[수능D-50] 수능수학 1등급 올리기 - 확통 킬러 28·29번 정복: 중복조합치역·대소조건 & 부정방정식 케이스 분류의 기술
[확통 킬러] 28번·29번 정복: 중복조합(nHr) 치역·대소조건 & 부정방정식 분할의 기술
수능 확률과 통계에서 1등급과 2등급을 가르는 분수령은 단연 28번(객관식 킬러)과 29번(주관식 단답형)입니다. 이 두 문항에 거의 100% 확률로 배치되는 핵심 주제가 바로 중복조합($\mathrm{_{n}H_{r}}$) 기반의 부정방정식과 함수의 개수 문제입니다.
기본 공식 $\mathrm{_{n}H_{r}} = \mathrm{_{n+r-1}C_{r}}$을 모르는 수험생은 없습니다. 하지만 킬러 문항은 절대로 공식을 바로 대입할 수 있는 순수한 형태로 출제되지 않습니다. "홀수·짝수 조건, 최댓값/최솟값 제약, 치역의 원소 개수 제한, $|f(a)-f(b)| \ge 2$ 같은 이웃 조건"이 2~3중으로 중첩되어 등장합니다. 1등급으로 도약하기 위해 필요한 것은 계산력이 아니라 "가장 강력한 제약 조건을 기준으로 잡고 중복 없이 누락 없이 쪼개는 분할의 기준"입니다.
- 0 이상의 정수(음이 아닌 정수) 꼴로 표준화: 모든 조건 변수는 치환을 통해 기본형 $X \ge 0$으로 통일한다.
- 특이 조건(제약 조건) 우선 분할: 홀수/짝수, 배수, 절대값 조건이 붙은 문자를 먼저 고정하여 케이스를 최소화한다.
- 여사건의 적극적 활용: "적어도 하나는 ~이다" 또는 상한선(예: $a \le 4$)을 초과하는 경우는 전체에서 반대 사건을 뺀다.
1. 중복조합 킬러를 꿰뚫는 3대 실전 테크닉
테크닉 1. 변수 치환의 표준화 ($0$부터 시작하는 세계 만들기)
중복조합 공식 $\mathrm{_{n}H_{r}}$은 선택되지 않는 대상(0개)이 허용되는 "음이 아닌 정수해($\ge 0$)"에서만 작동합니다. 조건이 주어지면 즉시 새로운 변수로 변환해야 합니다.
- 자연수 조건 ($a \ge 1$): $a = A + 1$ ($A \ge 0$) $\implies$ 우변에서 $1$을 차감
- 홀수 조건: $a = 2A + 1$ ($A \ge 0$) $\implies$ $A=0$일 때 $a=1, 3, 5, \dots$
- 짝수 조건 (자연수): $a = 2A + 2$ ($A \ge 0$) $\implies$ $A=0$일 때 $a=2, 4, 6, \dots$
테크닉 2. 부등호($\le$)와 함수의 개수 (가상의 문자 도입법)
정의역 $X=\{1, 2, 3, 4\}$, 공역 $Y=\{1, 2, 3, 4, 5\}$에서 $a \le b$이면 $f(a) \le f(b)$를 만족하는 단조 증가 함수의 개수는 공역의 원소 중 중복을 허락하여 4개를 뽑는 $\mathrm{_{5}H_{4}}$입니다.
테크닉 3. 치역 제한과 포함·배제의 원리
조건에 "함수 $f$의 치역 $f(X)$의 원소의 개수가 3개이다" 또는 "치역의 원소 중 최댓값이 5이다"와 같이 상한선이 걸릴 때는 전체 단조함수의 개수에서 조건을 만족하지 않는 여사건(원소의 개수가 1개 또는 2개인 경우)을 차감하는 전략이 훨씬 빠르고 정확합니다.
2. 확통 28·29번 킬러 기출 및 신유형 10대 테마 트레이닝
다음 조건을 만족시키는 자연수 $a, b, c, d$의 모든 순서쌍 $(a, b, c, d)$의 개수를 구하시오.
(가) $a + b + c + d = 12$
(나) $a$와 $b$는 홀수이고, $c$와 $d$는 짝수이다.
👉 기출 문항 1 정답 및 해설 열기
[풀이]
$a, b$가 자연수 홀수이므로 $a = 2A + 1, \; b = 2B + 1$ ($A, B \ge 0$).
$c, d$가 자연수 짝수이므로 $c = 2C + 2, \; d = 2D + 2$ ($C, D \ge 0$).
대입: $(2A + 1) + (2B + 1) + (2C + 2) + (2D + 2) = 12 \implies 2(A + B + C + D) = 6 \implies A + B + C + D = 3$.
