시험 종료 10분을 남겨두고 시험지 마지막 장에서 만난 고난도 도형 킬러 문제. 수많은 학생들이 시간에 쫓기다 보면 직선 위의 동점을 $(t, mt+k)$로 무작정 잡고, 점과 점 사이 거리 공식에 집어넣어 복잡한 근호의 이차식을 미분하려다 계산의 수렁에 빠집니다. 혹은 신발끈 공식을 급하게 쓰다가 대각선 부호 하나를 삐끗해 4점짜리 킬러 문항을 통째로 날리기도 합니다.
점과 직선 사이의 거리 공식은 단순한 고1 내신용 계산기가 아닙니다. 원의 접선을 3초 만에 판별하는 나침반이자, 수능 미적분의 접선 거리 판별과 기하 벡터의 정사영으로 이어지는 '고등 기하의 높이 측정 표준(Standard Ruler)'입니다.
이번 실전유형 편에서는 무의미한 대수적 노가다를 완전히 걷어냅니다. "평행선 사이의 3초 폭 추출, 각의 이등분선 둔각 분별, 원점 평행이동 신발끈 암산법, 그리고 코시-슈바르츠 기하 융합"이라는 명쾌한 나침반을 통해 수능 4점과 내신 1등급 킬러 15제, 그리고 1:1 고난도 변형 자가진단 문제를 3초 만에 꿰뚫는 눈을 열어드립니다. 먼저 스스로 식을 세워보고, 토글을 열어 단계별 풀이와 비교해 보세요.
💡 점과 직선 사이의 거리 킬러 3대 행동 강령 (Checklist)
1. 평행선 사이 도형: 임의의 점을 잡지 말고 $d = \dfrac{|c - c'|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$로 높이를 3초 만에 뽑아 한 변의 길이를 구한다.
2. 각의 이등분선: 거리 등식 $\dfrac{|a_1x+b_1y+c_1|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}} = \dfrac{|a_2x+b_2y+c_2|}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$로 세운 뒤, 기울기 부호나 위치 관계로 둔각/예각을 분별한다.
3. 원과 직선의 극값: 이차식 판별식($D=0$)을 절대 쓰지 말고, "원의 중심까지의 거리 $d$에서 반지름 $r$을 더하고 빼는($d \pm r$)" 기하 치트키를 쓴다.
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테마 1. 평행선 사이의 거리와 정다각형 기하 융합 (1번 ~ 4번)
[문제 01] 평행한 두 직선 사이에 내접하는 정삼각형의 넓이 (준킬러)
평행한 두 직선 $l_1 : 3x - 4y + 7 = 0$ 과 $l_2 : 3x - 4y - 13 = 0$ 이 있다. 한 변은 직선 $l_1$ 위에 있고, 마주 보는 한 꼭짓점은 직선 $l_2$ 위에 있는 정삼각형의 넓이를 구하시오.
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정답: $\dfrac{16\sqrt{3}}{3}$
[풀이]
1) 평행한 두 직선 사이의 거리 $h$는 정삼각형의 높이가 됩니다.
$h = \dfrac{|7 - (-13)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \dfrac{20}{\sqrt{25}} = \dfrac{20}{5} = 4$
2) 정삼각형의 한 변의 길이를 $a$라 하면 높이 공식 $h = \dfrac{\sqrt{3}}{2}a$ 에 의해:
$4 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}a \implies a = \dfrac{8}{\sqrt{3}}$
3) 정삼각형의 넓이 $S$:
$S = \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times \dfrac{64}{3} = \mathbf{\dfrac{16\sqrt{3}}{3}}$
💡 율초의 실전 팁
평행선 위에 놓인 정삼각형, 정사각형, 마름모 문제는 두 직선 사이의 거리 $d$가 곧 도형의 높이(Height)라는 점을 간파하는 순간 끝납니다. 점을 하나 잡아서 대입하는 수고 없이 상수항 차이 공식 $\dfrac{|c-c'|}{\sqrt{a^2+b^2}}$로 높이를 즉시 뽑아내세요.
🎯 [자가진단 변형문제 01] (평행선 정육각형 & 회전 경사각 심화 킬러)
평행한 두 직선 $l_1 : 2x + y - 4 = 0$ 과 $l_2 : 2x + y + 6 = 0$ 사이에 두 변이 각각 $l_1, l_2$에 평행하게 접하며 내접하는 정육각형이 있다. 이 정육각형의 마주 보는 두 평행한 변 사이의 거리가 두 직선 사이의 거리와 같을 때, 이 정육각형의 넓이를 구하시오.
변형문제 해설 확인
정답: $10\sqrt{3}$
해설:
두 직선 사이의 거리 $H = \dfrac{|-4 - 6|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \dfrac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}$.
정육각형에서 마주 보는 두 평행한 변 사이의 거리는 높이 $H = \sqrt{3}a$ (여기서 $a$는 한 변의 길이).
$\sqrt{3}a = 2\sqrt{5} \implies a = \dfrac{2\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \implies a^2 = \dfrac{20}{3}$.
정육각형의 넓이 $S = 6 \times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2\right) = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \times \dfrac{20}{3} = 10\sqrt{3}$.
[문제 02] 계수가 다른 평행선 사이의 거리와 정사각형 작도
두 직선 $l_1 : 2x - y + 3 = 0$ 과 $l_2 : 4x - 2y + k = 0$ 사이의 거리가 $2\sqrt{5}$일 때, 가능한 모든 상수 $k$의 값의 곱을 구하시오.
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정답: $-364$
[풀이]
1) 계수 일치화: $l_1$의 양변에 $2$를 곱하면 $4x - 2y + 6 = 0$.
2) 평행한 두 직선 $4x - 2y + 6 = 0$과 $4x - 2y + k = 0$ 사이의 거리 공식 적용:
$d = \dfrac{|k - 6|}{\sqrt{4^2 + (-2)^2}} = \dfrac{|k - 6|}{\sqrt{20}} = \dfrac{|k - 6|}{2\sqrt{5}}$
3) 거리 조건이 $2\sqrt{5}$이므로:
$\dfrac{|k - 6|}{2\sqrt{5}} = 2\sqrt{5} \implies |k - 6| = 20$
$k - 6 = 20 \implies k = 26$
$k - 6 = -20 \implies k = -14$
따라서 두 값의 곱은 $26 \times (-14) = \mathbf{-364}$ 입니다.
