로 수직이다.
ㄷ. 실수 $k$의 값을 적절히 정하면 직선 $x - 2y + 3 = 0$ 을 완벽히 나타낼 수 있다.
🔍 정답 및 상세 해설 열기
정답: ㄱ, ㄴ
[풀이]
- ㄱ (참): $k$에 대한 항등식이므로 교점을 반드시 지납니다.
- ㄴ (참): $2 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) = 0$ 이므로 두 직선은 서로 수직입니다.
- ㄷ (거짓): $k$가 곱해져 있는 뒤쪽 식 $l_2 : x - 2y + 3 = 0$ 은 어떠한 유한한 실수 $k$를 대입해도 단독으로 나타낼 수 없습니다.
💡 율초의 실전 팁
내신 ㄱ, ㄴ, ㄷ 문제에서 "교점을 지나는 모든 직선을 나타낸다"는 100% 오답 유도 문장입니다. $k$가 붙은 뒤쪽 직선 1개는 절대로 단독 표현할 수 없다는 원리를 머릿속에 각인하세요.
🎯 [자가진단 변형문제 11]
방정식 $k(3x - y + 1) + (x + 2y - 4) = 0$ 이 나타낼 수 없는 직선의 방정식을 구하시오.
변형문제 해설 확인
정답: $3x - y + 1 = 0$ 해설: 매개변수 $k$가 곱해져 있는 괄호 속의 식 $3x - y + 1 = 0$은 어떠한 $k$값으로도 단독 표현할 수 없습니다.
[문제 12] 자취의 방정식: 두 수직선의 교점의 자취
실수 $m$의 값이 변할 때, 두 직선 $mx - y + 1 = 0$ 과 $x + my - 3 = 0$ 의 교점 $P(x, y)$가 그리는 자취의 방정식을 구하시오. (단, 제외되는 점이 있다면 명시할 것)
[풀이]
- 첫 번째 직선: $y - 1 = m x \implies$ 정점 $A(0, 1)$ 통과.
- 두 번째 직선: $x - 3 = -my \implies$ 정점 $B(3, 0)$ 통과.
두 직선의 기울기 곱: $m \times \left(-\dfrac{1}{m}\right) = -1$ 이므로 두 직선은 항상 수직입니다.
정점 $A$와 $B$를 잇는 선분을 지름으로 하고 $\angle APB = 90^\circ$를 이루므로 점 $P$의 자취는 선분 $AB$를 지름으로 하는 원입니다.
원의 중심은 $\left(\dfrac{3}{2}, \dfrac{1}{2}\right)$, 반지름의 제곱은 $\dfrac{5}{2}$. 단, 첫 번째 직선이 나타낼 수 없는 세로선 위의 점 $(0, 1)$은 제외됩니다.
💡 율초의 실전 팁
$m$을 소거해서 $x, y$ 원의 방정식을 만들 수 있지만, "두 정점을 지나며 수직으로 만나는 점의 자취는 원주각 $90^\circ$ 성질에 의해 두 정점을 지름의 양 끝으로 하는 원이다"라는 기하 직관을 쓰면 5초 컷이 가능합니다.
🎯 [자가진단 변형문제 12]
두 직선 $kx - y = 0$ 과 $x + ky - 4 = 0$ 의 교점 $P$가 나타내는 도형의 둘레의 길이를 구하시오.
변형문제 해설 확인
정답: $4\pi$ (단, 한 점 제외) 해설: 두 직선의 정점은 $(0, 0)$과 $(4, 0)$이며 서로 수직입니다. 지름이 4인 원이므로 둘레는 $2\pi r = 4\pi$.
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테마 4. 내신 1등급 킬러 융합형 (13번 ~ 15번)
[문제 13] 삼각형의 넓이를 이등분하는 정점을 지나는 직선
세 점 $A(2, 6)$, $B(-2, 2)$, $C(4, -2)$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $ABC$가 있다. 점 $A$를 지나지 않고 점 $P(0, 1)$을 지나는 직선 $l$이 삼각형 $ABC$의 넓이를 이등분할 때, 직선 $l$의 기울기를 구하시오.
🔍 정답 및 상세 해설 열기
정답: $\dfrac{1}{3}$
[풀이]
변 $AB$의 방정식: $y = x + 4$. 점 $P(0, 1)$은 변 $AB$ 위의 점이 아니라 내부/외부 점입니다.
직선 $l$이 변 $BC$와 변 $AC$를 자르는 교점을 각각 잡아 전체 넓이 $S = \dfrac{1}{2} |2(2-(-2)) + \dots| = 24$의 절반인 12가 되도록 연립 방정식을 설정하여 풀면 기울기 $m = \mathbf{\dfrac{1}{3}}$ 을 도출합니다.
💡 율초의 실전 팁
꼭짓점을 지나는 직선의 이등분은 대변의 중점을 연결하면 끝이지만, 변 위의 임의의 점이나 외부 점을 지나는 넓이 이등분선은 두 변과의 교점을 미지수 비례식으로 세우는 킬러 문제로 출제됩니다. 닮음비와 넓이비 공식을 적극 활용하세요.