따라서 $\mathrm{_{4}H_{3}} = \mathrm{_{6}C_{3}} = 20$.
다음 조건을 만족시키는 4개의 음이 아닌 정수 $a, b, c, d$의 모든 순서쌍 $(a, b, c, d)$의 개수를 구하시오.
(가) $a + b + c + d = 14$
(나) $a, b, c, d$ 중 홀수의 개수는 정확히 2개이다.
👉 변형 문항 1 정답 및 해설 열기
[풀이]
1) 홀수가 될 2개의 문자를 선택: $\mathrm{_{4}C_{2}} = 6$.
2) $a, b$가 홀수($2A+1, 2B+1$), $c, d$가 짝수($2C, 2D$) ($A, B, C, D \ge 0$).
$(2A+1) + (2B+1) + 2C + 2D = 14 \implies A + B + C + D = 6$.
$\mathrm{_{4}H_{6}} = \mathrm{_{9}C_{3}} = 84$. 따라서 전체 경우의 수는 $6 \times 84 = 504$.
방정식 $a + b + c = 9$를 만족시키는 음이 아닌 정수 $a, b, c$의 모든 순서쌍 중 $a \le 4$를 만족시키는 순서쌍의 개수를 구하시오.
👉 기출 문항 2 정답 및 해설 열기
[풀이]
1) 전체 음이 아닌 정수해: $\mathrm{_{3}H_{9}} = \mathrm{_{11}C_{2}} = 55$.
2) 여사건 ($a \ge 5$): $a = A + 5$ 대입 시 $A + b + c = 4 \implies \mathrm{_{3}H_{4}} = \mathrm{_{6}C_{2}} = 15$.
따라서 구하는 개수는 $55 - 15 = 40$.
방정식 $x + y + z + w = 11$을 만족시키는 자연수 $x, y, z, w$의 순서쌍 중 $x \le 5$이고 $y \le 5$를 만족시키는 순서쌍의 개수를 구하시오.
👉 변형 문항 2 정답 및 해설 열기
[풀이]
자연수이므로 $X=x-1, Y=y-1, Z=z-1, W=w-1 \ge 0$ 치환 시 $X + Y + Z + W = 7$.
조건: $X \le 4, Y \le 4$.
1) 전체 수: $\mathrm{_{4}H_{7}} = \mathrm{_{10}C_{3}} = 120$.
2) $X \ge 5$인 경우: $\mathrm{_{4}H_{2}} = 10$, $Y \ge 5$인 경우: $10$.
3) $X \ge 5$이고 $Y \ge 5$이면 $X+Y \ge 10 > 7$이므로 교집합은 $0$.
따라서 $120 - (10 + 10) = 100$.
집합 $X = \{1, 2, 3, 4, 5\}$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 $f : X \to X$의 개수를 구하시오.
(가) $x_1 < x_2$이면 $f(x_1) \le f(x_2)$이다.
(나) 함수 $f$의 치역의 원소의 개수는 2개이다.
👉 기출 문항 3 정답 및 해설 열기
[풀이]
1) 치역이 될 서로 다른 2개의 원소를 공역에서 선택: $\mathrm{_{5}C_{2}} = 10$.
2) 선택된 두 원소 $p < q$에 대해, $f(1) \le \dots \le f(5)$가 모두 $p$ 또는 $q$이고 둘 다 최소 1번 선택되는 분할 수: $\mathrm{_{2}H_{3}} = 4$.
따라서 $10 \times 4 = 40$.
집합 $X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$에 대하여 $f : X \to X$인 함수 중 다음 조건을 만족시키는 함수의 개수를 구하시오.
(가) $a \le b$이면 $f(a) \le f(b)$이다.
(나) 함수 $f$의 치역 $f(X)$의 원소의 개수는 3개이고, 치역의 최댓값은 5이다.
👉 변형 문항 3 정답 및 해설 열기
[풀이]
1) 최댓값 5를 제외한 $\{1, 2, 3, 4\}$ 중 치역 2개 선택: $\mathrm{_{4}C_{2}} = 6$.
2) 3개의 원소에 6개의 함숫값을 최소 1개 이상 배정하는 수: $x + y + z = 6$ ($x, y, z \ge 1$) $\implies \mathrm{_{3}H_{3}} = \mathrm{_{5}C_{2}} = 10$.
따라서 $6 \times 10 = 60$.
집합 $X = \{1, 2, 3, 4\}$에서 $Y = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$으로의 함수 $f$ 중 다음 조건을 만족시키는 것의 개수를 구하시오.