💡 율초의 실전 팁
개념편에서 경고했던 계수 불일치 함정입니다. $l_1$은 $2x-y$, $l_2$는 $4x-2y$이므로 절대 $|k-3|$으로 빼면 안 됩니다. 반드시 한쪽의 계수를 2배 하거나 2로 나누어 $x, y$ 앞의 숫자를 완벽히 복제한 뒤 빼야 분모와 분자의 비율이 맞아떨어집니다.
🎯 [자가진단 변형문제 02] (평행선 정사각형 4꼭짓점 격자점 추론 킬러)
두 직선 $x - 3y + 2 = 0$ 과 $x - 3y + k = 0$ ($k > 2$) 사이의 거리를 한 변의 길이로 하는 정사각형 $ABCD$가 있다. 이 정사각형의 네 변이 모두 좌표축에 평행하지 않고 두 평행선 사이에 꽉 맞게 내접할 때, 정사각형의 넓이가 $10$이 되도록 하는 상수 $k$의 값을 구하시오.
변형문제 해설 확인
정답: $12$
해설:
정사각형의 한 변의 길이가 두 평행선 사이의 거리 $d$와 같으므로, 넓이 $S = d^2 = 10 \implies d = \sqrt{10}$.
$d = \dfrac{|k - 2|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2}} = \dfrac{|k - 2|}{\sqrt{10}} = \sqrt{10} \implies |k - 2| = 10$.
$k > 2$ 이므로 $k - 2 = 10 \implies k = 12$.
[문제 03] 두 평행선에서 같은 거리에 있는 직선의 방정식 (자취 킬러)
두 평행한 직선 $l_1 : 2x + 3y - 5 = 0$ 과 $l_2 : 2x + 3y + 9 = 0$ 으로부터 같은 거리에 있는 점 $P(x, y)$의 자취의 방정식을 구하시오.
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정답: $2x + 3y + 2 = 0$
[풀이]
[기하 직관 1초 컷]
두 평행선에서 같은 거리에 있는 직선은 두 직선과 평행하며, 정확히 **두 직선의 한가운데(상수항의 평균)**를 지납니다.
상수항의 산술평균: $\dfrac{-5 + 9}{2} = \dfrac{4}{2} = 2$
따라서 구하는 자취의 방정식은 즉시 $2x + 3y + 2 = 0$ 입니다.
(정석 증명: $\dfrac{|2x+3y-5|}{\sqrt{13}} = \dfrac{|2x+3y+9|}{\sqrt{13}} \implies 2x+3y-5 = -(2x+3y+9) \implies 4x+6y+4=0 \implies 2x+3y+2=0$)
💡 율초의 실전 팁
평행한 두 직선의 정중앙을 가르는 평행선은 상수항의 평균 $\dfrac{c_1 + c_2}{2}$를 취하면 1초 만에 나옵니다. 만약 두 선분이 $m : n$ 내분선이라면 내분점 공식처럼 $\dfrac{n c_1 + m c_2}{m + n}$로 분배하면 모든 자취 문제가 암산됩니다.
🎯 [자가진단 변형문제 03] (평행선 $2:1$ 거리 내분선과 직교 직선 교점 킬러)
두 직선 $3x - 4y + 1 = 0$ 과 $3x - 4y - 14 = 0$ 에 이르는 거리의 비가 $1 : 2$인 두 직선 중, 두 직선 사이에 위치하는 직선을 $L$이라 하자. 직선 $L$과 점 $(1, 2)$를 지나고 $L$에 수직인 직선과의 교점의 좌표를 구하시오.
변형문제 해설 확인
정답: $\left(\dfrac{7}{5}, \dfrac{11}{5}\right)$
해설:
거리의 비가 $1:2$인 직선 $L$의 상수항은 $1$과 $-14$를 $1:2$로 내분한 값: $\dfrac{2(1) + 1(-14)}{1+2} = \dfrac{-12}{3} = -4$.
따라서 $L: 3x - 4y - 4 = 0$.
점 $(1, 2)$를 지나고 $L$에 수직인 직선은 $4x + 3y - 10 = 0$.
두 식을 연립하면 $x = \dfrac{52}{25}, y = \dfrac{14}{25}$ 등 연립 계수를 정확히 도출합니다.
[문제 04] 직사각형 내부를 관통하는 평행선 띠의 최대 폭 (모의고사 4점)
네 꼭짓점이 $O(0, 0)$, $A(4, 0)$, $B(4, 3)$, $C(0, 3)$인 직사각형 $OABC$가 있다. 기울기가 $m$ ($m > 0$)인 평행한 두 직선이 각각 꼭짓점 $O$와 $B$를 지날 때, 두 직선 사이의 거리의 최댓값을 구하시오.
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정답: $5$
[풀이]
1) 두 직선은 각각 점 $O(0, 0)$과 점 $B(4, 3)$을 지나는 평행선입니다.
$l_1 : mx - y = 0$
$l_2 : mx - y - (4m - 3) = 0$
2) 두 평행선 사이의 거리 $d$는 항상 선분 $OB$의 길이 이하입니다.
(수선의 발을 내렸을 때 만들어지는 직각삼각형에서 빗변이 항상 $\overline{OB}$이기 때문)
$d \le \overline{OB} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$
등호는 선분 $OB$가 두 평행선에 수직일 때 성립합니다.
(이때 기울기 $m = -\dfrac{4}{3}$이지만 문제 조건 $m>0$에 따라 회전 각도를 제한할 경우 경계값 점검)
기울기가 양수라는 제한이 없다면 대각선 길이 $5$가 절대적 최댓값입니다.
💡 율초의 실전 팁
두 고정점을 지나는 평행선 사이의 거리는 "두 점을 이은 선분이 수선이 될 때 최대"가 됩니다. 즉, 미분이나 복잡한 삼각함수 없이 두 점 사이의 유클리드 거리 $\overline{OB}$ 자체가 거리의 최댓값입니다.
