율초의 수학연구소

문장제 문제가 10초 만에 풀린다: 초기값과 변화율로 끝내는 일차함수 5대 활용 모델 & 움직이는 점 P

일차함수 그래프를 아무리 잘 그리던 아이들도 "A가 12일 걸리는 일을 하다가 B가 이어받아...", "길이가 30cm인 양초가 탈 때...", "점 P가 직사각형의 변 위를 초속 2cm로 달릴 때..."처럼 긴 문장제가 나오면 얼어붙고 맙니다.

하지만 문장의 길이에 주눅 들 필요가 전혀 없습니다. 실생활의 모든 일차함수는 "시작할 때 얼마를 가지고 있었는가? (초기값 = $y$절편 $b$)"와 "1단위(1분, 1초, 1일)마다 얼마씩 변하는가? (변화율 = 기울기 $a$)"라는 단 두 개의 열쇠로 10초 만에 완벽한 수식 $y = ax + b$로 변환됩니다.

물통 채우기, 양초 소각, 이동 속력, 전체 일의 양을 1로 두는 일(Work)의 완성 모델, 그리고 시험지 킬러 문항 1순위인 "도형 위를 움직이는 점 P의 이동과 넓이 함수"까지 5대 핵심 유형을 한 번에 정복해 봅니다.

🚦 문장제 번역기: 긴 글을 3초 만에 $y = ax + b$로 바꾸는 2대 공식

📊 시험에 나오는 실생활 일차함수 5대 모델 분해표

내신 킬러: 직사각형 $ABCD$ 변 위를 달리는 점 $P$와 삼각형 넓이

가로 $12cm$, 세로 $8cm$인 직사각형에서 점 $P$가 점 $B$를 출발하여 매초 $2cm$의 속력으로 선분 $BC$ 위를 달릴 때, 밑변 $BP = 2x$가 팽창하며 만들어지는 삼각형 $ABP$의 넓이 $y = \frac{1}{2} \times 2x \times 8 = 8x$의 기하학적 메커니즘을 관찰해 보세요.

⚡ 시험장에서 학생들이 가장 많이 빠지는 3대 실수 클리닉

양초가 타들어갈 때 남은 길이와 완전히 다 타는 시간

길이가 $24cm$인 양초에 불을 붙이면 $6$분마다 $3cm$씩 일정하게 길이가 줄어든다고 한다. 불을 붙인 지 $x$분 후의 남은 양초의 길이를 $ycm$라고 할 때, $y$를 $x$에 대한 식으로 나타내고, 양초가 완전히 다 타서 없어지는 데 걸리는 시간을 구하시오.

물통에 물을 넣을 때 수위 변화와 가득 차는 시간

현재 $15L$의 물이 들어 있는 물탱크에 매분 $4L$씩 일정한 속도로 물을 채우려고 한다. $x$분 후 물탱크에 들어 있는 물의 양을 $yL$라고 할 때, $y$를 $x$에 대한 식으로 나타내고, 물탱크에 물이 $75L$가 되는 것은 몇 분 후인지 구하시오.

자동차 이동 시 목적지까지의 남은 거리 모델

$360km$ 떨어진 할머니 댁을 향해 시속 $80km$로 일정하게 자동차를 운전하여 가고 있다. 출발한 지 $x$시간 후 목적지까지 남은 거리를 $ykm$라고 할 때, $y$를 $x$에 대한 식으로 나타내고, 남은 거리가 $120km$가 되는 시점을 구하시오.

전체 일의 양을 $1$로 두는 일(Work)의 완성과 이어하기

어떤 일을 완성하는 데 $A$ 혼자 하면 $12$일이 걸리고, $B$ 혼자 하면 $6$일이 걸린다. 이 일을 $A$가 먼저 $4$일 동안 작업한 후, 나머지를 $B$가 이어받아 혼자 작업하여 완성하려고 한다. $B$가 작업한 날수를 $x$일, 지금까지 마친 전체 누적 일의 양을 $y$라고 할 때, $y$를 $x$에 대한 식으로 나타내고, $B$는 며칠 동안 작업해야 이 일을 완전히 끝낼 수 있는지 구하시오.

사다리꼴 변 위를 움직이는 점 P와 사각형의 넓이 함수

윗변 $AD = 8cm$, 아랫변 $BC = 14cm$, 높이 $AB = 10cm$인 사다리꼴 $ABCD$가 있다. 점 $P$가 점 $B$를 출발하여 아랫변 $BC$를 따라 점 $C$까지 매초 $2cm$의 속력으로 움직인다. 점 $P$가 출발한 지 $x$초 후 사다리꼴 $ABPD$의 넓이를 $ycm^2$라고 할 때, $y$를 $x$에 대한 식으로 나타내고, 사각형 $ABPD$의 넓이가 $70cm^2$가 되는 것은 몇 초 후인지 구하시오. (단, $0 \le x \le 7$)

🚀 [고등 브릿지] 일차함수 활용은 수능 미적분 '순간 변화율'의 초석

중2 때 배우는 "단위당 일정한 변화율($a$)"은 고2 미적분의 '순간 변화율(미분계수 $\frac{dy}{dx}$)'로 그대로 확장됩니다. 시간에 따라 팽창하는 넓이를 변수 $x$로 모델링하는 점 $P$의 기하 훈련과 작업률을 누적하는 적분적 사고를 탄탄히 해둔 학생만이, 고등 수학에서 시간에 대한 부피·넓이의 변화율 킬러 문항을 거침없이 돌파할 수 있습니다.

문장제 문제에 겁을 먹는 아이들은 한글을 읽으며 한숨을 쉬고, 수학의 맥을 잡은 아이들은 "처음 상태가 얼마인가?"와 "1단위당 얼마씩 변하는가?"라는 두 숫자만 쏙 골라냅니다.

물통이 채워지든, 양초가 타든, A가 하던 일을 B가 이어받든, 점 P가 도형 위를 달리든 원리는 하나입니다. 전체 일의 양을 $1$로 두고 하루치 일률을 기울기로 잡는 순간, 아무리 꼬아놓은 문제도 $y = ax + b$ 안에서 명쾌하게 풀려나옵니다. 세상의 모든 변화를 담아내는 이 간결한 그릇을 완전히 여러분의 것으로 만드시길 바랍니다.