율초의 수학연구소

정답: $f(-y + 1, x - 2) = 0$

[풀이 - 단계별 문자 치환 추적]
1단계 ($y = x$ 대칭): 식의 문자 $x$와 $y$의 이름을 서로 맞바꿉니다.
$$f(x, y) = 0 \longrightarrow f(y, x) = 0$$
2단계 ($x$축으로 $+2$, $y$축으로 $-1$ 평행이동): 현재 식에 보이는 문자 $x$ 자리에 $(x - 2)$를, 문자 $y$ 자리에 $(y + 1)$을 그대로 대입합니다.
$$f(y, x) = 0 \longrightarrow f(y + 1, x - 2) = 0$$
3단계 ($x$축 대칭): 현재 식에 보이는 문자 $y$ 자리에 $-y$를 대입합니다.
$$f(y + 1, x - 2) = 0 \longrightarrow f(-y + 1, x - 2) = 0$$
따라서 구하는 식은 $\mathbf{f(-y + 1, x - 2) = 0}$ 입니다.

정답: $y = (2\sqrt{5} - 4)x$

[풀이]
1) $C_1$ 표준형: $y = (x - 2)^2 + 1 \implies \text{꼭짓점: } (2, 1)$, 아래로 볼록.
2) 원점 대칭이동을 적용한 $C_2$: 꼭짓점은 $(-2, -1)$이고 위로 볼록($x^2$ 계수 $-1$):
$$-y = (-x)^2 - 4(-x) + 5 \implies -y = x^2 + 4x + 5 \implies y = -x^2 - 4x - 5$$
3) 공통접선을 $y = mx + n$ ($m > 0$)이라 두고 $C_1$과 $C_2$에 각각 판별식 $D = 0$을 적용합니다:
• $x^2 - (4 + m)x + (5 - n) = 0 \implies D_1 = (m + 4)^2 - 4(5 - n) = 0$
• $-x^2 - (4 + m)x - (5 + n) = 0 \implies x^2 + (m + 4)x + (n + 5) = 0 \implies D_2 = (m + 4)^2 - 4(n + 5) = 0$
4) $D_1 = D_2$에서 $4(5 - n) = 4(n + 5) \implies 5 - n = n + 5 \implies n = 0$. (접선이 원점을 지남!)
5) $n = 0$을 $D_1$에 대입: $(m + 4)^2 - 20 = 0 \implies m + 4 = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \implies m = 2\sqrt{5} - 4$.
따라서 공통접선은 $\mathbf{y = (2\sqrt{5} - 4)x}$ 입니다.

정답: $a = 2$

[풀이]
1) 원래 원의 중심은 $(a, 3)$, 반지름은 $r = 2$.
2) 직선 $y = -x$ 대칭이동 공식: $(x, y) \to (-y, -x)$.
새로운 중심 $O'$의 좌표는 $(-3, -a)$이고, 반지름은 $r = 2$로 불변입니다.
3) 이 원이 $x$축과 $y$축에 동시에 접하려면, 중심의 $x$좌표와 $y$좌표의 절댓값이 모두 반지름 $r = 2$와 같아야 합니다.
중심이 $(a, 2)$이고 반지름이 $2$인 원이라면, 이동 후 $(-2, -a)$가 되어 $|-a| = 2 \implies \mathbf{a = 2}$로 양축에 완벽히 동시 접합니다.

정답: $12$

[풀이]
1) 선분 $AB$는 절편이 $x = 2, y = 3$인 직선의 제1사분면 부분입니다.
2) 이를 $x$축, $y$축, 원점에 대칭이동하면 마름모 모양의 닫힌 도형이 형성됩니다.
이 도형의 방정식은 바로 $\dfrac{|x|}{2} + \dfrac{|y|}{3} = 1$ 입니다.
3) 제1사분면의 삼각형 넓이 $S_1 = \dfrac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3$.
4) 4개 사분면에 대칭적으로 합동인 삼각형이 4개 존재하므로:
$$\text{전체 넓이} = 4 \times 3 = \mathbf{12}$$

정답: $x = 1$

[풀이]
1) $C_1$ 중심: $O_1(-2, 3)$, 반지름 $r_1 = 2$.
2) 직선 $x = 1$에 대하여 $O_1$을 대칭이동한 $C_2$의 중심 $O_2$:
$$x' = 2(1) - (-2) = 4, \quad y' = 3 \implies O_2(4, 3)$$
3) 두 원의 중심 $O_1(-2, 3)$과 $O_2(4, 3)$은 선분 $O_1 O_2$의 정확한 수직이등분선이 $x = 1$입니다.
4) 크기가 같은 두 원에 동시에 외접하는 원의 중심은 반드시 두 원의 대칭축인 직선 $x = 1$ 위에 놓여야 좌우 거리가 같아집니다.
따라서 외접하는 원의 중심의 $x$좌표는 계산할 필요도 없이 $\mathbf{x = 1}$ 입니다.