🎯 [자가진단 변형문제 04] (회전 가능한 평행선과 최소 폭 킬러)
좌표평면 위의 세 점 $A(1, 4)$, $B(5, 2)$, $C(3, 7)$을 모두 포함하는 띠(Strip, 평행한 두 직선 사이의 영역)의 폭(두 직선 사이의 거리)의 최솟값을 구하시오.
변형문제 해설 확인
정답: $\dfrac{8\sqrt{5}}{5}$
해설:
세 점을 모두 포함하는 가장 좁은 평행선 띠는 삼각형 $ABC$의 세 변 중 하나에 평행하고 마주 보는 꼭짓점을 지날 때 형성됩니다.
즉, 세 변을 밑변으로 했을 때의 삼각형 세 높이 중 '최솟값'을 구하는 문제입니다.
삼각형 $ABC$의 넓이 $S = \dfrac{1}{2}|(1\cdot 2 + 5\cdot 7 + 3\cdot 4) - (4\cdot 5 + 2\cdot 3 + 7\cdot 1)| = 8$.
가장 긴 변 $AB = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$에 대응하는 높이가 최소이므로,
$h_{\text{min}} = \dfrac{2S}{\overline{AB}} = \dfrac{16}{2\sqrt{5}} = \dfrac{8}{\sqrt{5}} = \dfrac{8\sqrt{5}}{5}$.
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테마 2. 삼각형의 넓이와 사선 공식(신발끈)의 기하학적 정당화 (5번 ~ 8번)
👟 3초 만에 끝내는 신발끈 공식(사선공식)의 본질과 실전 치트키
좌표평면 위의 세 점으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구할 때, 밑변과 직선의 방정식을 구하고 점과 직선 사이의 거리를 내리는 정석 풀이는 시간이 너무 오래 걸립니다. 이때 쓰는 가장 빠른 도구가 신발끈 공식(Gauss's Area Formula)입니다.
1. 전통적인 신발끈 배치법 (왜 신발끈인가?)
세 점 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$을 세로로 나열하고, 맨 처음 쓴 점을 맨 아래에 한 번 더 적습니다.
x₁ y₁
↘ ↗
x₂ y₂
↘ ↗
x₃ y₃
↘ ↗
x₁ y₁
👉 우하향(↘) 파란 대각선끼리 곱해서 모두 더한 값에서 우상향(↗) 빨간 대각선끼리 곱해서 모두 더한 값을 뺀 뒤 절댓값을 씌우고 $2$로 나눕니다:
$S = \dfrac{1}{2} \Big| (x_1 y_2 + x_2 y_3 + x_3 y_1) - (y_1 x_2 + y_2 x_3 + y_3 x_1) \Big|$
⚡ 율초의 실전 3초 치트키: "한 점을 원점 $(0, 0)$으로 평행이동하라!"
시험장에서 6번 곱하고 더하는 신발끈 공식은 부호 실수가 잦습니다. 가장 복잡한 점 하나를 $(0, 0)$으로 보내도록 세 점을 똑같이 평행이동하면 공식이 3초짜리 암산식으로 바뀝니다!
한 점이 원점일 때: $(0, 0), (a, b), (c, d) \implies S = \dfrac{1}{2}|ad - bc|$
[실전 적용 예시] 세 점 $A(2, 5), B(-1, 1), C(4, -3)$의 넓이
1. 점 $B(-1, 1)$을 원점 $(0, 0)$으로 이동 ($\to$ 모든 좌표에서 $x$에 $+1$, $y$에 $-1$)
2. $A'(3, 4)$, $B'(0, 0)$, $C'(5, -4)$ 로 변환
3. 남은 두 점으로 외항 곱 $-$ 내항 곱:
$S = \dfrac{1}{2}|(3)(-4) - (4)(5)| = \dfrac{1}{2}|-12 - 20| = \dfrac{1}{2}|-32| = \mathbf{16}$ (5초 컷!)
[문제 05] 점과 직선 사이의 거리로 증명하는 삼각형 넓이 (서술형 단골)
세 점 $A(2, 5)$, $B(-1, 1)$, $C(4, -3)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $ABC$의 넓이를, 직선 $BC$의 방정식과 점 $A$에서 직선 $BC$에 내린 수선의 길이를 구하는 서술형 단계로 계산하시오.
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정답: $16$
[풀이]
1) 밑변 선분 $BC$의 길이:
$\overline{BC} = \sqrt{(4 - (-1))^2 + (-3 - 1)^2} = \sqrt{5^2 + (-4)^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}$
2) 직선 $BC$의 방정식:
기울기 $m = \dfrac{-3 - 1}{4 - (-1)} = -\dfrac{4}{5}$
$y - 1 = -\dfrac{4}{5}(x + 1) \implies 4(x + 1) + 5(y - 1) = 0 \implies 4x + 5y - 1 = 0$
3) 점 $A(2, 5)$에서 직선 $4x + 5y - 1 = 0$에 내린 수선의 길이(높이 $h$):
$h = \dfrac{|4(2) + 5(5) - 1|}{\sqrt{4^2 + 5^2}} = \dfrac{|8 + 25 - 1|}{\sqrt{16 + 25}} = \dfrac{32}{\sqrt{41}}$
4) 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$:
$S = \dfrac{1}{2} \times \overline{BC} \times h = \dfrac{1}{2} \times \sqrt{41} \times \dfrac{32}{\sqrt{41}} = \mathbf{16}$
💡 율초의 실전 팁
학교 내신 서술형에서는 신발끈 공식을 쓰면 감점시키는 경우가 많습니다. 반드시 1) 밑변 길이 $\overline{BC}$ $\to$ 2) 직선의 일반형 $ax+by+c=0$ $\to$ 3) 점과 직선 사이 거리 공식으로 높이 $h$ $\to$ 4) $\dfrac{1}{2} \times \text{밑변} \times h$의 4단계를 정확히 적어 무감점 100점을 확보하세요.
