일차함수 대단원 완결 실전 워크시트
수능 1등급의 시선으로 꿰뚫는 일차함수 최고난도 심화 15제 & 쌍둥이 실전 클리닉
단순히 두 점을 주고 기울기를 구하거나, 절편을 주고 식을 세우는 기계적인 문제는 시험지의 등급을 가르지 못합니다.
일차함수가 진짜 강력해지는 순간은 "미지수 $m$의 값에 관계없이 항상 지나는 정점(Fixed Point)의 발견", "선분과 만나기 위한 기울기의 경계값 탐색", 그리고 "도형 위를 달리는 점들에 의한 넓이 함수의 구간별 꺾임"을 기하학적으로 해석할 때입니다. 이 모든 사고력은 고1 도형의 방정식과 수능 킬러 문항을 관통하는 거대한 뼈대입니다.
중2 내신 만점 방지용 최고난도 문항과 수능적 추론이 결합된 엄선 심화 15제와, 완벽한 복습과 체득을 위한 1:1 쌍둥이 변형 문제 15제를 함께 수록했습니다. 스스로 먼저 풀어본 뒤 정답과 단계별 해설을 펼쳐 확인해 보세요.
📌 심화 15제 테마별 로드맵
Part 1 (01~03번): 정점과 회전 직선군 & 선분 교차
Part 2 (04~06번): 격자점(Lattice Points) & 절댓값 그래프
Part 3 (07~09번): 미지수 k와 다각형 비형성 & 대칭성
Part 4 (10~12번): 비꼭짓점 절단 & 사다리꼴 넓이 분할
Part 5 (13~15번): 두 점 동시 이동 & 구간별 합성 넓이 함수
Part 1. 정점(Fixed Point) 해석과 선분 교차의 경계값 (01~03번)
문항 01. 항등식 관점의 정점 탐색과 선분과의 만남
수능 연계 킬러
직선 $y = m(x - 2) + 3$이 두 점 $A(1, 5)$, $B(4, 2)$를 이은 선분 $AB$와 만나도록 하는 실수 $m$의 값의 범위를 구하시오.
👉 대표문제 정답 및 상세 해설
정답: $m \le -2$ 또는 $m \ge -\frac{1}{2}$
1단계: 정점(회전축)의 발견
$y - 3 = m(x - 2)$는 기울기 $m$에 관계없이 항상 점 $P(2, 3)$을 지납니다.
2단계: 두 끝점 $A, B$를 지날 때의 경계 기울기
• 점 $A(1, 5)$ 지날 때: $m_A = \frac{5 - 3}{1 - 2} = -2$
• 점 $B(4, 2)$ 지날 때: $m_B = \frac{2 - 3}{4 - 2} = -\frac{1}{2}$
3단계: 회전각과 기울기 범위 판정
점 $P(2, 3)$에서 선분 $AB$를 바라볼 때, 완만한 음의 기울기($-\frac{1}{2}$)에서 반시계 방향으로 회전하면 수평선($m=0$)과 양수 기울기 영역을 지나 수직선을 넘어 가파른 음의 기울기($-2$)에 도달합니다.
따라서 구하는 범위는 $m \le -2$ 또는 $m \ge -\frac{1}{2}$ 입니다.
👯 쌍둥이 변형 문제 01
직선 $y = k(x + 1) + 2$가 두 점 $A(2, 5)$, $B(5, 4)$를 잇는 선분 $AB$와 만나도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.
정답 및 해설 펼치기
정점은 $P(-1, 2)$입니다.
• 점 $A(2, 5)$ 지날 때: $k = \frac{5 - 2}{2 - (-1)} = \frac{3}{3} = 1$
• 점 $B(5, 4)$ 지날 때: $k = \frac{4 - 2}{5 - (-1)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
점 $P$에서 선분 $AB$는 양의 기울기 영역 사이에 놓이므로 구하는 범위는 $\frac{1}{3} \le k \le 1$ 입니다.
문항 02. 기울기의 곱이 음수인 두 직선과 수직 조건
기하 심화
좌표평면 위의 세 점 $O(0, 0)$, $A(4, 2)$, $B(a, 6)$에 대하여 $\angle OAB = 90^\circ$인 직각삼각형이 되도록 하는 상수 $a$의 값을 구하시오.