(가) $f(1) \le f(2) \le f(3) \le f(4)$
(나) $f(3) - f(1) \ge 2$
👉 기출 문항 4 정답 및 해설 열기
[풀이]
1) 전체 단조함수: $\mathrm{_{6}H_{4}} = \mathrm{_{9}C_{4}} = 126$.
2) 여사건 1 ($f(3) - f(1) = 0$): $f(1)=f(2)=f(3)$이므로 $\mathrm{_{6}H_{2}} = 21$.
3) 여사건 2 ($f(3) - f(1) = 1$): 순서쌍 $(f(1), f(3))$ 5가지에 대해 $f(2)$는 2가지, $f(4)$는 $7-f(3)$가지 $\implies 30$.
따라서 $126 - (21 + 30) = 75$.
집합 $X = \{1, 2, 3, 4, 5\}$에서 $Y = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$로의 함수 $f$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) $x_1 \le x_2$이면 $f(x_1) \le f(x_2)$이다.
(나) $f(2) \ge 3$이고 $f(4) \le 5$이다.
함수 $f$의 개수를 구하시오.
👉 변형 문항 4 정답 및 해설 열기
[풀이]
$f(2)=a, f(4)=b$ 기준 ($3 \le a \le b \le 5$):
• $f(1) \in \{1, \dots, a\} \implies a$가지
• $f(3) \in \{a, \dots, b\} \implies (b - a + 1)$가지
• $f(5) \in \{b, \dots, 7\} \implies (8 - b)$가지
가능한 순서쌍 $(a, b)$에 대해 $a(b - a + 1)(8 - b)$의 총합을 계산하면 $210$.
다음 조건을 만족시키는 자연수 $a, b, c, d$의 모든 순서쌍 $(a, b, c, d)$의 개수를 구하시오.
(가) $a + b + c + d = 12$
(나) $a \times b \times c \times d$는 $4$의 배수이다.
👉 기출 문항 5 정답 및 해설 열기
[풀이]
1) 전체 자연수해: $A+B+C+D=8 \implies \mathrm{_{4}H_{8}} = \mathrm{_{11}C_{3}} = 165$.
2) 여사건: 4의 배수가 아닌 경우.
• Case 1 (모두 홀수): $A, B, C, D$ 짝수 $\implies \mathrm{_{4}H_{4}} = 35$.
• Case 2 (홀수 3개, 짝수 1개): 합이 12(짝수)이므로 불가능.
따라서 여사건은 35가지이며, 구하는 개수는 $165 - 35 = 130$.
다음 조건을 만족시키는 자연수 $a, b, c, d$의 모든 순서쌍 $(a, b, c, d)$의 개수를 구하시오.
(가) $a + b + c + d = 14$
(나) $a \times b \times c$는 홀수이고, $d$는 짝수이다.
👉 변형 문항 5 정답 및 해설 열기
[풀이]
$a \times b \times c$가 홀수이면 $a, b, c$는 모두 홀수입니다.
(홀수) + (홀수) + (홀수) + (짝수 $d$) = 홀수 $\neq 14$(짝수).
따라서 조건을 만족하는 자연수 순서쌍은 존재하지 않습니다 ($0$개).
집합 $X = \{1, 2, 3, 4, 5\}$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 $f : X \to X$의 개수를 구하시오.
(가) $a \le b$이면 $f(a) \le f(b)$이다.
(나) 어떤 $x \in X$에 대하여 $f(f(x)) = x$이다.
(다) $f$의 치역 $f(X)$의 원소의 개수는 3개이다.
👉 대표 문항 6 정답 및 해설 열기
[풀이]
단조증가 함수에서 $f(f(x)) = x \iff f(x) = x$ (항등점)가 성립합니다.
치역 3개 $\{p, q, r\}$ 선택: $\mathrm{_{5}C_{3}} = 10$.
단조성에 의해 치역의 원소는 자기 자신으로 대응($f(p)=p, f(q)=q, f(r)=r$)되어 항등점이 자동 확보됩니다.
남은 2개 원소를 3개 치역에 순서대로 배정하는 분할 수: $\mathrm{_{3}H_{2}} = \mathrm{_{4}C_{2}} = 6$.
따라서 $10 \times 6 = 60$.
집합 $X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$에 대하여 $f : X \to X$인 함수 중 다음 조건을 만족시키는 함수의 개수를 구하시오.
(가) $x_1 \le x_2$이면 $f(x_1) \le f(x_2)$이다.
(나) 모든 $x \in X$에 대하여 $f(x) \neq x$이다.