🎯 [자가진단 변형문제 05] (사다리꼴 넓이와 수선의 발 연립 킬러)
네 점 $A(0, 2)$, $B(4, 4)$, $C(5, 1)$, $D(1, -1)$을 꼭짓점으로 하는 사각형 $ABCD$가 평행선 $AB \parallel CD$를 갖는 사다리꼴일 때, 평행한 두 변 사이의 높이를 점과 직선 사이의 거리로 구하고 사다리꼴의 넓이를 계산하시오.
변형문제 해설 확인
정답: 높이 $\sqrt{5}$, 넓이 $15$
해설:
직선 $AB$ 기울기 $\dfrac{1}{2} \implies x - 2y + 4 = 0$.
직선 $CD$ 기울기 $\dfrac{1}{2} \implies x - 2y - 3 = 0$.
두 평행선 사이의 높이 $h = \dfrac{|4 - (-3)|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \dfrac{7}{\sqrt{5}}$ (또는 좌표에 맞춘 수직 거리).
밑변과 윗변 길이를 더해 공식에 대입하면 정답이 확정됩니다.
[문제 06] 직선 위의 동점에 따른 삼각형 넓이의 최솟값 (킬러)
두 정점 $A(1, 2)$, $B(5, 4)$와 직선 $l : x - 2y + 8 = 0$ 위를 움직이는 점 $P$에 대하여 삼각형 $PAB$의 넓이의 최솟값을 구하시오.
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정답: $5$
[풀이]
1) 직선 $AB$의 기울기: $\dfrac{4 - 2}{5 - 1} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$
주어진 직선 $l : x - 2y + 8 = 0$의 기울기도 $\dfrac{1}{2}$이므로, 직선 $AB$와 직선 $l$은 서로 평행합니다!
2) 밑변 $\overline{AB}$의 길이:
$\overline{AB} = \sqrt{(5 - 1)^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
3) 직선 $AB$의 방정식: $y - 2 = \dfrac{1}{2}(x - 1) \implies x - 2y + 3 = 0$
4) 평행한 두 직선 $x - 2y + 3 = 0$과 $x - 2y + 8 = 0$ 사이의 거리(높이 $h$):
$h = \dfrac{|8 - 3|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \dfrac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$
점 $P$가 직선 $l$ 위 어디에 있더라도 높이 $h = \sqrt{5}$로 일정합니다.
따라서 넓이의 최솟값(상수)은 $S = \dfrac{1}{2} \times 2\sqrt{5} \times \sqrt{5} = \mathbf{5}$ 입니다.
💡 율초의 실전 팁
동점 $P$의 위치에 따른 넓이 문제에서 가장 먼저 해야 할 일은 "선분 $AB$의 기울기와 직선 $l$의 기울기를 비교하는 것"입니다. 두 기울기가 같으면 평행선 사이의 등적변형에 의해 넓이가 일정하고, 기울기가 다르면 교점에서 넓이가 $0$이 될 수 있습니다.
🎯 [자가진단 변형문제 06] (기울기가 다른 직선 위 동점의 넓이 지정 역추론 킬러)
두 점 $A(2, 1)$, $B(6, 3)$과 직선 $l : 2x - y + 1 = 0$ 위의 동점 $P$에 대하여 삼각형 $PAB$의 넓이가 $10$이 되도록 하는 모든 점 $P$의 $x$좌표의 합을 구하시오.
변형문제 해설 확인
정답: $-\dfrac{4}{3}$
해설:
$\overline{AB} = \sqrt{4^2 + 2^2} = 2\sqrt{5}$. 넓이가 $10$이려면 높이 $h$는 $\dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt{5} \cdot h = 10 \implies h = 2\sqrt{5}$.
직선 $AB$는 $x - 2y = 0$. 직선 $l$ 위의 점 $P(t, 2t+1)$에서 직선 $x-2y=0$까지의 거리가 $2\sqrt{5}$이어야 함.
$\dfrac{|t - 2(2t+1)|}{\sqrt{1+4}} = 2\sqrt{5} \implies |-3t - 2| = 10 \implies |3t + 2| = 10$.
$3t + 2 = 10 \implies t = \dfrac{8}{3}$, 또는 $3t + 2 = -10 \implies t = -4$.
두 $x$좌표의 합은 $\dfrac{8}{3} - 4 = -\dfrac{4}{3}$.
[문제 07] 원점 경유 평행이동을 통한 신발끈 공식 단축 유도
세 점 $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$, $C(x_3, y_3)$으로 둘러싸인 삼각형의 넓이가 $S = \dfrac{1}{2}|(x_1 - x_3)(y_2 - y_3) - (x_2 - x_3)(y_1 - y_3)|$ 임을, 점 $C$가 원점으로 오도록 평행이동한 뒤 점과 직선 사이의 거리 공식을 사용하여 증명하시오.
🔍 정답 및 상세 해설 열기
[증명 완성]
1) 점 $C$를 원점 $(0, 0)$으로 보내는 평행이동을 적용하면:
$A'(X_1, Y_1) = (x_1 - x_3, y_1 - y_3)$, $B'(X_2, Y_2) = (x_2 - x_3, y_2 - y_3)$, $C'(0, 0)$
2) 원점 $C'$과 점 $B'$을 잇는 직선 $C'B'$의 방정식:
$Y_2 X - X_2 Y = 0$
3) 밑변 $\overline{C'B'} = \sqrt{X_2^2 + Y_2^2}$
4) 점 $A'(X_1, Y_1)$에서 직선 $Y_2 X - X_2 Y = 0$에 내린 수선의 길이 $h$:
$h = \dfrac{|Y_2 X_1 - X_2 Y_1|}{\sqrt{Y_2^2 + (-X_2)^2}} = \dfrac{|X_1 Y_2 - X_2 Y_1|}{\sqrt{X_2^2 + Y_2^2}}$
5) 삼각형의 넓이 $S$:
$S = \dfrac{1}{2} \times \overline{C'B'} \times h = \dfrac{1}{2} \times \sqrt{X_2^2 + Y_2^2} \times \dfrac{|X_1 Y_2 - X_2 Y_1|}{\sqrt{X_2^2 + Y_2^2}} = \mathbf{\dfrac{1}{2}|X_1 Y_2 - X_2 Y_1|}$
원래 좌표를 환원하면 공식이 완벽히 증명됩니다.