👉 대표문제 정답 및 상세 해설
정답: $a = 2$
• 직선 $OA$의 기울기: $m_{OA} = \frac{2 - 0}{4 - 0} = \frac{1}{2}$
• 두 직선이 수직일 때 기울기의 곱은 $-1$이므로, 직선 $AB$의 기울기는 $-2$입니다.
$$m_{AB} = \frac{6 - 2}{a - 4} = \frac{4}{a - 4} = -2 \implies 4 = -2(a - 4) \implies a - 4 = -2 \implies \mathbf{a = 2}$$.
👯 쌍둥이 변형 문제 02
세 점 $O(0, 0)$, $A(3, 6)$, $B(k, 2)$에 대하여 $\angle OAB = 90^\circ$가 되도록 하는 상수 $k$의 값을 구하시오.
정답 및 해설 펼치기
직선 $OA$의 기울기: $\frac{6 - 0}{3 - 0} = 2$.
수직인 직선 $AB$의 기울기는 $-\frac{1}{2}$이어야 합니다.
$\frac{2 - 6}{k - 3} = \frac{-4}{k - 3} = -\frac{1}{2} \implies k - 3 = 8 \implies \mathbf{k = 11}$.
문항 03. 한 점을 공유하며 회전하는 직선과 사각형의 만남
내신 1등급 킬러
네 점 $A(1, 1)$, $B(3, 1)$, $C(3, 4)$, $D(1, 4)$를 꼭짓점으로 하는 직사각형 $ABCD$가 있다. 직선 $y = ax - 2a + 2$가 직사각형 $ABCD$와 만나지 않도록 하는 실수 $a$의 값의 범위를 구하시오.
👉 대표문제 정답 및 상세 해설
정답: $a < -1$ 또는 $a > 2$
• $y - 2 = a(x - 2) \implies$ 항등식 관점에서 항상 정점 $P(2, 2)$를 지납니다.
• 직사각형의 꼭짓점을 통과할 때의 기울기:
- 점 $C(3, 4)$ 지날 때: $a = 2$
- 점 $B(3, 1)$ 지날 때: $a = -1$
직선이 직사각형 내부를 관통하여 만날 조건은 $-1 \le a \le 2$입니다.
따라서 만나지 않기 위한 범위는 $a < -1$ 또는 $a > 2$ 입니다.
👯 쌍둥이 변형 문제 03
네 점 $A(2, 2)$, $B(4, 2)$, $C(4, 6)$, $D(2, 6)$을 꼭짓점으로 하는 정사각형이 있다. 직선 $y = m(x - 3) + 4$가 이 정사각형과 만나지 않도록 하는 실수 $m$의 범위를 구하시오.
정답 및 해설 펼치기
정점 $P(3, 4)$는 정사각형의 정확한 중심 대칭점입니다.
꼭짓점 $C(4, 6)$ 지날 때 기울기 $m = \frac{6 - 4}{4 - 3} = 2$.
꼭짓점 $B(4, 2)$ 지날 때 기울기 $m = \frac{2 - 4}{4 - 3} = -2$.
중심에서 출발한 직선은 회전하면서 변 $BC$와 $AD$를 항상 $-2 \le m \le 2$ 사이에서 만납니다.
따라서 만나지 않는 실수 $m$의 범위는 존재하지 않습니다 (항상 만남).
Part 2. 격자점(Lattice Points) 카운팅 & 절댓값 꺾인 그래프 (04~06번)
문항 04. [그래프 분석] 직선과 좌표축으로 둘러싸인 내부의 격자점
수능 단골 격자점
일차함수 $y = -\frac{2}{3}x + 4$의 그래프와 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 영역의 내부 및 경계선에 포함되는 점 중 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점(격자점)의 총 개수를 구하시오.
👉 대표문제 정답 및 상세 해설
정답: $19$개
$0 \le x \le 6$ 범위에서 각 정수 $x$에 대응하는 정수 $y$의 개수를 셉니다 ($0 \le y \le -\frac{2}{3}x + 4$):
• $x = 0 \implies 0 \le y \le 4$ : $5$개
• $x = 1 \implies 0 \le y \le 3.33$ : $4$개
• $x = 2 \implies 0 \le y \le 2.67$ : $3$개
• $x = 3 \implies 0 \le y \le 2$ : $3$개
• $x = 4 \implies 0 \le y \le 1.33$ : $2$개
• $x = 5 \implies 0 \le y \le 0.67$ : $1$개
• $x = 6 \implies 0 \le y \le 0$ : $1$개
$$\text{총합} = 5 + 4 + 3 + 3 + 2 + 1 + 1 = \mathbf{19}\text{개}$$.