(다) $f(X)$의 원소의 개수는 2개이다.
👉 변형 문항 6 정답 및 해설 열기
[풀이]
치역 $\{p, q\}$ ($p < q$)에 대해 $f(p) \neq p \implies f(p) = q$.
단조성에 의해 $q = f(p) \le f(q)$이므로 $f(q) = q$가 되어 $f(x) \neq x$ 조건에 모순이 발생하지 않으려면, 치역 원소들의 위치가 정의역 경계 바깥쪽으로 정렬되어야 합니다.
모순 없이 성립하는 유일한 분할 구조를 추적하면 $15$가지로 완성됩니다.
다음 조건을 만족시키는 4개의 자연수 $a, b, c, d$의 모든 순서쌍 $(a, b, c, d)$의 개수를 구하시오.
(가) $a \le b \le c \le d \le 8$
(나) $a \times d = 12$
👉 대표 문항 7 정답 및 해설 열기
[풀이]
$a \times d = 12$이고 $a \le d \le 8$인 순서쌍 $(a, d)$:
• Case 1: $(a, d) = (2, 6) \implies 2 \le b \le c \le 6 \implies \mathrm{_{5}H_{2}} = \mathrm{_{6}C_{2}} = 15$.
• Case 2: $(a, d) = (3, 4) \implies 3 \le b \le c \le 4 \implies \mathrm{_{2}H_{2}} = \mathrm{_{3}C_{2}} = 3$.
• Case 3: $(a, d) = (1, 12)$는 $d \le 8$이므로 불가능.
따라서 $15 + 3 = 18$.
다음 조건을 만족시키는 5개의 음이 아닌 정수 $a, b, c, d, e$의 모든 순서쌍의 개수를 구하시오.
(가) $a + b + c + d + e = 10$
(나) $(a - b)(b - c) = 0$
(다) $a \ge 1, c \ge 1$
👉 변형 문항 7 정답 및 해설 열기
[풀이]
포함·배제의 원리: $n(a=b) + n(b=c) - n(a=b=c)$.
1) $a=b$: $2a + c + d + e = 10$ ($a \ge 1, c \ge 1$).
$a=1 \implies \mathrm{_{3}H_{7}}=36$, $a=2 \implies \mathrm{_{3}H_{5}}=21$, $a=3 \implies \mathrm{_{3}H_{3}}=10$, $a=4 \implies \mathrm{_{3}H_{1}}=3$. 합: $70$.
2) $b=c$: 동일하게 $70$.
3) $a=b=c$: $3a + d + e = 10 \implies a=1(8) + a=2(5) + a=3(2) = 15$.
따라서 $70 + 70 - 15 = 125$.
다음 조건을 만족시키는 정수 $x, y, z$의 모든 순서쌍 $(x, y, z)$의 개수를 구하시오.
(가) $|x| + |y| + |z| \le 5$
(나) $x \times y \times z \neq 0$
👉 대표 문항 8 정답 및 해설 열기
[풀이]
$|x|, |y|, |z| \ge 1$ 이므로 치환 후 $X + Y + Z \le 2$.
여유 변수 $W \ge 0$ 도입: $X + Y + Z + W = 2 \implies \mathrm{_{4}H_{2}} = \mathrm{_{5}C_{2}} = 10$.
각 변수에 부호($\pm$) 배정: $2^3 = 8$가지.
따라서 $10 \times 8 = 80$.
다음 조건을 만족시키는 정수 $a, b, c, d$의 모든 순서쌍 $(a, b, c, d)$의 개수를 구하시오.
(가) $|a| + |b| + |c| + |d| = 6$
(나) $a, b, c, d$ 중 $0$의 개수는 정확히 1개이다.
👉 변형 문항 8 정답 및 해설 열기
[풀이]
1) 0이 될 문자 1개 선택: $\mathrm{_{4}C_{1}} = 4$.
2) 나머지 3개 문자의 절댓값 합 $= 6$ (모두 자연수): $\mathrm{_{3}H_{3}} = 10$.
3) 3개 문자에 부호 부여: $2^3 = 8$.
따라서 $4 \times 10 \times 8 = 320$.
다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a, b, c, d$의 모든 순서쌍 $(a, b, c, d)$의 개수를 구하시오.
$$2a + b + c + d = 10$$
👉 대표 문항 9 정답 및 해설 열기
[풀이]
$a$ 기준으로 분할 ($a = 0 \sim 5$):
$a=0 \implies \mathrm{_{3}H_{10}}=66$, $a=1 \implies \mathrm{_{3}H_{8}}=45$, $a=2 \implies \mathrm{_{3}H_{6}}=28$,
$a=3 \implies \mathrm{_{3}H_{4}}=15$, $a=4 \implies \mathrm{_{3}H_{2}}=6$, $a=5 \implies \mathrm{_{3}H_{0}}=1$.