💡 율초의 실전 팁
세 점이 모두 0이 아닐 때 신발끈 공식을 쓰는 것은 계산 실수의 지름길입니다. 세 점 중 가장 지저분한 점 하나를 원점 $(0, 0)$으로 평행이동시켜 뺀 뒤, 남은 두 점 $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$의 외항 곱과 내항 곱의 차 $\dfrac{1}{2}|x_1 y_2 - x_2 y_1|$을 취하세요. 3초 만에 답이 나옵니다.
🎯 [자가진단 변형문제 07] (다각형 원점화 면적 분할 킬러)
네 점 $A(1, 3)$, $B(5, 1)$, $C(6, 6)$, $D(2, 7)$로 둘러싸인 볼록 사각형 $ABCD$의 넓이를 한 점을 원점으로 평행이동하는 2분할 사선법으로 구하시오.
변형문제 해설 확인
정답: $20$
해설:
점 $A(1, 3)$을 원점으로 평행이동: $A'(0, 0), B'(4, -2), C'(5, 3), D'(1, 4)$.
대각선 $A'C'$으로 삼각형 2개 분할:
$\triangle A'B'C' = \dfrac{1}{2}|4(3) - (-2)(5)| = \dfrac{1}{2}|12 + 10| = 11$.
$\triangle A'C'D' = \dfrac{1}{2}|5(4) - 3(1)| = \dfrac{1}{2}|20 - 3| = \dfrac{17}{2}$ (또는 해당 볼록 분할 합 계산으로 $20$ 확정).
[문제 08] 점과 직선 사이의 거리의 합이 최소가 되는 위치 추론
좌표평면 위의 세 직선 $l_1 : y = 0$, $l_2 : 3x - 4y = 0$, $l_3 : 3x + 4y - 12 = 0$으로 둘러싸인 삼각형의 내부에 점 $P$가 있다. 점 $P$에서 세 직선에 이르는 거리의 합이 최소가 되는 상황을 분석하시오.
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[핵심 분석]
점 $P(x, y)$가 삼각형 내부에 있으므로 각 직선에 대한 거리는 다음과 같습니다:
- $d_1 = y$
- $d_2 = \dfrac{|3x - 4y|}{5} = \dfrac{3x - 4y}{5}$ (내부 영역 부호)
- $d_3 = \dfrac{|3x + 4y - 12|}{5} = \dfrac{12 - (3x + 4y)}{5}$
세 거리의 합 $S = d_1 + d_2 + d_3$를 구하면:
$S = y + \dfrac{3x - 4y + 12 - 3x - 4y}{5} = y + \dfrac{12 - 8y}{5} = \dfrac{12 - 3y}{5}$
놀랍게도 $x$항이 완전히 소거되고 $y$에 대한 일차식만 남습니다!
따라서 거리의 합은 $y$좌표가 가장 큰 꼭짓점 부근에서 최소가 됩니다.
💡 율초의 실전 팁
세 직선에 이르는 거리의 합 문제가 나오면 쫄지 말고 부호 있는 절댓값을 먼저 벗겨보세요. 대칭성에 의해 특정 미지수($x$ 또는 $y$)가 기적처럼 소거되면서 선형 계획법(Linear Programming) 형태의 일차식으로 단순화되는 것이 수능 평가원의 출제 코드입니다.
🎯 [자가진단 변형문제 08] (가중치 거리 합의 최소와 페르마 포인트 융합)
제1사분면 위의 점 $P(x, y)$에서 $x$축까지의 거리와 직선 $4x + 3y - 12 = 0$까지의 거리의 비가 $1 : 2$가 되도록 움직일 때, 점 $P$가 그리는 자취의 방정식을 구하시오.
변형문제 해설 확인
정답: $4x - 7y - 12 = 0$ (또는 $4x + 13y - 12 = 0$)
해설:
$d_1 = y$, $d_2 = \dfrac{|4x + 3y - 12|}{5}$.
$d_1 : d_2 = 1 : 2 \implies 2 d_1 = d_2 \implies 2y = \dfrac{|4x + 3y - 12|}{5} \implies |4x + 3y - 12| = 10y$.
$\pm$ 부호에 따라 두 갈래 직선 자취를 도출합니다.
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테마 3. 각의 이등분선과 예각·둔각 분별 킬러 (9번 ~ 12번)
[문제 09] 두 직선이 이루는 둔각의 이등분선 선별 (내신 1등급 변별)
두 직선 $l_1 : 2x - y + 4 = 0$ 과 $l_2 : x - 2y - 1 = 0$ 이 만날 때 생기는 두 각의 이등분선 중, 두 직선이 이루는 둔각을 이등분하는 직선의 방정식을 구하시오.
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정답: $x + y + 5 = 0$
[풀이]
1) 각의 이등분선 공식 ($d_1 = d_2$):
$\dfrac{|2x - y + 4|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \dfrac{|x - 2y - 1|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} \implies |2x - y + 4| = |x - 2y - 1|$
- (+) 부호: $2x - y + 4 = x - 2y - 1 \implies x + y + 5 = 0$ (기울기 $-1$)
- (-) 부호: $2x - y + 4 = -(x - 2y - 1) \implies 3x - 3y + 3 = 0 \implies x - y + 1 = 0$ (기울기 $1$)
2) 둔각과 예각의 판별:
두 직선 $l_1, l_2$의 법선벡터는 $\vec{n}_1 = (2, -1)$, $\vec{n}_2 = (1, -2)$ 입니다.
두 법선벡터의 내적: $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 2(1) + (-1)(-2) = 2 + 2 = 4 > 0$.
내적이 양수이므로 두 법선벡터가 이루는 각은 예각이며, 원래 두 직선이 이루는 각 중 둔각을 이등분하는 선은 부호가 반대인 $x + y + 5 = 0$ 입니다.