👯 쌍둥이 변형 문제 04
일차함수 $y = -\frac{3}{4}x + 3$의 그래프와 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 삼각형 영역의 내부 및 경계선 위에 있는 정수 좌표 격자점의 개수를 구하시오.
정답 및 해설 펼치기
$x$절편 $4$, $y$절편 $3$ ($0 \le x \le 4$):
• $x = 0 \implies y \in \{0, 1, 2, 3\}$ : 4개
• $x = 1 \implies 0 \le y \le 2.25$ : 3개 ($0, 1, 2$)
• $x = 2 \implies 0 \le y \le 1.5$ : 2개 ($0, 1$)
• $x = 3 \implies 0 \le y \le 0.75$ : 1개 ($0$)
• $x = 4 \implies y = 0$ : 1개
총 격자점 수 $= 4 + 3 + 2 + 1 + 1 = \mathbf{11}\text{개}$.
문항 05. 절댓값 기호가 포함된 V자 꺾인 함수와의 교점
고1·수능 선행 킬러
함수 $y = |2x - 6|$의 그래프와 일차함수 $y = x + k$의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.
👉 대표문제 정답 및 상세 해설
정답: $k > -3$
$y = |2x - 6|$은 점 $(3, 0)$에서 꺾이는 V자 그래프입니다.
기울기가 $1$인 직선 $y = x + k$가 꼭짓점 $(3, 0)$을 통과할 때: $0 = 3 + k \implies k = -3$.
직선이 이 경계보다 위쪽으로 올라갈 때($k > -3$), V자의 왼쪽 날개($m=-2$) 및 오른쪽 날개($m=2$)와 각각 1번씩 만나 서로 다른 2개의 교점을 형성합니다.
따라서 구하는 범위는 $k > -3$ 입니다.
👯 쌍둥이 변형 문제 05
함수 $y = |3x - 12|$의 그래프와 직선 $y = 2x + k$가 서로 다른 두 점에서 만나기 위한 실수 $k$의 범위를 구하시오.
정답 및 해설 펼치기
꺾인 꼭짓점은 $(4, 0)$입니다.
기울기가 $2$인 직선은 오른쪽 날개 기울기($3$)보다 완만하므로, $(4, 0)$을 지날 때($0 = 2(4) + k \implies k = -8$)를 기준으로 직선이 위로 올라갈 때 양쪽 날개와 교차합니다.
따라서 구하는 범위는 $k > -8$ 입니다.
문항 06. 사분면을 지나지 않기 위한 매개변수 정밀 부등식
심화 판정
직선 $(a - 2)x - y + (3 - a) = 0$이 제1사분면을 지나지 않도록 하는 실수 $a$의 값의 범위를 구하시오.
👉 대표문제 정답 및 상세 해설
정답: 조건을 만족하는 실수 $a$는 없다. (공집합 $\emptyset$)
표준형: $y = (a - 2)x + (3 - a)$
• 기울기 조건: 오른쪽 위로 올라가면 무조건 제1사분면을 침범하므로 $a - 2 \le 0 \implies a \le 2$
• $y$절편 조건: $y$축의 양의 부분을 지나면 안 되므로 $3 - a \le 0 \implies a \ge 3$
$a \le 2$와 $a \ge 3$을 동시에 만족하는 실수는 존재하지 않으므로, 이 직선은 어떤 $a$에 대해서도 제1사분면을 완전히 피할 수 없습니다.
👯 쌍둥이 변형 문제 06
직선 $(m + 1)x - y + (2m - 4) = 0$이 제2사분면을 지나지 않도록 하는 실수 $m$의 값의 범위를 구하시오.
정답 및 해설 펼치기
표준형: $y = (m + 1)x + (2m - 4)$.
제2사분면을 지나지 않으려면 우상향 직선이면서 $y$절편이 $0$ 이하이어야 합니다.
• 기울기: $m + 1 > 0 \implies m > -1$
• $y$절편: $2m - 4 \le 0 \implies m \le 2$
공통 범위: $-1 < m \le 2$.
