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[원의 방정식: 실전유형 ③] 두 원의 위치관계·공통현·둘레 이등분 심화 킬러 15제 & 고난도 변형 자가진단

  앞서 다룬 [실전개념 ③] 에서는 "두 원의 교점 좌표를 연립방정식으로 구하려는 계산 노동을 버리고, 항등식 $C_1 + kC_2 = 0$과 $k=-1$ 대입으로 이차항을 소거하여 공통현을 3초 만에 유도한다" 는 기하학적 통찰을 확립했습니다. 또한 중심선이 공통현을 수직이등분하는 피타고라스 구조와 둘레 이등분의 지름 통과 원리까지 마스터했습니다. 그러나 실제 고난도 내신 1등급 변별 문항과 수능 모의고사 4점 킬러는 단순 공통현의 식을 묻지 않습니다. 매개변수 $k$의 변화에 따른 원의 크기 최소화(공통현을 지름으로 하는 원) , 공통현의 길이가 정수가 되도록 하는 회전각 추론 , 두 원의 교점과 세 번째 원이 동시에 접하는 삼중 기하 융합 , 그리고 한 원이 다른 원의 둘레를 삼등분 또는 특정 비율로 자르는 직교 자취 까지 확장하여 학생들의 입체적 사고력을 시험합니다. 이번 실전유형 ③에서는 원의 방정식 대단원을 매듭짓는 최고난도 심화 15제와 난도를 한 단계 더 격상한 1:1 쌍둥이 심화 변형 문제 를 완벽 해설과 함께 제공합니다. 각 문항의 해설 토글을 열기 전에 스스로 두 중심선을 잇고 피타고라스 직각삼각형을 작도해 보시기 바랍니다. 💡 [두 원의 상호작용 킬러] 실전 3대 해결 원칙 (Checklist) 1. 공통현은 무조건 $C_1 - C_2 = 0$: 이차항($x^2, y^2$)을 없애는 순간 두 교점을 관통하는 유일한 직선이 된다. 2. 두 중심선은 공통현의 수직이등분선: $\overline{O_1 O_2} \perp \overline{AB}$ 이며, 현의 길이는 $2\sqrt{r_1^2 - d^2}$ 피타고라스로 직결된다. 3. 둘레 이등분은 피이등분 원의 중심 통과: 잘리는 원의 중심 좌표를 공통현 $C_1 - C_2 = 0$에 대입하면 미정계수가 5초 만에 풀린다. 테마 1. 공통현의 방정식과 현의 길이 피타고라스 킬러 (01번 ~ 04번) [문제 01] 두 원...
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[중2 수학] 두 직선의 교점과 삼각형·도형의 넓이 구하기: 넓이 이등분선·4등분선과 킬러 공식

 


중2 수학 일차함수 완성 시리즈 04

방정식과 도형의 만남: 두 직선의 교점과 도형의 넓이를 가르는 결정적 직선들

중2 1학기 수학의 최고난도 킬러 문항은 단연 "연립방정식으로 교점을 찾고, 특정 도형의 넓이를 2등분·4등분하는 직선의 식을 세우는 문제"입니다.

"점 $A$를 지나며 삼각형의 넓이를 반으로 가르는 식", "점 $B$나 $C$를 지날 때는 어떻게 바뀌는가?", "넓이를 4등분하는 3개의 선", 그리고 "직사각형·평행사변형·원의 대칭 중심 비기"까지! 공식 암기가 아닌 '높이가 같은 삼각형의 밑변 비례 원리'와 '점대칭 도형의 중심 관통 법칙'을 잡으면 10초 만에 직선의 식이 눈에 들어옵니다.

나아가 최상위권 변별을 위해 출제되는 "꼭짓점을 지나지 않고 밑변과 빗변을 비스듬히 자르며 넓이를 이등분하는 최고난도 사다리꼴·삼각형 분할법"까지 완벽히 정복해 봅니다.

🔗 대수와 기하의 만남: 두 직선의 교점 = 연립방정식의 해

우리가 푼 연립일차방정식과 일차함수 그래프의 교점은 완벽한 쌍둥이입니다.

