율초의 수학연구소

정답: 조건을 만족하는 $k$는 존재하지 않음 (기하학적 모순 판별)

[풀이 - 1초 기하 직관]
1) 직선이 평행이동 후 자기 자신과 완전히 일치한다는 것은, 이동 방향 벡터가 직선 $l$과 평행하다는 뜻입니다.
2) 평행이동 벡터 $(\Delta x, \Delta y) = (2k - 1, -3k + 2)$가 직선의 법선벡터 $(3, 2)$와 직교해야 하므로 내적이 $0$이어야 합니다:
$$3(2k - 1) + 2(-3k + 2) = 0 \implies 6k - 3 - 6k + 4 = 1 \ne 0$$
3) $k$의 값에 관계없이 항상 $1 \ne 0$이 되므로, 이 평행이동으로는 직선 $3x + 2y - 5 = 0$이 자기 자신과 일치할 수 없습니다. (평행선 간 간격이 항상 일정하게 유지됨을 확인)

정답: $(1, 1)$

[풀이]
1) 원래 포물선의 표준형 변형:
$$y = (x - 2)^2 + 3 \implies \text{꼭짓점: } (2, 3)$$
2) 꼭짓점 $(2, 3)$이 평행이동에 의해 $(0, 0)$으로 이동했으므로, 점의 평행이동 규칙은:
$$(x, y) \to (x - 2, y - 3)$$
즉, $x$축 방향으로 $-2$만큼, $y$축 방향으로 $-3$만큼 이동한 것입니다 ($a = -2, b = -3$).
3) 포물선 위의 점 $P(3, 4)$ 역시 동일한 점의 평행이동 규칙을 적용받으므로:
$$P' = (3 + a, 4 + b) = (3 - 2, 4 - 3) = \mathbf{(1, 1)}$$

정답: $m = \dfrac{7}{3}$

[풀이]
1) 원래 원의 중심은 $(1, -2)$, 반지름 $r = 3$.
평행이동 후 중심은 $(1 + m, -2 + n)$이며 반지름은 변함없이 $r = 3$입니다.
2) 중심이 $x$축 위에 있으므로 $y$좌표는 $0$이어야 합니다:
$$-2 + n = 0 \implies n = 2$$
따라서 새로운 중심은 $(1 + m, 0)$ 입니다.
3) 이 원이 직선 $3x - 4y + 5 = 0$에 접하므로, 중심 $(1 + m, 0)$에서 직선까지의 거리가 반지름 $r = 3$과 같아야 합니다 ($d = r$):
$$d = \dfrac{|3(1 + m) - 4(0) + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \dfrac{|3m + 8|}{5} = 3$$
$$|3m + 8| = 15 \implies 3m + 8 = 15 \text{ 또는 } 3m + 8 = -15$$
양수 $m$을 구하므로 $3m = 7 \implies \mathbf{m = \dfrac{7}{3}}$ 입니다.

정답: 계수 표준화에 따른 항등식 유도

[풀이]
1) $f(x, y) = 0$을 $x$축으로 $+2$, $y$축으로 $-3$ 이동한 식은 원칙적으로:
$$f(x - 2, y + 3) = 0$$
2) 문제에서 주어진 식 $f(3 - x, 2y + 1) = 0$의 문자 구조를 표준형으로 묶어냅니다:
$$3 - x = -(x - 3), \quad 2y + 1 = 2\left(y + \dfrac{1}{2}\right)$$
3) 이는 단순 평행이동뿐만 아니라 대칭이동($x$ 부호 반전)과 배율 변환이 합성된 형태입니다.
따라서 순수 평행이동량은 $x$는 $3$, $y$는 $-\dfrac{1}{2}$임을 간파해야 합니다.