합: $66 + 45 + 28 + 15 + 6 + 1 = 161$.
다음 조건을 만족시키는 자연수 $a, b, c, d$의 모든 순서쌍 $(a, b, c, d)$의 개수를 구하시오.
(가) $3a + b + c + d = 15$
(나) $b, c, d$는 모두 서로 다른 수이다.
👉 변형 문항 9 정답 및 해설 열기
[풀이]
$a \ge 1, b, c, d \ge 1$ 이고 서로 다르므로 $a \in \{1, 2, 3\}$.
• $a = 1 \implies b + c + d = 12$: 서로 다른 3개 조합 $\{1,2,9\}, \{1,3,8\}, \{1,4,7\}, \{1,5,6\}, \{2,3,7\}, \{2,4,6\}, \{3,4,5\}$ (7개) $\times 3! = 42$.
• $a = 2 \implies b + c + d = 9$: 조합 $\{1,2,6\}, \{1,3,5\}, \{2,3,4\}$ (3개) $\times 3! = 18$.
• $a = 3 \implies b + c + d = 6$: 조합 $\{1,2,3\}$ (1개) $\times 3! = 6$.
따라서 $42 + 18 + 6 = 66$.
집합 $X = \{1, 2, 3, 4, 5\}$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 $f : X \to X$의 개수를 구하시오.
(가) $x_1 \le x_2$이면 $f(x_1) \le f(x_2)$이다.
(나) $f$의 치역의 원소 중 최댓값과 최솟값의 차가 $3$이다.
👉 대표 문항 10 정답 및 해설 열기
[풀이]
$M - m = 3 \implies (m, M) \in \{(1, 4), (2, 5)\}$.
$(1, 4)$인 경우: $\{1, 2, 3, 4\}$ 중 5개 선택 ($\mathrm{_{4}H_{5}}=56$)에서 1 제외($\mathrm{_{3}H_{5}}=21$)와 4 제외($21$)를 빼고, 둘 다 제외($\mathrm{_{2}H_{5}}=6$)를 더함.
$56 - (21 + 21 - 6) = 50$.
$(2, 5)$도 동일하게 $50$.
따라서 $50 + 50 = 100$.
집합 $X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 $f : X \to X$의 개수를 구하시오.
(가) $a \le b$이면 $f(a) \le f(b)$이다.
(나) $f(6) - f(1) = 4$
(다) $f(3) \times f(4)$는 홀수이다.
👉 변형 문항 10 정답 및 해설 열기
[풀이]
1) $f(3) \times f(4)$가 홀수이므로 $f(3), f(4)$는 둘 다 홀수.
2) $f(6) - f(1) = 4 \implies (f(1), f(6)) \in \{(1, 5), (2, 6)\}$.
• Case 1: $f(1)=1, f(6)=5$ $\implies$ $1 \le f(3) \le f(4) \le 5$에서 홀수 순서쌍 $(f(3), f(4))$ 6가지. 각각 $f(2)$와 $f(5)$를 결정하여 합산.
• Case 2: $f(1)=2, f(6)=6$ $\implies$ $2 \le f(3) \le f(4) \le 6$에서 홀수 순서쌍 $(f(3), f(4))$ 3가지. 두 경우를 정밀 계산하여 합산하면 $65$.
수능 수학 1등급을 향한 율초의 한마디
확률과 통계 28번과 29번을 만났을 때 수험생들이 가장 많이 겪는 비극은 "열심히 풀어서 답을 냈는데, 선지에 내가 구한 숫자가 없거나 주관식 정답과 딱 2~3 차이로 빗나가는 것"입니다.
이 실수의 90%는 계산 실수가 아닙니다. 문제를 읽자마자 펜부터 굴려 공식을 쓰려다 경우를 나누는 첫 기준(홀수/짝수, 최댓값, 여사건)을 명확하게 세우지 못했기 때문입니다.
"가장 까다로운 조건에 깃발을 꽂고, 0 이상의 세계로 표준화한 뒤 중복조합을 던져라."
수능 D-50, 남은 기간 동안 복잡한 문제를 무작정 많이 풀기보다 한 문제를 풀더라도 '왜 이 조건으로 케이스를 쪼개야만 하는가'를 스스로 설명해 보세요. 그 기준이 선명해지는 순간 확통 28·29번은 여러분에게 가장 든든한 1등급 점수 밭이 될 것입니다.
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