대수학 (Algebra)

두 식 $\begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}$을 동시에 만족하는 연립방정식의 해 $(x, y)$

기하학 (Geometry)

좌표평면 위에서 두 직선이 서로 교차하는 단 하나의 만남의 점(교점 $P$)

따라서 교점의 좌표는 두 직선의 식을 가감법이나 대입법으로 연립하여 $10$초 만에 즉시 구해낼 수 있습니다.

시각적 직관 탐구 ①

삼각형 $ABC$의 넓이를 절반으로 가르는 중선(Median)의 비밀

꼭짓점 $A(2, 4)$에서 마주보는 대변 $BC$로 직선을 그을 때, 밑변의 중점 $M(2, 0)$을 정확히 통과해야만 높이가 같은 두 삼각형의 넓이가 $1:1$($S_1 = S_2 = 8$)로 완벽히 양분됩니다.

🎯 꼭짓점이 바뀌면 중점도 바뀐다 & 넓이를 4등분하는 3개의 직선

1. 어느 꼭짓점에서 출발하는가? (마주보는 대변의 중점을 조준하라!)
• 점 $A$를 지날 때: 마주보는 선분 $BC$의 중점 $M_{BC}$를 지나는 직선!
• 점 $B$를 지날 때: 마주보는 선분 $AC$의 중점 $M_{AC}$를 지나는 직선!
• 점 $C$를 지날 때: 마주보는 선분 $AB$의 중점 $M_{AB}$를 지나는 직선!
$\to$ "삼각형의 넓이를 이등분한다"고 해서 무조건 밑변 $BC$만 보는 실수를 멈추세요. 출발하는 점과 마주보는 변(대변)의 중점을 정확히 연결해야 합니다.
2. 점 $A$를 지나며 삼각형의 넓이를 4등분하는 3개의 직선
꼭짓점 $A$에서 마주보는 밑변 $BC$로 선을 그을 때, 생성되는 삼각형들은 모두 높이가 같습니다.
따라서 넓이를 $4$등분하려면 밑변 $BC$를 $1:1:1:1$로 균등하게 4등분하는 3개의 분할점 $P_1, P_2, P_3$을 꼭짓점 $A$와 각각 연결하면 됩니다.
• 첫 번째 선: 점 $A$와 점 $P_1$ ($1:3$ 내분점) 연결 $\implies$ 좌측 넓이 $\frac{1}{4}$
• 두 번째 선: 점 $A$와 점 $P_2$ ($2:2$ 중점 $M$) 연결 $\implies$ 넓이 $\frac{1}{2}$ (이등분선)
• 세 번째 선: 점 $A$와 점 $P_3$ ($3:1$ 내분점) 연결 $\implies$ 좌측 넓이 $\frac{3}{4}$
수능 연계 기하 비기

⭕ 점대칭 도형(평행사변형·직사각형·마름모·원)의 넓이 이등분 법칙

삼각형이 아닌 점대칭 도형의 넓이를 절반으로 자르는 모든 직선은 단 하나의 급소를 통과합니다. 바로 '대칭의 중심(Center of Symmetry)'입니다!

1. 평행사변형·직사각형·정사각형·마름모

• 반드시 두 대각선의 교점(대칭 중심 $P$)을 통과해야 합니다.
• $P = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \; \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$
이 점을 지나는 직선은 어떤 기울기로 비틀어 지나가도 사각형의 넓이를 완벽히 양분합니다.

2. 원 (Circle)

• 반드시 원의 중심 $(a, b)$을 통과해야 합니다.
• 원의 중심을 지나는 모든 직선은 지름이 되므로, 무조건 넓이가 $1:1$로 이등분됩니다.

📖 내신 1등급을 가르는 [기하 융합 4대 킬러 유형 & 쌍둥이 클리닉]

빈출 킬러 01

두 직선과 $x$축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이

두 일차함수 $l_1: y = 2x + 4$와 $l_2: y = -x + 10$의 그래프의 교점을 $A$, 두 직선이 $x$축과 만나는 점을 각각 $B, C$라고 할 때, 삼각형 $ABC$의 넓이를 구하시오.