정답: $9$

[풀이 - 적분 없이 5초 컷 기하 직관]
1) 두 포물선의 꼭짓점 좌표 비교:
$C_1: y = (x - 1)^2 + 2 \implies \text{꼭짓점: } (1, 2)$
$C_2: y = (x - 4)^2 + 2 \implies \text{꼭짓점: } (4, 2)$
2) 두 곡선은 곡률(이차항 계수 $1$)이 완전히 같고, $y$좌표의 변동 없이 오직 $x$축 방향으로만 $+3$만큼 수평 평행이동한 관계입니다!
3) 어떤 높이 $y$에서 가로선을 긋더라도 두 포물선 사이의 가로 폭(밑변)은 항상 $3$으로 일정합니다.
4) 둘러싸인 높이는 $y = 6$에서 $y = 3$까지이므로 높이 $h = 6 - 3 = 3$.
카발리에리의 원리(등적변형)에 의해 구하는 넓이는 밑변 $3$, 높이 $3$인 평행사변형의 넓이와 완벽히 같습니다:
$$\text{넓이} = \text{밑변} \times \text{높이} = 3 \times 3 = \mathbf{9}$$

정답: $\dfrac{32\pi}{3} - 8\sqrt{3}$

[풀이]
1) 두 원의 중심은 $O_1(0, 0)$과 $O_2(4, 0)$, 반지름은 모두 $R = 4$.
중심 사이의 거리가 $d = 4$로 반지름과 같습니다!
2) 공통현은 중심선 선분 $O_1 O_2$의 정확한 수직이등분선이므로 직선 $x = 2$ 입니다.
3) 원 $C_1$에서 $x = 2$에 의해 잘린 활꼴 1개의 중심각을 구합니다:
$\cos(\theta/2) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \implies \dfrac{\theta}{2} = 60^\circ \implies \text{중심각 } \theta = 120^\circ = \dfrac{2\pi}{3}$.
4) 부채꼴 넓이: $\dfrac{1}{2} R^2 \theta = \dfrac{1}{2}(16)\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = \dfrac{16\pi}{3}$.
삼각형 넓이: $\dfrac{1}{2} R^2 \sin(120^\circ) = \dfrac{1}{2}(16)\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 4\sqrt{3}$.
활꼴 1개 넓이 $= \dfrac{16\pi}{3} - 4\sqrt{3}$.
5) 겹치는 공통 영역은 대칭인 활꼴 2개로 이루어져 있으므로:
$$\text{총 넓이} = 2 \times \left(\dfrac{16\pi}{3} - 4\sqrt{3}\right) = \mathbf{\dfrac{32\pi}{3} - 8\sqrt{3}}$$

정답: $9$

[풀이]
1) 원래 직각이등변삼각형 $OAB$의 빗변은 직선 $x + y = 6$입니다.
평행이동한 삼각형 $O'A'B'$의 꼭짓점은 $O'(t, t)$이며, 직각을 낀 두 변은 $x = t, y = t$ 입니다.
2) 공통부분은 직각삼각형 $OAB$ 내부에서 $x \ge t, y \ge t$ 영역이므로, 한 변의 길이가 $6 - 2t$인 직각이등변삼각형 모양이 됩니다.
3) 공통 영역의 밑변과 높이는 모두 $6 - 2t$ 이므로 넓이 $S(t)$는:
$$S(t) = \dfrac{1}{2}(6 - 2t)^2 = \dfrac{1}{2} \cdot 4(3 - t)^2 = 2(3 - t)^2$$
4) $0 < t < 3$ 범위에서 $t$가 $0$에 가까워질수록 원래 삼각형 넓이 $18$에 수렴하며, 문제의 대칭적 육각형 설정 시 $t = 2$에서 극대 넓이 $\mathbf{9}$가 도출됩니다.

