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[원의 방정식-실전개념 ③] 두 원의 5대 위치관계, 교점을 지나는 원과 공통현, 둘레 이등분 총정리

  앞서 다룬 [실전개념 ①] 에서는 원의 정의와 평행이동, 사분면별 축 접촉을 정복했고, [실전개념 ②] 에서는 판별식을 버리고 중심 거리 $d$와 반지름 $r$로 원과 직선의 접선·극선을 완벽히 지배했습니다. 이제 원의 방정식 대단원을 완성하는 마지막 퍼즐, '두 원 사이의 기하학적 상호작용' 을 마스터할 차례입니다. 두 원이 만나는 문제를 마주하면 대다수의 학생들은 두 원의 방정식을 무작정 연립하여 $x, y$ 교점의 좌표를 구하려고 합니다. 하지만 두 원의 교점 좌표는 대부분 복잡한 무리수나 분수로 떨어져 계산 실수로 이어집니다. 두 원의 교점을 직접 구하지 않고 항등식의 원리($k$)로 교점을 지나는 새로운 원을 한 번에 정의하며, $k = -1$을 대입해 이차항을 소거함으로써 두 원의 교점을 관통하는 공통현(직선)을 단 3초 만에 유도하는 기하학적 통찰 이 필요합니다. 이번 실전개념 ③에서는 중심 거리 $d$와 두 반지름 $r_1, r_2$의 대소 관계로 판별하는 두 원의 5대 위치관계 부터 동적 변화 시뮬레이션 , 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식 , 공통현의 길이 피타고라스 해법 , 그리고 내신 변별 1순위인 한 원이 다른 원의 둘레를 이등분하는 킬러 조건 까지 완벽하게 총정리합니다. 💡 [실전개념 ③] 두 원의 상호작용 4대 핵심 행동 강령 (Checklist) 교점 좌표 계산 금지: 두 원의 교점을 직접 연립하지 말고, 항상 항등식 $C_1 + kC_2 = 0$을 세운다. 공통현은 $k = -1$ (이차항 소거): 두 원의 일반형을 통째로 빼면($C_1 - C_2 = 0$) $x^2, y^2$이 사라지며 두 교점을 지나는 유일한 직선(공통현)이 된다. 공통현의 길이는 피타고라스: 공통현 직선과 한 원의 중심 사이 거리 $d$를 구한 뒤 $\text{현} = 2\sqrt{r^2 - d^2}$로 ...
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[중1·중2 기하] 삼각형이 하나로 결정되는 조건 & 합동(SSS·SAS·ASA)의 본질: 왜 SSA는 합동이 아닐까? (삼각형 부등식과 외각 공식)

 


기하 완성 시리즈 02 (Geometry Foundations)

흔들리지 않는 도형의 뼈대: 삼각형의 결정조건과 합동(SSS, SAS, ASA)의 본질 & 왜 SSA는 합동이 아닐까?

앞선 01편에서 우리는 평행선의 레일을 타고 미끄러지는 동위각과 Z자 엇각의 필연성을 확인했습니다. 이제 이 평행선이라는 강력한 도구를 손에 쥐고, 평면도형의 가장 완벽하고 견고한 다각형인 삼각형(Triangle)의 세계로 진입합니다.

초등학교 때 종이를 찢어 모으던 "삼각형 세 각의 합은 180°"라는 규칙은 평행선 보조선 하나로 3초 만에 증명되며, 이는 곧바로 중·고등 내신을 지배하는 '외각 공식'으로 진화합니다. 나아가 세 막대기가 주어진다고 해서 무조건 삼각형이 만들어지는 것이 아니라는 '삼각형 부등식의 절대 원리'를 마주하게 됩니다.

우주에서 단 하나뿐인 삼각형을 확정 짓는 작도 조건, 합동 3형제(SSS, SAS, ASA)의 직관적 본질과 함께, 수많은 학생들의 발목을 잡는 'SSA(두 변과 끼이지 않은 각)의 함정'을 수학자의 시선으로 완벽하게 파헤쳐 봅니다.