👉 대표문제 정답 및 풀이 확인
1단계: 교점 $A$ 구하기
$2x + 4 = -x + 10 \implies 3x = 6 \implies x = 2, y = 8 \implies \mathbf{A(2, 8)}$ (높이 $= 8$)

2단계: $x$절편 $B, C$ 구하기
• $l_1$의 $x$절편: $0 = 2x + 4 \implies x = -2 \implies \mathbf{B(-2, 0)}$
• $l_2$의 $x$절편: $0 = -x + 10 \implies x = 10 \implies \mathbf{C(10, 0)}$

3단계: 넓이 계산
밑변 $BC = 10 - (-2) = 12$, 높이 $= 8$
$$\text{넓이} = \frac{1}{2} \times 12 \times 8 = \mathbf{48}$$.
👯 쌍둥이 변형 문제 1

두 일차함수 $y = x + 3$과 $y = -2x + 6$의 그래프 및 $x$축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오.

정답 및 해설 보기
교점: $x + 3 = -2x + 6 \implies 3x = 3 \implies (1, 4)$ (높이 $= 4$).
$x$절편: $-3$과 $3 \implies$ 밑변 $= 6$.
$$\text{넓이} = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = \mathbf{12}$$.
오답 킬러 02

꼭짓점 $B$를 지나며 삼각형 $ABC$의 넓이를 이등분하는 직선

세 점 $A(2, 6)$, $B(-4, 0)$, $C(6, 0)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $ABC$가 있다. 점 $B$를 지나면서 삼각형 $ABC$의 넓이를 이등분하는 직선의 방정식을 구하시오.

👉 킬러문제 정답 및 풀이 확인
1단계: 대변 $AC$의 중점 $M_{AC}$ 구하기
점 $B$에서 출발하므로 마주보는 선분 $AC$의 중점을 지나야 합니다.
$$M_{AC} = \left(\frac{2 + 6}{2}, \; \frac{6 + 0}{2}\right) = \mathbf{(4, 3)}$$

2단계: 두 점 $B(-4, 0)$과 $M(4, 3)$을 지나는 직선 세우기
• 기울기 $m = \frac{3 - 0}{4 - (-4)} = \frac{3}{8}$
• 식: $y - 0 = \frac{3}{8}(x - (-4)) \implies \mathbf{y = \frac{3}{8}x + \frac{3}{2}}$
👯 쌍둥이 변형 문제 2

세 점 $A(0, 8)$, $B(-6, 0)$, $C(4, 0)$에 대하여, 점 $C$를 지나면서 삼각형 $ABC$의 넓이를 이등분하는 직선의 식을 구하시오.

정답 및 해설 보기
선분 $AB$의 중점 $M_{AB} = \left(\frac{0+(-6)}{2}, \frac{8+0}{2}\right) = (-3, 4)$.
점 $C(4, 0)$과 $M(-3, 4)$를 지나는 직선:
기울기 $m = \frac{4 - 0}{-3 - 4} = -\frac{4}{7}$.
$y - 0 = -\frac{4}{7}(x - 4) \implies \mathbf{y = -\frac{4}{7}x + \frac{16}{7}}$.
수능 빈출 실전 03

평행사변형과 원의 넓이를 동시에 이등분하는 직선

네 점 $A(1, 1)$, $B(5, 1)$, $C(7, 5)$, $D(3, 5)$를 꼭짓점으로 하는 평행사변형 $ABCD$의 넓이와, 중심이 $(-1, -1)$인 원의 넓이를 동시에 이등분하는 직선의 방정식을 구하시오.

👉 대표문제 정답 및 풀이 확인
1단계: 평행사변형의 대칭 중심 $P$ 구하기
대각선 $AC$의 중점: $P = \left(\frac{1 + 7}{2}, \; \frac{1 + 5}{2}\right) = \mathbf{(4, 3)}$

2단계: 원의 중심 $Q$ 확인
원의 넓이를 이등분하려면 반드시 원의 중심 $\mathbf{Q(-1, -1)}$을 지나야 합니다.