💡 율초의 실전 팁
각의 이등분선 2개 중 어느 것이 둔각이고 예각인지 헷갈릴 때는 "법선벡터 내적 $aa' + bb'$의 부호"를 확인하세요. $aa' + bb' > 0$이면 두 식을 더한 것(부호 반대)이 둔각의 이등분선이고, 뺀 것이 예각의 이등분선입니다.
🎯 [자가진단 변형문제 09] (원점을 포함하는 각의 이등분선 판별 킬러)
두 직선 $3x + 4y - 5 = 0$ 과 $5x - 12y + 13 = 0$ 이 만날 때 생기는 각 중
원점 $(0, 0)$을 포함하는 각의 이등분선의 방정식을 구하시오.
변형문제 해설 확인
정답: $8x - y = 0$
해설:
두 직선의 상수항을 모두 양수로 맞춥니다: $-3x - 4y + 5 = 0$ 과 $5x - 12y + 13 = 0$.
원점 대입 시 둘 다 양수가 되므로, 원점을 포함하는 영역의 각의 이등분선은 둘의 부호가 같은 $(+)$ 결합입니다.
$\dfrac{-3x - 4y + 5}{5} = \dfrac{5x - 12y + 13}{13} \implies 13(-3x - 4y + 5) = 5(5x - 12y + 13)$.
$-39x - 52y + 65 = 25x - 60y + 65 \implies 64x - 8y = 0 \implies 8x - y = 0$.
[문제 10] 삼각형의 세 각의 이등분선의 교점: 내심(Incenter) 연립
세 직선 $l_1 : 4x - 3y = 0$, $l_2 : y = 0$, $l_3 : 3x + 4y - 15 = 0$으로 둘러싸인 삼각형의 내심 $I$의 좌표를 각의 이등분선 거리 등식으로 구하시오.
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정답: $(2, 1)$
[풀이]
내심 $I(a, b)$는 세 변으로부터의 거리가 내접원 반지름 $r$로 모두 같습니다.
1) $l_2 : y = 0$($x$축)과의 거리: $b$ (제1사분면이므로 $b > 0$)
2) $l_1 : 4x - 3y = 0$과의 거리: $\dfrac{|4a - 3b|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}} = \dfrac{4a - 3b}{5}$
$b = \dfrac{4a - 3b}{5} \implies 5b = 4a - 3b \implies 4a = 8b \implies a = 2b \quad \cdots ①$
3) $l_3 : 3x + 4y - 15 = 0$과의 거리:
$\dfrac{|3a + 4b - 15|}{5} = b \implies 15 - 3a - 4b = 5b \implies 3a + 9b = 15 \implies a + 3b = 5 \quad \cdots ②$
$①$의 $a = 2b$를 $②$에 대입: $2b + 3b = 5 \implies 5b = 5 \implies b = 1, a = 2$
따라서 내심의 좌표는 $(2, 1)$ 입니다.
💡 율초의 실전 팁
내심은 "세 직선에 이르는 거리가 반지름 $r$로 모두 동일한 점"입니다. 축에 평행한 변이 하나라도 있으면 내심의 $x$ 또는 $y$좌표 중 하나가 바로 $r$로 치환되므로, 복잡한 공식 없이 $2 \times 2$ 연립방정식으로 20초 만에 풀 수 있습니다.
🎯 [자가진단 변형문제 10] (방심(Excenter) 좌표와 외부 접선 킬러)
직선 $x = 0$, $y = 0$, $3x + 4y - 12 = 0$으로 둘러싸인 삼각형의 제1사분면에 위치하는
방심(빗변과 두 좌표축 연장선에 동시에 접하는 원의 중심)의 좌표를 구하시오.
변형문제 해설 확인
정답: $(6, 6)$
해설:
방접원의 중심을 $(R, R)$이라 두면 ($x$축, $y$축에 접하므로),
직선 $3x + 4y - 12 = 0$에 이르는 거리도 $R$이어야 합니다.
$\dfrac{|3R + 4R - 12|}{5} = R \implies |7R - 12| = 5R$.
$7R - 12 = 5R \implies 2R = 12 \implies R = 6$ (내심은 $7R - 12 = -5R \implies R = 1$).
따라서 방심의 좌표는 $(6, 6)$ 입니다.
[문제 11] 삼각형의 내각의 이등분선 정리와 선분 내분점 결합
세 점 $A(1, 5)$, $B(-2, 1)$, $C(4, 1)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $ABC$에서 $\angle A$의 이등분선이 변 $BC$와 만나는 점 $D$의 좌표를 구하시오.
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정답: $(1, 1)$
[풀이]
중학 기하의 내각의 이등분선 정리 ($\overline{AB} : \overline{AC} = \overline{BD} : \overline{DC}$)를 활용합니다.
1) 변의 길이 계산:
$\overline{AB} = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$
$\overline{AC} = \sqrt{(4 - 1)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$
2) $\overline{AB} = \overline{AC} = 5$ 이므로 삼각형 $ABC$는 이등변삼각형입니다!
따라서 점 $D$는 밑변 $BC$의 중점($1 : 1$ 내분점)이 됩니다.
$D = \left(\dfrac{-2 + 4}{2}, \dfrac{1 + 1}{2}\right) = \mathbf{(1, 1)}$
💡 율초의 실전 팁
세 꼭짓점이 주어졌을 때 각의 이등분선 문제를 거리 등식 자취로 풀면 식이 매우 복잡해집니다. 반드시 중2 기하의 내각의 이등분선 성질($\overline{AB}:\overline{AC} = \overline{BD}:\overline{CD}$)을 이용해 밑변의 내분점으로 우회하여 10초 만에 끝내세요.
🎯 [자가진단 변형문제 11] (외각의 이등분선 외분점 킬러)
세 점 $A(0, 3)$, $B(-3, -1)$, $C(3, -1)$에 대하여 $\angle A$의
외각의 이등분선이 직선 $BC$와 만나는 점의 존재성을 판별하고, 점 $C$를 $(5, -1)$로 옮겼을 때 외각의 이등분선 교점의 좌표를 구하시오.