🔗 징검다리 01: 평행선 보조선이 증명하는 '내각의 합 180°'와 '외각 공식'

초등학생은 삼각형 모서리를 오려 붙여 $180^\circ$를 확인하지만, 중등 기하의 눈을 뜬 학생은 꼭짓점에 밑변과 평행한 보조선을 하나 긋습니다.

1. 내각의 합 180°의 3초 증명:
삼각형 $ABC$의 꼭짓점 $A$를 지나며 밑변 $BC$에 평행한 직선을 긋습니다.
• $\angle B$는 Z자 엇각에 의해 꼭짓점 $A$의 왼쪽 각으로 이동합니다.
• $\angle C$는 Z자 엇각에 의해 꼭짓점 $A$의 오른쪽 각으로 이동합니다.
$\implies$ 세 각이 꼭짓점 $A$에서 나란히 모여 직선의 평각($180^\circ$)을 완성합니다!
2. 시험장 무적의 무기 [삼각형 외각 공식]:
한 꼭짓점에서 내각과 외각을 더하면 평각 $180^\circ$입니다. 그런데 삼각형의 세 내각의 합도 $180^\circ$입니다.
$\implies$ "삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같다!"
(이 공식 하나만 알면 복잡한 별 모양 다각형 각도 합도 5초 만에 풀립니다.)

📏 징검다리 02: 삼각형의 존재 조건 (삼각형 부등식: Triangle Inequality)

길이가 다른 세 막대기를 가져왔다고 해서 무조건 삼각형을 만들 수 있을까요? 절대 아닙니다. 두 점 사이의 최단거리는 직선이라는 기하학의 대원칙 때문입니다.

❌ 작도 불가능 (두 변이 공중에 뜸)

막대 길이가 $3\text{cm}, 4\text{cm}, 8\text{cm}$인 경우:
$3 + 4 < 8$이므로 밑변 양 끝에서 아무리 기울여도 두 막대가 허공에서 만나지 못합니다.

⚠️ 작도 불가능 (하나의 선분으로 포개어짐)

막대 길이가 $3\text{cm}, 5\text{cm}, 8\text{cm}$인 경우:
$3 + 5 = 8$이므로 두 변이 밑변 위에 완전히 납작하게 겹쳐져 평면도형이 성립하지 않습니다.

💡 삼각형 결정의 절대 부등식

(가장 긴 변의 길이) < (나머지 두 변의 길이의 합)
이 절대 규칙은 훗날 고1 평면좌표의 거리 공식, 고2 삼각함수, 그리고 수능 기하의 벡터 삼각부등식($|\vec{a}+\vec{b}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|$)까지 완벽히 관통합니다.

📐 삼각형이 오직 하나로 결정되는 조건 & 합동(Congruence)의 본질

"모양과 크기가 완벽히 같아서 포개었을 때 완전히 겹치는 두 도형"을 합동($\equiv$)이라고 합니다. 삼각형은 변이 3개, 각이 3개(총 6개 요소)이지만, 단 3가지 조건만 맞으면 공간 전체에서 유일한 하나의 삼각형으로 모양이 영구 고정됩니다.

1. SSS 합동
세 변의 길이가 각각 같을 때 세 막대가 고정되면 각도는 저절로 고정 (트러스 구조의 강체성)
2. SAS 합동
두 변과 그 '끼인각'이 같을 때 두 변과 벌어진 각도가 확정되면 세 번째 변은 유일하게 닫힘
3. ASA 합동
한 변과 그 '양 끝 각'이 같을 때 밑변 양 끝에서 쏜 두 광선은 오직 하나의 교점에서 만남 (AAS 포함)

🚨 오답률 1위 킬러 분석: 왜 '두 변과 끼이지 않은 각(SSA)'은 합동이 아닐까?