Part 3. 직선군에 의한 평면 분할과 삼각형 미형성 킬러 (07~09번)
문항 07. 세 직선이 평면을 6개의 영역으로 나눌 조건
수능 기하 추론
서로 다른 세 직선 $x - y + 1 = 0$, $x + y - 3 = 0$, $ax + y - 2 = 0$에 의하여 좌표평면이 6개의 영역으로 분할되도록 하는 모든 상수 $a$의 값의 곱을 구하시오.
👉 대표문제 정답 및 상세 해설
정답: $0$
평면이 6개 영역으로 나뉘는 것은 "삼각형이 만들어지지 않는 조건"과 같습니다.
• 직선 1: $y = x + 1$ (기울기 $1$)
• 직선 2: $y = -x + 3$ (기울기 $-1$)
• 직선 3: $y = -ax + 2$ (기울기 $-a$)
[경우 1] 평행할 때: $-a = 1 \implies a = -1$ 또는 $-a = -1 \implies a = 1$
[경우 2] 직선 1, 2의 교점 $(1, 2)$를 지날 때: $a(1) + 2 - 2 = 0 \implies a = 0$
따라서 모든 $a$의 값의 곱은 $(-1) \times 1 \times 0 = \mathbf{0}$ 입니다.
👯 쌍둥이 변형 문제 07
세 직선 $y = 2x - 1$, $y = -x + 5$, $y = kx + 2$가 삼각형을 만들지 않도록 하는 모든 실수 $k$의 값의 합을 구하시오.
정답 및 해설 펼치기
• 평행할 때: $k = 2$ 또는 $k = -1$
• 앞의 두 직선의 교점 $(2, 3)$ 통과: $3 = 2k + 2 \implies k = \frac{1}{2}$
모든 $k$의 합: $2 + (-1) + \frac{1}{2} = \mathbf{\frac{3}{2}}$.
문항 08. 역함수 대칭축(y=x)에 대한 직선의 선대칭
고등 브릿지
직선 $y = 3x - 6$을 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동한 직선이 점 $(a, -2)$를 지날 때, 상수 $a$의 값을 구하시오.
👉 대표문제 정답 및 상세 해설
정답: $a = -12$
$y = x$ 대칭은 $x$와 $y$를 맞바꾸는 연산입니다.
$$x = 3y - 6 \implies 3y = x + 6 \implies y = \frac{1}{3}x + 2$$
점 $(a, -2)$ 대입: $-2 = \frac{1}{3}a + 2 \implies \frac{1}{3}a = -4 \implies \mathbf{a = -12}$.
👯 쌍둥이 변형 문제 08
직선 $y = -2x + 8$을 $y = x$에 대하여 대칭이동한 직선의 $x$절편을 구하시오.
정답 및 해설 펼치기
원래 직선의 $y$절편이 대칭이동한 직선의 $x$절편이 됩니다.
$y = -2x + 8$의 $y$절편은 $8$이므로, 대칭이동한 직선의 $x$절편은 $8$입니다.
문항 09. 세 변의 수직이등분선의 교점(외심) 좌표 구하기
2학기 기하 융합
세 직선 $x = 0$, $y = 0$, $3x + 4y - 24 = 0$으로 둘러싸인 직각삼각형의 외심(Circumcenter)의 좌표를 구하시오.
👉 대표문제 정답 및 상세 해설
정답: $(4, 3)$
• $x$절편: $(8, 0)$, $y$절편: $(0, 6)$
• 직각삼각형의 외심은 언제나 빗변의 중점에 놓입니다.
$$\text{중점 } M = \left(\frac{8 + 0}{2}, \; \frac{0 + 6}{2}\right) = \mathbf{(4, 3)}$$.
👯 쌍둥이 변형 문제 09
세 직선 $x = 0$, $y = 0$, $5x + 12y - 60 = 0$으로 둘러싸인 직각삼각형의 외접원의 반지름의 길이를 구하시오.
정답 및 해설 펼치기
밑변 $= 12$, 높이 $= 5$.
빗변의 길이 $= \sqrt{12^2 + 5^2} = 13$.
외접원의 반지름은 빗변 길이의 절반이므로 $R = \frac{13}{2} = \mathbf{6.5}$.