정답: $12$

[풀이]
1) 조건식 $f(2 - x) = f(4 + x)$의 두 괄호 안 입력값의 합을 관찰합니다:
$$\text{입력값의 합} = (2 - x) + (4 + x) = 6 \text{ (일정)}$$ 2) 합이 $6$으로 일정하므로, 이 함수는 직선 $x = \dfrac{6}{2} = 3$에 대하여 선대칭입니다.
3) 최고차항 계수가 $1$인 아래로 볼록 이차함수의 대칭축이 $x = 3$이므로:
$$f(x) = (x - 3)^2 + (\text{최솟값}) = (x - 3)^2 - 3$$
4) 식을 전개하여 계수를 비교:
$$f(x) = x^2 - 6x + 9 - 3 = x^2 - 6x + 6$$
따라서 $a = 6, b = 6$ 이므로 $a + b = \mathbf{12}$ 입니다.

정답: $+6$만큼 평행이동

[풀이]
1) 1차 변환 ($x = 1$ 대칭): $x \to 2(1) - x = 2 - x$.
식: $f(2 - x, y) = 0$.
2) 2차 변환 ($x = 4$ 대칭): 현재 눈앞의 문자 $x$ 자리에 $2(4) - x = 8 - x$를 대입합니다.
$$f(2 - (8 - x), y) = 0 \implies f(x - 6, y) = 0$$
3) $f(x, y) = 0$이 $f(x - 6, y) = 0$으로 바뀌었으므로, 이는 $x$축 방향으로 $+6$만큼 평행이동한 것입니다!
(두 평행한 대칭축 사이의 거리 $4 - 1 = 3$의 정확히 $2$배만큼 이동함을 확인)

정답: $9$

[풀이]
1) 조건식 $f(1 + x) + f(3 - x) = 6$에서 입력값의 합은 $(1 + x) + (3 - x) = 4$로 일정합니다.
따라서 이 함수는 점 $(2, 3)$에 대하여 대칭입니다 ($x$ 중점 $2$, $y$ 중점 $3$).
2) 점대칭의 중심 자체는 반드시 곡선 위의 점이므로, $x = 0$을 대입하면:
$$f(1) + f(3) = 6$$
3) 대칭 중심에서의 함숫값 $f(2)$를 구하기 위해 $x = 1$을 대입:
$$f(2) + f(2) = 6 \implies 2f(2) = 6 \implies f(2) = 3$$
4) 구하는 합 계산:
$$\{f(1) + f(3)\} + f(2) = 6 + 3 = \mathbf{9}$$

정답: $P(-1, -1), k = 8$

[풀이]
1) 두 원의 중심과 반지름을 표준형으로 추출:
$C_1: (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4 + 9 - 4 = 9 \implies \text{중심 } O_1(2, -3), r_1 = 3$
$C_2: (x + 4)^2 + (y - 1)^2 = 16 + 1 - k = 17 - k \implies \text{중심 } O_2(-4, 1), r_2^2 = 17 - k$
2) 점대칭 변환에 의해서도 반지름은 절대 변하지 않으므로:
$$r_1^2 = r_2^2 \implies 9 = 17 - k \implies \mathbf{k = 8}$$
3) 대칭의 중심 $P$는 두 원의 중심 $O_1(2, -3)$과 $O_2(-4, 1)$의 정확한 중점이어야 합니다:
$$P = \left(\dfrac{2 + (-4)}{2}, \dfrac{-3 + 1}{2}\right) = \mathbf{(-1, -1)}$$

정답: $\dfrac{14\sqrt{5}}{5}$

[풀이]
1) 직선을 점대칭이동하면 기울기는 변하지 않고 서로 평행한 직선이 됩니다.
2) 점 $P(2, 1)$ 대칭 공식 적용 ($x \to 4 - x, y \to 2 - y$):
$$2(4 - x) - (2 - y) + 4 = 0 \implies 8 - 2x - 2 + y + 4 = 0$$
$$-2x + y + 10 = 0 \iff l': 2x - y - 10 = 0$$
3) 원래 직선 $l: 2x - y + 4 = 0$과 평행선 $l': 2x - y - 10 = 0$ 사이의 거리 공식:
$$d = \dfrac{|4 - (-10)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \dfrac{14}{\sqrt{5}} = \mathbf{\dfrac{14\sqrt{5}}{5}}$$

정답: $\left(\dfrac{9}{5}, \dfrac{18}{5}\right)$

[풀이 - 2대 조건 정밀 연립]
1) [조건 1: 수직 조건] 선분 $AA'$의 기울기는 직선 $l$(기울기 $2$)과 수직이므로 기울기 곱이 $-1$이어야 합니다:
$$\dfrac{q - 4}{p - 1} = -\dfrac{1}{2} \implies 2(q - 4) = -(p - 1) \implies p + 2q = 9 \quad \cdots \text{①}$$
2) [조건 2: 중점 조건] 선분 $AA'$의 중점 $M\left(\dfrac{p + 1}{2}, \dfrac{q + 4}{2}\right)$이 직선 $2x - y + 1 = 0$ 위에 있어야 합니다:
$$2\left(\dfrac{p + 1}{2}\right) - \left(\dfrac{q + 4}{2}\right) + 1 = 0 \implies 2(p + 1) - (q + 4) + 2 = 0$$
$$2p - q = 0 \implies q = 2p \quad \cdots \text{②}$$
3) ②를 ①에 대입: $p + 2(2p) = 9 \implies 5p = 9 \implies p = \dfrac{9}{5}$
계산 검증: $q = 2p = \dfrac{18}{5}$. 따라서 $A' = \mathbf{\left(\dfrac{9}{5}, \dfrac{18}{5}\right)}$ 입니다.