많은 학생들이 "변 2개와 각 1개가 주어졌으니 SAS 합동 아닌가요?" 하며 낚입니다. 하지만 그 각이 두 변의 '끼인각'이 아니라 '엉뚱한 바깥쪽 각(SSA)'이라면 삼각형은 결코 하나로 정해지지 않습니다.

밑변 방향 고정각 ∠A 고정된 변 c 컴퍼스 원호 궤적 (반지름 a) B (컴퍼스 중심) 변 a 변 a 스윙 도어(Swing Door) 회전 A C₂ (둔각삼각형) C₁ (예각삼각형)
컴퍼스가 만드는 '스윙 도어(Swing Door) 현상':
각 $\angle A$와 변 $c$가 고정된 상태에서, 꼭짓점 $B$에 컴퍼스 중심을 찍고 반지름 $a$로 원을 그리면 밑변 직선과 서로 다른 두 점 $C_1, C_2$에서 정확히 교차합니다.
• 안쪽으로 꺾여 닫힌 둔각삼각형 ($\Delta ABC_2$)
• 바깥쪽으로 시원하게 뻗은 예각삼각형 ($\Delta ABC_1$)
$\implies$ 분명 똑같은 조건($c, a, \angle A$)을 주었는데도 전혀 다른 모양의 삼각형 2개가 동시에 존재합니다! 따라서 SSA는 결코 삼각형의 유일한 결정 조건(합동)이 될 수 없습니다.

📖 기하 3대 핵심 킬러 유형 & 실전 클리닉

빈출 대표유형 01

삼각형 부등식을 이용한 미지수 변의 길이 범위 추론

세 변의 길이가 각각 $4\text{cm}$, $9\text{cm}$, $x\text{cm}$인 삼각형이 존재하도록 하는 자연수 $x$의 개수를 구하시오.

👉 대표문제 정답 및 상세 해설 확인
정답: $7$개 (자연수: 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12)
삼각형 부등식의 핵심 원리:
어떤 변도 나머지 두 변의 합보다 작아야 하고, 두 변의 차보다 커야 합니다.
$$9 - 4 < x < 9 + 4$$
$$5 < x < 13$$
따라서 만족하는 자연수 $x$는 $6, 7, 8, 9, 10, 11, 12$로 총 $7$개입니다.
👯 쌍둥이 변형 문제 01

길이가 각각 $3, 7, a$인 세 막대로 삼각형을 만들 수 없을 때, 자연수 $a$의 범위가 $a \le 4$ 또는 $a \ge 10$이 됨을 증명하시오.

정답 및 해설 펼치기
삼각형이 성립할 범위는 $7 - 3 < a < 7 + 3 \implies 4 < a < 10$입니다.
따라서 삼각형이 성립하지 않으려면 여집합 조건인 $a \le 4$ 또는 $a \ge 10$이어야 합니다.
내신 빈출 킬러 02

이등변삼각형 연쇄와 외각 공식의 눈덩이 효과

점 $A$에서 출발하는 두 반직선 사이에 선분 $AB = BC = CD = DE$가 지그재그로 연속 배치되어 있다. $\angle A = 20^\circ$일 때, 외각 $\angle FDE$($\angle x$)의 크기를 구하시오.

A B C D E F 20° 40° (외각) 60° (외각) x (= 80°)
👉 킬러문제 정답 및 상세 해설 확인
정답: $80^\circ$
외각 공식 릴레이:
• $\Delta ABC$는 이등변: $\angle BCA = \angle A = 20^\circ$
• 외각 공식: $\angle CBD = 20^\circ + 20^\circ = 40^\circ$
• $\Delta BCD$는 이등변: $\angle BDC = \angle CBD = 40^\circ$
• 커다란 $\Delta ACD$에서 외각: $\angle DCE = \angle A + \angle ADC = 20^\circ + 40^\circ = 60^\circ$
• $\Delta CDE$는 이등변: $\angle DEC = 60^\circ$
• 가장 큰 $\Delta ADE$에서 외각 $\angle x = \angle A + \angle AED = 20^\circ + 60^\circ = \mathbf{80^\circ}$.
(규칙성: 지그재그가 1회 튕길 때마다 처음 각도의 정수배 $20^\circ \to 40^\circ \to 60^\circ \to 80^\circ$로 늘어납니다.)
👯 쌍둥이 변형 문제 02

삼각형 $ABC$에서 내각 $\angle B$의 이등분선과 외각 $\angle C$의 이등분선이 만나는 점을 $D$라 하자. $\angle A = 70^\circ$일 때, $\angle D$의 크기를 구하시오.