Part 4. 비꼭짓점 절단 & 사다리꼴 넓이 분할 킬러 (10~12번)
문항 10. 두 직사각형을 동시에 양분하는 단 하나의 직선
수능 기하 킬러
직사각형 $R_1$은 네 점 $(1, 1), (5, 1), (5, 5), (1, 5)$를 꼭짓점으로 하고, 직사각형 $R_2$는 네 점 $(6, 4), (10, 4), (10, 8), (6, 8)$을 꼭짓점으로 한다. 두 직사각형 $R_1, R_2$의 넓이를 동시에 이등분하는 직선의 방정식을 구하시오.
👉 대표문제 정답 및 상세 해설
정답: $y = \frac{3}{5}x + \frac{6}{5}$
두 직사각형의 대칭 중심을 동시에 통과해야 합니다.
• $R_1$의 중심: $P_1(3, 3)$, $R_2$의 중심: $P_2(8, 6)$
• 기울기: $m = \frac{6 - 3}{8 - 3} = \frac{3}{5}$
$$y - 3 = \frac{3}{5}(x - 3) \implies \mathbf{y = \frac{3}{5}x + \frac{6}{5}}$$.
👯 쌍둥이 변형 문제 10
네 점 $(0, 0), (4, 0), (4, 6), (0, 6)$을 꼭짓점으로 하는 직사각형과 네 점 $(5, 2), (9, 2), (9, 8), (5, 8)$을 꼭짓점으로 하는 정사각형의 넓이를 동시에 이등분하는 직선의 기울기를 구하시오.
정답 및 해설 펼치기
첫 번째 사각형의 대칭 중심: $(2, 3)$.
두 번째 사각형의 대칭 중심: $(7, 5)$.
기울기: $m = \frac{5 - 3}{7 - 2} = \mathbf{\frac{2}{5}}$.
문항 11. [기하 시각화] 꼭짓점을 지나지 않고 빗변을 자르며 이등분할 때
내신 만점 방지 킬러
세 점 $O(0, 0)$, $A(8, 0)$, $B(0, 6)$으로 이루어진 직각삼각형이 있다. 점 $(0, 2)$를 지나고 기울기가 양수인 직선 $l$이 밑변 $OA$를 통과하며 삼각형 $OAB$의 넓이를 이등분할 때, 직선 $l$의 기울기를 구하시오.
👉 대표문제 정답 및 상세 해설
정답: $-\frac{1}{2}$ 또는 밑변 절단 시 기울기 판정
전체 삼각형 넓이 $S = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24 \implies$ 이등분 목표 넓이는 $12$입니다.
점 $(0, 2)$에서 밑변 $OA$ 상의 점 $(k, 0)$을 향해 선을 그어 만들어지는 왼쪽 아래 직각삼각형 넓이가 $12$가 되려면:
$$\frac{1}{2} \times k \times 2 = 12 \implies k = 12 > 8 \quad (\text{삼각형 밖으로 벗어남})$$
따라서 직선은 반드시 빗변 $AB$와 만나며 위쪽 삼각형(밑변 $6 - 2 = 4$)의 넓이를 $12$로 만들어야 합니다.
$$\frac{1}{2} \times 4 \times x_P = 12 \implies x_P = 6$$
빗변 식 $y = -\frac{3}{4}x + 6$에 $x = 6$ 대입 $\implies y_P = \frac{3}{2}$.
따라서 직선은 $(0, 2)$와 $\left(6, \frac{3}{2}\right)$을 지나므로 기울기는 $\frac{\frac{3}{2} - 2}{6 - 0} = \mathbf{-\frac{1}{12}}$ 입니다.
👯 쌍둥이 변형 문제 11
세 점 $O(0, 0)$, $A(6, 0)$, $B(0, 8)$로 이루어진 직각삼각형이 있다. $y$절편이 $4$인 직선이 삼각형 $OAB$의 넓이를 이등분할 때, 이 직선의 기울기를 구하시오.
정답 및 해설 펼치기
전체 넓이 $= 24 \implies$ 절반은 $12$.
위쪽 삼각형 밑변 $= 8 - 4 = 4$. 교점 $P$의 $x$좌표: $\frac{1}{2} \times 4 \times x_P = 12 \implies x_P = 6$.
빗변 식: $y = -\frac{4}{3}x + 8$에 $x = 6$ 대입 시 $y = 0 \implies$ 점 $(6, 0)$ 통과.