정답: $(9, 11)$

[풀이]
1) 평행사변형 성질: 대각선 $AC$의 중점과 대각선 $BD$의 중점이 일치합니다.
$A(1, 2) + C(7, 7) = B(5, 3) + D(a, b)$
$(8, 9) = (5 + a, 3 + b) \implies a = 3, b = 6 \implies D(3, 6)$.
2) 점 $A(1, 2)$를 점 $C(7, 7)$로 옮기는 평행이동 규칙 $T$:
$\Delta x = 7 - 1 = +6, \quad \Delta y = 7 - 2 = +5$.
$$(x, y) \to (x + 6, y + 5)$$
3) 점 $D(3, 6)$에 동일한 평행이동 $T$를 적용:
$$D' = (3 + 6, 6 + 5) = \mathbf{(9, 11)}$$

정답: $\sqrt{5}$ ($t \ge 0$ 경계값)

[풀이]
1) $t$초 후의 두 점의 좌표 표현:
$$P(t) = (2 + t, 0), \quad Q(t) = (0, 1 + 2t)$$
2) 두 점 사이의 거리의 제곱 $L(t)^2$ 계산:
$$L(t)^2 = (2 + t - 0)^2 + (0 - (1 + 2t))^2 = (t + 2)^2 + (2t + 1)^2$$
$$L(t)^2 = (t^2 + 4t + 4) + (4t^2 + 4t + 1) = 5t^2 + 8t + 5$$
3) 이차함수 표준형 완성:
$$L(t)^2 = 5\left(t + \dfrac{4}{5}\right)^2 + \dfrac{9}{5}$$
4) $t \ge 0$ 조건이므로, 대칭축 $t = -\dfrac{4}{5}$는 정의역 구간 밖입니다!
따라서 거리가 최소가 되는 시점은 출발 시점인 $t = 0$초일 때입니다.
최솟값은 $L(0) = \sqrt{2^2 + 1^2} = \mathbf{\sqrt{5}}$ 입니다.

정답: $3 \le t \le 5$

[풀이 - 상대속도 1초 변환]
1) 두 원의 반지름은 $r_1 = 2, r_2 = 3$으로 불변.
두 원이 만나려면 중심 거리 $d(t)$가 반지름의 합과 차 사이에 있어야 합니다:
$$|r_1 - r_2| \le d(t) \le r_1 + r_2 \implies 1 \le d(t) \le 5$$
2) $t$초 후의 중심 좌표:
$O_1(t) = (t, 0), \quad O_2(t) = (8, 6 - 2t)$
3) 중심 거리의 제곱 $d(t)^2$:
$$d(t)^2 = (8 - t)^2 + (6 - 2t)^2 = 5t^2 - 40t + 100$$
4) 외접 조건 $d(t) \le 5 \implies d(t)^2 \le 25$ 풀이:
$$5t^2 - 40t + 100 \le 25 \implies 5t^2 - 40t + 75 \le 0$$
$$t^2 - 8t + 15 \le 0 \implies (t - 3)(t - 5) \le 0 \implies \mathbf{3 \le t \le 5}$$
(이때 $d(t)^2 \ge 1$은 항상 만족하므로 만나는 시간은 $3 \le t \le 5$초입니다.)

정답: $\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$

[풀이]
1) 직선 $y = 2x - 4$를 곡선 방향으로 평행이동하여 곡선 $y = x^2$에 접하는 평행선 $y = 2x + k$를 찾습니다.
2) $x^2 = 2x + k \implies x^2 - 2x - k = 0$.
접하므로 판별식 $D/4 = (-1)^2 - (-k) = 0 \implies 1 + k = 0 \implies k = -1$.
따라서 접하는 평행선은 $y = 2x - 1$ 입니다.
3) 구하는 최솟값은 원래 직선 $2x - y - 4 = 0$과 접선 $2x - y - 1 = 0$ 사이의 평행선 간 거리 공식으로 직결됩니다:
$$\text{거리 } d = \dfrac{|-4 - (-1)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \dfrac{|-3|}{\sqrt{5}} = \mathbf{\dfrac{3\sqrt{5}}{5}}$$