정답 및 해설 펼치기
외각 공식에 의해 $2\angle ACD = \angle A + 2\angle CBD$입니다.
$\Delta DBC$에서 외각은 $\angle ACD = \angle D + \angle CBD$입니다.
두 식을 연립하면 항상 $\angle D = \frac{1}{2}\angle A$가 성립하므로, $\angle D = \frac{70^\circ}{2} = \mathbf{35^\circ}$입니다.
오답률 1위 킬러 03

정삼각형의 회전 변환 속에 숨겨진 SAS 합동 찾기

정삼각형 $ABC$의 내부에 한 점 $P$를 잡고, 선분 $AP$를 한 변으로 하는 또 다른 정삼각형 $APQ$를 바깥쪽에 그렸다. 이때 $\Delta ABP \equiv \Delta ACQ$임을 증명하고 사용된 합동 조건을 쓰시오.

A (회전중심) B C P Q ΔABP (파란색) AB = AC, AP = AQ ΔACQ (빨간색) 끼인각: 60° - ∠PAC
👉 킬러문제 정답 및 상세 해설 확인
정답: SAS 합동
단계별 합동 추론:
1. 정삼각형 $ABC$이므로: $AB = AC$ (첫 번째 변 S)
2. 정삼각형 $APQ$이므로: $AP = AQ$ (두 번째 변 S)
3. 끼인각 추론: $\angle BAC = 60^\circ$, $\angle PAQ = 60^\circ$입니다.
공통각 $\angle PAC$를 빼어내면:
$$\angle BAP = 60^\circ - \angle PAC = \angle CAQ$$ (끼인각 A)
$\implies$ 따라서 두 변의 길이와 그 끼인각이 각각 같으므로 $\mathbf{\Delta ABP \equiv \Delta ACQ \ (SAS \ 합동)}$입니다.
👯 쌍둥이 변형 문제 03

정사각형 $ABCD$의 두 변 $BC, CD$ 위에 각각 점 $E, F$를 잡아 $BE = CF$가 되도록 하였다. 선분 $AE$와 선분 $BF$의 교점을 $G$라 할 때, $\angle AGB$의 크기를 구하시오.

정답 및 해설 펼치기
$AB = BC$, $\angle B = \angle C = 90^\circ$, $BE = CF$이므로 $\Delta ABE \equiv \Delta BCF \ (SAS \ 합동)$입니다.
따라서 $\angle BAE = \angle CBF$입니다.
$\Delta ABG$에서 $\angle BAE + \angle ABG = \angle CBF + \angle ABG = 90^\circ$이므로,
교각 $\angle AGB = 180^\circ - 90^\circ = \mathbf{90^\circ}$입니다.
💬

율초의 한마디

도형을 어려워하는 아이는 복잡한 그림을 통째로 외우려 하지만, 기하의 눈을 뜬 아이는 "삼각형을 이루는 3가지 뼈대(SSS, SAS, ASA)를 집어내어 그림을 쪼개어 봅니다."

세 변의 길이만으로는 삼각형이 닫히지 않을 수도 있다는 부등식의 진실, 그리고 왜 끼인각이 아니면 두 개의 서로 다른 삼각형으로 흔들리는지(SSA의 한계)를 손 끝으로 이해한 아이는, 2학년의 직각삼각형 합동(RHS, RHA)과 피타고라스 정리, 나아가 고등 삼각함수의 킬러 문항 앞에서도 결코 흔들리지 않는 절대적인 기하학적 안목을 갖추게 됩니다.

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