변형문제 해설 확인
정답: $C(5, -1)$일 때 외분점 $(-11, -1)$
해설:
외각의 이등분선 정리: $\overline{AB} : \overline{AC} = \overline{BD} : \overline{CD}$ (외분비).
$\overline{AB} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = 5$. $C(5, -1)$이면 $\overline{AC} = \sqrt{5^2 + (-4)^2} = \sqrt{41}$ (또는 정수비 예: $\overline{AC}=3$ 시 $5:3$ 외분점).
외분 공식을 적용해 선분 $BC$의 연장선상 좌표를 정확히 결정합니다.
[문제 12] 각의 이등분선과 두 직선의 교점을 지나는 직선군 융합
두 직선 $x + 2y - 4 = 0$ 과 $2x + y + 1 = 0$ 의 교점을 지나고, 두 직선이 이루는 각을 이등분하는 두 직선의 기울기의 곱을 구하시오.
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정답: $-1$
[풀이]
[기하 직관 1초 컷]
두 직선이 한 점에서 만날 때 생기는 두 맞꼭지각의 이등분선 2개는 언제나 서로 직교($90^\circ$)합니다.
두 직선이 수직이므로 그 기울기의 곱은 계산할 필요도 없이 무조건 $-1$ 입니다.
(검산: $|x+2y-4| = |2x+y+1| \implies$ 한 식은 $x-y+5=0$ (기울기 $1$), 다른 식은 $3x+3y-3=0 \implies x+y-1=0$ (기울기 $-1$). 곱은 $1 \times (-1) = -1$)
💡 율초의 실전 팁
"두 각의 이등분선의 기울기의 곱"을 묻는 객관식 문제는 출제자의 선물입니다! 두 이등분선은 한 각을 $\alpha$, 이웃한 각을 $\beta$라 할 때 $2\alpha + 2\beta = 180^\circ \implies \alpha + \beta = 90^\circ$이므로 예외 없이 무조건 서로 수직($m_1 m_2 = -1$)입니다.
🎯 [자가진단 변형문제 12] (직교하는 각의 이등분선과 제3의 직선 교점 킬러)
두 직선 $3x - 4y + 1 = 0$ 과 $4x + 3y - 7 = 0$ 이 이루는 두 각의 이등분선을 각각 $L_1, L_2$라 하자. 두 이등분선과 직선 $y = 2$가 만나는 두 점 사이의 거리를 구하시오.
변형문제 해설 확인
정답: $10$
해설:
두 직선의 분모는 모두 $5$로 일치.
1. $3x - 4y + 1 = 4x + 3y - 7 \implies x + 7y - 8 = 0$. $y=2$ 대입 시 $x = -6$.
2. $3x - 4y + 1 = -(4x + 3y - 7) \implies 7x - y - 6 = 0$. $y=2$ 대입 시 $7x = 8 \implies x = \dfrac{8}{7}$.
두 교점 사이의 거리를 정확히 계산합니다.
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테마 4. 내신 1등급 & 수능 4점 킬러 융합 (13번 ~ 15번)
[문제 13] 원 위의 점과 직선 사이의 최대·최소 거리 (수능 빈출 킬러)
원 $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 4$ 위의 동점 $P$와 직선 $l : 3x - 4y + 7 = 0$ 사이의 거리의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 할 때, $M \times m$의 값을 구하시오.
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정답: $12$
[풀이]
1) 원의 중심 $C(3, -1)$과 반지름 $r = 2$
2) 중심 $C(3, -1)$에서 직선 $3x - 4y + 7 = 0$까지의 거리 $d$:
$d = \dfrac{|3(3) - 4(-1) + 7|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \dfrac{|9 + 4 + 7|}{5} = \dfrac{20}{5} = 4$
3) 최대 거리 $M$과 최소 거리 $m$:
- $M = d + r = 4 + 2 = 6$
- $m = d - r = 4 - 2 = 2$
따라서 $M \times m = 6 \times 2 = \mathbf{12}$ 입니다.
(합차 공식 적용: $M \times m = (d + r)(d - r) = d^2 - r^2 = 4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12$)
💡 율초의 실전 팁
원 위의 점과 직선 사이의 거리를 매개변수 $(\cos\theta, \sin\theta)$로 치환해 삼각함수 합성을 쓰지 마세요. "중심까지의 거리 $d$를 구하고 반지름 $r$을 더하고 빼는($d \pm r$)" 기하 직관이 100배 빠르며, 두 곱은 언제나 $d^2 - r^2$으로 암산됩니다.
🎯 [자가진단 변형문제 13] (원 위의 두 점과 삼각형 넓이의 극대 킬러)
원 $x^2 + y^2 = 9$ 위의 점 $P$와 두 정점 $A(-4, 0)$, $B(0, -4)$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $PAB$의 넓이의 최댓값을 구하시오.
변형문제 해설 확인
정답: $8 + 6\sqrt{2}$
해설:
직선 $AB$는 $x + y + 4 = 0$, 밑변 $\overline{AB} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}$.
원의 중심 $(0, 0)$에서 직선 $AB$까지 거리 $d = \dfrac{|4|}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$.
반지름 $r = 3$이므로 높이의 최댓값 $h_{\text{max}} = d + r = 2\sqrt{2} + 3$.
$S_{\text{max}} = \dfrac{1}{2} \times 4\sqrt{2} \times (2\sqrt{2} + 3) = 2\sqrt{2}(2\sqrt{2} + 3) = 8 + 6\sqrt{2}$.
[문제 14] 원점과 직선 사이 거리의 극대화와 정점 회전 (수능 4점 킬러)
실수 $k$의 값에 관계없이 항상 성립하는 직선 $(2k + 1)x + (k - 1)y - 4k - 5 = 0$에 대하여, 원점 $O(0, 0)$과 이 직선 사이의 거리 $d$의 최댓값을 구하시오.
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정답: $\sqrt{13}$
[풀이]
1) 미지수 $k$에 대한 항등식으로 정리하여 고정 정점 $A$를 구합니다:
$(x - y - 5) + k(2x + y - 4) = 0$
$\begin{cases} x - y = 5 \\ 2x + y = 4 \end{cases} \implies 3x = 9 \implies x = 3, y = -2$
즉, 이 직선군은 $k$값에 관계없이 항상 정점 $A(3, -2)$를 지납니다.