3단계: 두 점 $P(4, 3)$과 $Q(-1, -1)$을 지나는 직선 세우기
• 기울기 $m = \frac{3 - (-1)}{4 - (-1)} = \frac{4}{5}$
• 식: $y - 3 = \frac{4}{5}(x - 4) \implies y = \frac{4}{5}x - \frac{16}{5} + \frac{15}{5} \implies \mathbf{y = \frac{4}{5}x - \frac{1}{5}}$.
👯 쌍둥이 변형 문제 3

네 점 $(2, 2), (8, 2), (8, 6), (2, 6)$인 직사각형의 넓이를 이등분하고, 원점 $(0, 0)$을 지나는 직선의 기울기를 구하시오.

정답 및 해설 보기
직사각형 중심: $\left(\frac{2+8}{2}, \frac{2+6}{2}\right) = (5, 4)$.
원점과 $(5, 4)$를 지나므로 기울기 $m = \mathbf{\frac{4}{5}}$.
내신 만점 방지 킬러

💥 꼭짓점을 지나지 않고 삼각형을 비스듬히 자르며 이등분할 때의 해법

시험에서 "직선이 꼭짓점을 지나지 않고 변 위를 통과하며 넓이를 이등분한다"는 조건이 나오면 학생들은 멘붕에 빠집니다. 이때는 중점 공식을 쓸 수 없으므로 '잘려 나간 작은 삼각형의 넓이 공식'을 세워야 합니다.

[필살 풀이 프로토콜]
  1. 전체 넓이 구하기: 원래 삼각형의 전체 넓이 $S$를 먼저 구한다. (목표 넓이는 $\frac{1}{2}S$)
  2. 새로운 교점 좌표를 미지수로 표현: 자르는 직선 $y = mx + b$와 삼각형 변들의 새로운 교점 2개를 구한다.
  3. 작은 삼각형의 넓이 식 세우기: 잘려 나간 직각삼각형(또는 삼각형)의 $\frac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이} = \frac{1}{2}S$ 방정식을 풀어 미지수를 확정한다!
[대표 예제] 세로선 $x = k$가 직각삼각형을 이등분할 때

세 점 $O(0, 0)$, $A(6, 0)$, $B(0, 6)$으로 이루어진 직각이등변삼각형이 있다. 직선 $x = k$가 이 삼각형의 넓이를 이등분할 때, 상수 $k$의 값을 구하시오. (단, $0 < k < 6$)

정답 및 상세 풀이 보기
• 전체 삼각형의 넓이: $\frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18 \implies$ 목표 이등분 넓이는 $9$.
• 직선 $x = k$로 잘랐을 때, 오른쪽 남는 작은 삼각형을 봅니다.
빗변 $AB$의 방정식은 $y = -x + 6$이므로 $x = k$일 때의 교점 높이는 $-k + 6 = 6 - k$입니다.
오른쪽 작은 직각삼각형의 밑변은 $6 - k$, 높이도 $6 - k$가 됩니다.
$$\frac{1}{2}(6 - k)^2 = 9 \implies (6 - k)^2 = 18 \implies 6 - k = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$
따라서 $k = 6 - 3\sqrt{2}$입니다. (꼭짓점을 지나지 않아도 넓이 식으로 단번에 해결!)
💬

율초의 한마디

수학 문제를 풀 때 수식에만 매달리는 아이는 교점과 넓이라는 단어 앞에서 연산의 늪에 빠집니다. 하지만 "도형을 반으로 가르는 핵심은 대칭의 중심과 마주보는 대변의 중점에 있다"는 원리를 아는 아이는 펜을 들기도 전에 이미 머릿속으로 직선의 궤적을 봅니다.

삼각형은 출발점에 따라 대변의 중점($M_{BC}, M_{AC}, M_{AB}$)을 조준하고, 사각형은 대각선의 교점을, 원은 중심을 겨냥하세요. 그리고 꼭짓점을 지나지 않을 때는 '잘려 나간 조각의 넓이 방정식'으로 침착하게 접근하세요. 이 기하학적 안목이 중2를 넘어 수능 킬러 기하까지 여러분의 가장 강력한 무기가 될 것입니다.

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