두 점 $(0, 4)$와 $(6, 0)$을 지나는 직선의 기울기는 $\mathbf{-\frac{2}{3}}$ 입니다.
문항 12. 세 직선으로 둘러싸인 삼각형의 내접원과 넓이
수능 기하 융합
세 직선 $y = 0$, $4x - 3y = 0$, $4x + 3y - 24 = 0$으로 둘러싸인 이등변삼각형의 내접원의 반지름의 길이 $r$을 구하시오.
👉 대표문제 정답 및 상세 해설
정답: $r = \frac{3}{2}$
• 밑변: $(0, 0)$에서 $(6, 0) \implies 6$
• 꼭짓점: $(3, 4)$ (높이 $= 4$)
• 넓이 $S = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$, 둘레 $L = 6 + 5 + 5 = 16$
$$S = \frac{1}{2}r(a+b+c) \implies 12 = \frac{1}{2} \times r \times 16 = 8r \implies \mathbf{r = \frac{3}{2}}$$.
👯 쌍둥이 변형 문제 12
세 직선 $x = 0$, $y = 0$, $3x + 4y - 12 = 0$으로 둘러싸인 직각삼각형의 내접원의 반지름 $r$을 구하시오.
정답 및 해설 펼치기
밑변 $= 4$, 높이 $= 3$, 빗변 $= 5$.
넓이 $S = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$, 둘레 $= 12$.
$6 = \frac{1}{2} \times r \times 12 = 6r \implies \mathbf{r = 1}$.
Part 5. 2개의 동점(P, Q) 이동 & 꺾인 구간별 넓이 함수 (13~15번)
문항 13. 서로 마주보고 달리는 두 점 P, Q 사이의 거리 함수
수능 속도 벡터
수직선 위에서 점 $P$는 좌표 $0$에서 출발하여 오른쪽으로 매초 $3$의 속력으로 달리고, 점 $Q$는 좌표 $40$에서 출발하여 왼쪽으로 매초 $2$의 속력으로 달린다. 출발한 지 $t$초 후 두 점 사이의 거리를 $y$라고 할 때, $y$를 $t$에 대한 식으로 나타내고, 두 점 사이의 거리가 처음으로 $10$이 되는 시점을 구하시오.
👉 대표문제 정답 및 상세 해설
정답: 식 $y = |40 - 5t|$, 시간: $6$초 후
• $t$초 후 점 $P$의 위치: $3t$, 점 $Q$의 위치: $40 - 2t$
• 거리 $y = |(40 - 2t) - 3t| = \mathbf{|40 - 5t|}$
처음으로 거리가 $10$이 되는 것은 마주보고 다가올 때이므로:
$$40 - 5t = 10 \implies 5t = 30 \implies \mathbf{t = 6\text{초 후}}$$.
👯 쌍둥이 변형 문제 13
좌표 $0$에서 점 $P$가 매초 $4$의 속력으로 달리고, 좌표 $60$에서 점 $Q$가 왼쪽으로 매초 $2$의 속력으로 달린다. 두 점이 만난 후 다시 거리가 $12$만큼 멀어지는 시점은 출발한 지 몇 초 후인가?
정답 및 해설 펼치기
거리 식: $y = |60 - 6t|$.
만난 후($t > 10$)이므로 $y = 6t - 60 = 12 \implies 6t = 72 \implies \mathbf{t = 12\text{초 후}}$.
문항 14. 복합 유입/배출 물통의 꺾인 선 그래프 해석
수능형 자료해석
어떤 물탱크에 수도관 $A$로 물을 넣으면서 동시에 배수관 $B$로 물을 뺀다. 처음 $10$분 동안은 $A$관만 열어 물을 채우다가, 이후 $10$분부터는 $A, B$관을 동시에 열었더니 수위가 감소하여 $30$분 만에 빈 물통이 되었다. $A$관의 분당 유입량이 $6\text{L}$일 때, $B$관의 분당 배출량을 구하시오.
👉 대표문제 정답 및 상세 해설
정답: $9\text{L/min}$
• 처음 $10$분간 채운 물의 양: $6 \times 10 = 60\text{L}$
• $10$분~ $30$분($20$분 동안) $60\text{L}$가 방출되었으므로 순감소율은 $\frac{60}{20} = 3\text{L/min}$
$$\text{유입량} - \text{배출량} = 6 - B = -3 \implies \mathbf{B = 9\text{L/min}}$$.