정답: $x - 7y + 9 = 0$

[풀이 - 2점 추적 기하법]
1) 원래 직선 $l_1$과 대칭축 $m$의 교점 $P$를 구합니다:
$$x - y + 1 = 0 \text{과 } x - 2y + 3 = 0 \implies y = 2, x = 1 \implies P(1, 2)$$
교점 $P(1, 2)$는 대칭축 위에 있으므로 대칭이동 후에도 움직이지 않는 부동점입니다.
2) $l_1$ 위의 다른 한 점 $Q(-1, 0)$을 잡아 직선 $m: x - 2y + 3 = 0$에 대칭이동한 점 $Q'$을 구합니다:
수직 및 중점 연립 시 $Q'\left(\dfrac{3}{5}, \dfrac{16}{5}\right)$ 도출.
3) 두 점 $P(1, 2)$와 $Q'$을 잇는 직선의 방정식을 세우면 $\mathbf{x - 7y + 9 = 0}$ 입니다.

정답: $(-2, 2)$

[풀이]
1) 원래 포물선의 꼭짓점은 원점 $O(0, 0)$입니다.
2) 대칭축 직선 $x - y + 2 = 0 \iff y = x + 2$는 기울기가 $1$인 특수 직선입니다!
기울기가 $\pm 1$인 직선 대칭은 복잡한 연립 없이 좌표 직접 이항 대입이 가능합니다:
• $x - y + 2 = 0 \implies x = y - 2, \quad y = x + 2$
3) 원점 $(0, 0)$을 대입하면:
새로운 $x' = 0 - 2 = -2$, 새로운 $y' = 0 + 2 = 2$.
따라서 대칭이동된 꼭짓점의 좌표는 단 3초 만에 $(-2, 2)$로 결정됩니다.

정답: $\sqrt{58}$

[풀이 - 양쪽 반사벽 2중 대칭]
1) 동점 $P$가 $x$축 위를 움직이므로, 점 $A(2, 5)$를 $x$축에 대칭이동한 점 $A_1(2, -5)$를 잡습니다.
$$\overline{AP} = \overline{A_1 P}$$
2) 동점 $Q$가 직선 $y = x$ 위를 움직이므로, 점 $A(2, 5)$를 직선 $y = x$에 대칭이동한 점 $A_2(5, 2)$를 잡습니다.
$$\overline{QA} = \overline{QA_2}$$
3) 삼각형의 둘레 길이를 대칭점으로 대체하여 일직선으로 폅니다:
$$\overline{AP} + \overline{PQ} + \overline{QA} = \overline{A_1 P} + \overline{PQ} + \overline{QA_2} \ge \overline{A_1 A_2}$$
4) 최솟값은 두 점 $A_1(2, -5)$와 $A_2(5, 2)$ 사이의 직선 거리입니다:
$$\overline{A_1 A_2} = \sqrt{(5 - 2)^2 + (2 - (-5))^2} = \sqrt{3^2 + 7^2} = \sqrt{9 + 49} = \mathbf{\sqrt{58}}$$

정답: $(x - 1)^2 + (y - 5)^2 = 25$ (새로운 원의 방정식)

[풀이 - 접힌 원의 원형 복원 원리]
1) 원을 직선에 대해 접는 문제는 "원 전체를 그 직선에 대해 완전히 대칭이동시킨 가상의 새로운 원 $C'$"을 생각하는 것이 핵심입니다.
2) 대칭된 원 $C'$의 반지름은 원래 원과 같은 $r = 5$입니다.
3) 문제에서 접힌 호가 $x$축 위의 점 $P(1, 0)$에서 접했다고 했으므로, 새로운 원 $C'$ 역시 점 $P(1, 0)$에서 $x$축에 접해야 합니다!
4) 따라서 $C'$의 중심의 $x$좌표는 $1$이고, 반지름이 $5$이므로 $y$좌표는 $5$가 됩니다 (제1사분면):
$$\text{대칭된 원 } C': \mathbf{(x - 1)^2 + (y - 5)^2 = 25}$$
5) 접는 선 $l$은 원래 중심 $O(0, 0)$과 새로운 중심 $O'(1, 5)$를 잇는 선분 $OO'$의 정확한 수직이등분선입니다:
중점: $\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{5}{2}\right)$, 기울기: $-\dfrac{1}{5} \implies y - \dfrac{5}{2} = -\dfrac{1}{5}\left(x - \dfrac{1}{2}\right) \iff x + 5y - 13 = 0$.