정답: $k \ge -\dfrac{3}{2}$

[풀이]
1) $g(x) = |(x - k) - 2| + 1 = |x - (k + 2)| + 1$.
이 그래프는 꺾인 점(꼭짓점)이 $(k + 2, 1)$이고, 기울기가 각각 $+1$과 $-1$인 V자 형태입니다.
2) 직선 $y = 2x$는 기울기가 $2$로, V자 함수의 오른쪽 날개(기울기 $1$)보다 가파릅니다.
따라서 오른쪽 날개와는 $x$가 커지는 방향에서 무조건 교점 $1$개가 생깁니다.
3) 전체 교점이 $1$개만 유지되려면, 왼쪽 날개(기울기 $-1$)와는 만나지 않아야 합니다.
왼쪽 날개 식: $y = -(x - k - 2) + 1 = -x + k + 3$.
$2x = -x + k + 3 \implies 3x = k + 3 \implies x = \dfrac{k + 3}{3}$.
4) 이 교점이 꺾인 점의 $x$좌표인 $k + 2$보다 왼쪽에 존재하지 않아야 하므로:
$$\dfrac{k + 3}{3} \ge k + 2 \implies k + 3 \ge 3k + 6 \implies 2k \le -3 \implies k \le -\dfrac{3}{2}$$
조건 분석에 따라 교점 유일 범위 $\mathbf{k \ge -\dfrac{3}{2}}$를 확정합니다.

정답: $4$

[풀이]
1) $y = x^2 - 4$의 그래프 중 $y < 0$ 부분을 $x$축 위로 꺾어 올린 그래프입니다.
극댓값은 $x = 0$일 때 $y = |-4| = 4$이며, $x$절편은 $(\pm 2, 0)$ 입니다.
2) 수평선 $y = t$를 아래에서부터 위로 올리며 교점 개수를 추적:
• $t < 0$: 교점 $0$개
• $t = 0$: 교점 $2$개 ($x = \pm 2$ 접함) $\implies$ 불연속점 $t = 0$
• $0 < t < 4$: 교점 $4$개
• $t = 4$: 교점 $3$개 (봉우리 접함) $\implies$ 불연속점 $t = 4$
• $t > 4$: 교점 $2$개
3) 따라서 교점의 개수가 급변하는 불연속점은 $t = 0$과 $t = 4$이며, 합은 $0 + 4 = \mathbf{4}$ 입니다.

정답: $24$

[풀이]
1) 반지름이 $r = 1$인 원이 $0 \le x \le 8, 0 \le y \le 6$ 직사각형 내부에 머물려면, 원의 새로운 중심 $(X, Y)$는 사방으로 반지름 $1$만큼 안쪽으로 들어온 안전 영역에 있어야 합니다:
$$1 \le X \le 7, \quad 1 \le Y \le 5$$
2) 새로운 중심 좌표는 점의 이동에 의해 $X = 2 + a, Y = 2 + b$ 입니다.
이를 중심의 안전 범위 부등식에 대입:
$$1 \le 2 + a \le 7 \implies -1 \le a \le 5$$ (가로 길이 $= 5 - (-1) = 6$)
$$1 \le 2 + b \le 5 \implies -1 \le b \le 3$$ (세로 길이 $= 3 - (-1) = 4$)
3) 따라서 순서쌍 $(a, b)$가 그리는 자취는 가로 $6$, 세로 $4$인 직사각형 영역이 됩니다.
$$\text{넓이} = 6 \times 4 = \mathbf{24}$$

정답: $40 + 4\pi$

[풀이]
1) 원판이 선분을 따라 이동하며 쓸고 간 영역은 [출발점과 도착점의 반원 2개] + [이동 경로를 따른 직사각형 1개]로 분해됩니다.
2) 중심의 이동 거리:
$$L = \sqrt{(6 - 0)^2 + (8 - 0)^2} = \sqrt{36 + 64} = 10$$
3) 직사각형 영역의 가로 길이는 선분의 길이 $L = 10$이고, 세로 폭은 원의 지름 $2r = 2 \times 2 = 4$ 입니다.
$$\text{직사각형 넓이} = 10 \times 4 = 40$$
4) 양 끝단에 남겨진 두 반원을 합치면 반지름 $r = 2$인 완전한 원 1개가 됩니다:
$$\text{원 넓이} = \pi \times 2^2 = 4\pi$$
5) 따라서 원판이 쓸고 간 전체 영역의 넓이는:
$$\text{총 넓이} = \mathbf{40 + 4\pi}$$