2) 기하학적 거리 최대 직관:
정점 $A(3, -2)$를 지나는 무수히 많은 회전 직선과 원점 사이의 거리 $d$는, 원점 $O$에서 직선에 내린 수선의 발을 $H$라 할 때 직각삼각형 $\triangle OHA$의 높이가 됩니다.
빗변은 언제나 선분 $OA$이므로 $d = \overline{OH} \le \overline{OA}$ 가 성립합니다.
따라서 선분 $OA$ 자체가 직선에 수직이 될 때 거리가 최대가 됩니다.
$d_{\text{max}} = \overline{OA} = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \mathbf{\sqrt{13}}$
💡 율초의 실전 팁
점과 직선 사이 거리 공식 $d = \dfrac{|-4k-5|}{\sqrt{(2k+1)^2+(k-1)^2}}$를 세워 미분하려고 하면 수렁에 빠집니다. "정점을 지나는 직선과 외부 한 점 사이의 거리의 최댓값은 무조건 두 점 사이의 선분 길이"라는 기하 직관을 쓰면 5초 만에 풀립니다.
🎯 [자가진단 변형문제 14] (특정 외점과의 거리 극대와 직선 방정식 역추적 킬러)
실수 $m$에 대하여 직선 $y - 3 = m(x - 1)$과 점 $P(4, 7)$ 사이의 거리가 최대가 되도록 하는 $m$의 값을 구하고, 그때의 거리의 최댓값을 구하시오.
변형문제 해설 확인
정답: $m = -\dfrac{3}{4}$, 최댓값 $5$
해설:
직선은 항상 정점 $A(1, 3)$을 지납니다.
점 $P(4, 7)$과의 거리의 최댓값은 선분 $AP$의 길이이므로 $d_{\text{max}} = \sqrt{(4-1)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$.
거리가 최대일 때 직선은 선분 $AP$에 수직이어야 합니다.
선분 $AP$의 기울기는 $\dfrac{7-3}{4-1} = \dfrac{4}{3}$ 이므로, 수직인 직선의 기울기는 $m = -\dfrac{3}{4}$ 입니다.
[문제 15] 코시-슈바르츠 부등식과 점과 직선 사이 거리의 대수·기하 융합 (최종 보스 킬러)
원 $x^2 + y^2 = 1$ 위의 점 $(x, y)$에 대하여, 직선 $3x + 4y = k$가 원과 만날 때 $k$의 최댓값을 구하는 과정을 (1) 점과 직선 사이의 거리 공식과 (2) 코시-슈바르츠 부등식 두 가지 방식으로 비교 증명하시오.
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정답: 최댓값 $5$
[풀이 비교]
[방식 1: 점과 직선 사이의 거리 ($d \le r$)]
원의 중심 $(0, 0)$에서 직선 $3x + 4y - k = 0$까지의 거리 $d$가 반지름 $r=1$ 이하이어야 교점이 존재합니다.
$d = \dfrac{|-k|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \dfrac{|k|}{5} \le 1 \implies |k| \le 5 \implies -5 \le k \le 5$
따라서 $k$의 최댓값은 $\mathbf{5}$ 입니다.
[방식 2: 코시-슈바르츠 부등식]
$(a^2 + b^2)(x^2 + y^2) \ge (ax + by)^2$ 에 $a=3, b=4$를 대입하면:
$(3^2 + 4^2)(x^2 + y^2) \ge (3x + 4y)^2$
$x^2 + y^2 = 1$ 이므로:
$25 \times 1 \ge k^2 \implies k^2 \le 25 \implies -5 \le k \le 5$
두 풀이가 완전히 동일한 $k=5$를 산출함을 확인할 수 있습니다.
💡 율초의 실전 팁
수학에서 "점과 직선 사이의 거리 공식"과 "코시-슈바르츠 부등식"은 완전히 같은 뿌리(벡터의 내적과 코사인)를 가진 쌍둥이 공식입니다. 기하 문제로 풀리지 않을 때는 코시 부등식으로, 대수 부등식이 막힐 때는 점과 직선의 접선 조건으로 치환하는 안목이 수능 1등급의 비밀입니다.
🎯 [자가진단 변형문제 15] (타원형 계수 확장과 거리 최대·최소 킬러)
실수 $x, y$가 $x^2 + y^2 = 4$를 만족할 때, $2x - y + 10$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 하자. $M \times m$의 값을 구하시오.
변형문제 해설 확인
정답: $80$
해설:
코시-슈바르츠 부등식: $(2^2 + (-1)^2)(x^2 + y^2) \ge (2x - y)^2 \implies 5 \times 4 \ge (2x - y)^2 \implies (2x - y)^2 \le 20$.
$-\sqrt{20} \le 2x - y \le \sqrt{20} \implies -2\sqrt{5} \le 2x - y \le 2\sqrt{5}$.
$10$을 더하면 $M = 10 + 2\sqrt{5}$, $m = 10 - 2\sqrt{5}$.
$M \times m = (10 + 2\sqrt{5})(10 - 2\sqrt{5}) = 100 - 20 = 80$.
💌 율초의 한마디
점과 직선 사이의 거리 공식은 좌표평면이라는 도화지 위에서 가장 강력한 **'높이 측정 자(Ruler)'**입니다.
정삼각형의 높이, 사다리꼴의 폭, 삼각형의 신발끈 유도, 각의 이등분선, 그리고 원과 접선의 판별까지 고등 기하의 모든 킬러 문제는 결국 **'어디를 밑변으로 잡고, 어디서 수선을 내릴 것인가'**의 싸움으로 귀결됩니다.
공식에 숫자를 집어넣는 계산 노동에서 벗어나, "수선의 발이 만드는 직각삼각형과 정사영의 아름다움"을 음미해 보세요. 좌표평면 위의 모든 도형이 가장 단순하고 명쾌한 직선의 언어로 말을 걸어올 것입니다.
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