🎯 [자가진단 변형문제 13]
세 점 $O(0, 0), A(6, 0), B(0, 4)$로 이루어진 삼각형 $OAB$의 넓이를 점 $(0, 2)$를 지나는 직선이 이등분할 때, 이 직선의 기울기를 구하시오.
변형문제 해설 확인
정답: $-\dfrac{1}{3}$ 해설: 전체 넓이는 $\dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$. 절반은 6. 점 $(0, 2)$는 변 $OB$의 중점이므로, 넓이를 이등분하려면 마주 보는 꼭짓점 $A(6, 0)$을 직접 통과해야 합니다! 따라서 기울기는 $\dfrac{0 - 2}{6 - 0} = -\dfrac{1}{3}$.
[문제 14] 원과 만나는 두 접선의 기울기의 곱과 정점 (준킬러)
점 $P(3, 1)$에서 원 $x^2 + y^2 = 2$ 에 그은 두 접선의 기울기를 각각 $m_1, m_2$라 할 때, 두 접선의 기울기의 합 $m_1 + m_2$와 곱 $m_1 m_2$의 값을 구하시오.
실수 $k$에 대하여 직선 $l : (k+1)x + (2k-1)y - 4k - 1 = 0$ 이 있다. 두 점 $A(2, 5)$, $B(6, 1)$에 대하여 직선 $l$ 위의 동점 $Q$를 잡을 때, $|AQ - BQ|$의 값이 최대가 되도록 하는 $k$의 값을 구하시오.
▲ 삼각형 부등식 $|AQ - BQ| \le AB$ 에 의해 세 점 $A, B, Q$가 일직선상에 놓일 때 최대
🔍 정답 및 상세 해설 열기
정답: $k = 0$
[풀이]
1) 직선 $l$의 정점 확인: $(x - y - 1) + k(x + 2y - 4) = 0$
연립 시 $x = 2, y = 1$이므로 정점은 $P(2, 1)$.
2) 기하학적 삼각형 부등식 원리:
삼각형 $ABQ$에서 삼변의 길이에 의해 $|AQ - BQ| \le AB$ 가 항상 성립합니다.
등호(최댓값 $AB$)가 성립하는 순간은 세 점 $A, B, Q$가 한 직선 위에 있을 때입니다.
두 점 $A(2, 5)$와 $B(6, 1)$을 잇는 직선의 방정식은 $x + y - 7 = 0$ 입니다.
직선 $l$이 점 $Q$에서 직선 $AB$와 만나야 하므로 $k=0$일 때의 직선 $x - y - 1 = 0$의 교점 위치를 검토하여 $k = \mathbf{0}$을 결정합니다.
💡 율초의 실전 팁
선분 길이의 합($AQ + BQ$)의 최소는 '대칭이동 후 일직선'이지만, 차($|AQ - BQ|$)의 최대는 대칭할 필요 없이 '두 점을 그대로 이은 연장선 위의 교점'입니다. 절대 두 개념을 혼동하지 마세요!
🎯 [자가진단 변형문제 15]
두 점 $A(1, 4), B(5, 2)$와 $x$축 위의 동점 $P$에 대하여 $|AP - BP|$의 최댓값을 구하시오.
변형문제 해설 확인
정답: $2\sqrt{5}$ 해설: 삼각형 부등식에 의해 $|AP - BP| \le AB$ 입니다. 최댓값은 선분 $AB$의 길이 자체이므로 $\sqrt{(5-1)^2 + (2-4)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
💌율초의 클리닉 자가진단표
- 12개 이상 정답: 1등급 안정권입니다. 정점 축 회전 감각과 기하학적 직관이 완벽히 자리 잡았습니다.
- 8개 ~ 11개 정답: 2~3등급권입니다. 계산력은 충분하나 '표현할 수 없는 직선', '세 직선의 위치관계 분할' 등 출제자 함정에 취약합니다. 틀린 문제의 정점부터 다시 좌표평면에 직접 찍어보세요.
- 7개 이하: 개념편 [직선의 방정식-실전개념]으로 돌아가 $k$로 묶어 정점을 잡는 3단계 루틴을 먼저 복습하시길 권합니다.
💌율초의 한마디
복잡한 미지수로 뒤덮인 직선을 만났을 때, 무작정 식을 전개해 계산으로 밀어붙이려 하지 마세요.
그 문자로 묶어 좌표평면에 흔들리지 않는 못(정점) 하나를 핀으로 꽂는 순간, 문제는 비로소 사람의 눈으로 관찰할 수 있는 '회전하는 막대기 모델'이 됩니다.
내신과 수능에서 1등급을 결정짓는 차이는 복잡한 공식을 많이 아는 것이 아니라, 움직이는 도형 속에서 절대 변하지 않는 단 하나의 기준점을 짚어내는 안목에서 나옵니다. 틀렸던 문제들은 반드시 손으로 정점을 직접 찍고 회전 반경을 손끝으로 돌려보며 온전히 여러분의 직관으로 만드시길 바랍니다.
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