👯 쌍둥이 변형 문제 14
처음 $15$분 동안 $A$관으로 분당 $4\text{L}$씩 물을 채우다, 이후 $A, B$관을 동시에 열어 $20$분 만에 완전히 비웠다. $B$관의 분당 배출량을 구하시오.
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축적된 물 $= 4 \times 15 = 60\text{L}$.
$20$분간 빠져나간 순변화율 $= \frac{60}{20} = 3\text{L/min}$.
$4 - B = -3 \implies \mathbf{B = 7\text{L/min}}$.
문항 15. 직사각형 둘레를 도는 두 점 P, Q가 만드는 사다리꼴 넓이의 극값
전국연합 모의고사 킬러
가로 $16\text{cm}$, 세로 $10\text{cm}$인 직사각형 $ABCD$에서 점 $P$는 점 $A$를 출발하여 변 $AB$를 따라 매초 $1\text{cm}$로 $B$를 향해 움직이고, 점 $Q$는 점 $B$를 출발하여 변 $BC$를 따라 매초 $2\text{cm}$로 $C$를 향해 동시에 출발한다. 출발한 지 $t$초 후 선분 $PQ$가 변 $CD$와 평행하여 사각형 $APQD$가 사다리꼴이 되는 순간의 넓이를 구하시오.
👉 대표문제 정답 및 상세 해설
정답: $115\text{cm}^2$
선분 $PQ$가 세로변 $CD$와 평행하려면 점 $P$가 점 $B$에 도달했을 때가 아니라, 밑변 $BC$에 수직이어야 하므로 점 $P$와 점 $Q$의 $x$좌표가 같아야 합니다. 하지만 $P$는 $x=0$ 선상($AB$ 위)에 있으므로, 평행 조건은 $PQ \parallel AD$가 되는 순간(점 $P$와 $Q$의 $y$좌표가 일치할 때)입니다.
• 점 $P$의 높이: $10 - t$
• 점 $Q$는 밑변($y=0$) 위를 달리므로 두 선분이 수평이 되는 유일한 사다리꼴 형성 시점은 $P$가 $B$에 도착하기 전 $t = 5$초일 때입니다.
사다리꼴 윗변 $AD = 16$, 아랫변 $BQ = 2(5) = 10$, 높이 $AP = 5$일 때 사각형 $APQD$의 넓이:
$$\text{넓이} = \frac{1}{2} \times (16 + 10) \times 5 = \frac{1}{2} \times 26 \times 5 = \mathbf{65\text{cm}^2}$$.
👯 쌍둥이 변형 문제 15
가로 $12\text{cm}$, 세로 $8\text{cm}$인 직사각형 $ABCD$에서 점 $P$는 점 $A$에서 초속 $1\text{cm}$로 $B$로 이동하고, 점 $Q$는 점 $B$에서 초속 $2\text{cm}$로 $C$로 이동한다. $t = 3$초 후 삼각형 $PBQ$의 넓이를 구하시오.
정답 및 해설 펼치기
$t = 3$일 때:
• 선분 $AP = 3\text{cm} \implies PB = 8 - 3 = 5\text{cm}$
• 선분 $BQ = 2 \times 3 = 6\text{cm}$
직각삼각형 $PBQ$의 넓이 $= \frac{1}{2} \times 6 \times 5 = \mathbf{15\text{cm}^2}$.
💬
율초의 한마디
단순 공식 암기로는 결코 이 15문제와 쌍둥이 15제의 벽을 넘을 수 없습니다. 미지수 $m$ 앞에서 당황하지 않고 정점(Fixed Point)을 짚어내고, 복잡한 사다리꼴 앞에서 기하학적 대칭축과 구간별 넓이 함수를 꺼내드는 힘, 그것이 바로 중2를 넘어 고등 수학과 수능 1등급으로 도약하는 진짜 실력입니다.
대표 문제와 쌍둥이 문제까지 총 30제를 스스로의 힘으로 분석하고 정리했다면, 여러분의 일차함수 안목은 이미 중등 수준을 완전히 졸업했습니다. 이제 자신감을 가지고 2학기 기하학(Geometry)의 대항해로 함께 나아갑시다.
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