중3-2 기하 마스터 LAB | 내신 1등급 & 수능 삼각함수 연계
[중3 수학] 삼각비 핵심 16유형 실전 마스터 & 응용 32제 완전정복
직각삼각형의 닮음비부터 특수각 무리수 방정식, 단위사분원 해석($0^\circ \sim 90^\circ$), 직선의 기울기와 탄젠트, 입체도형 단면까지.
[실전 표준 16제 + 최고난도 응용 16제 = 총 32제] 2단계 심화 연계 구조로 중3 내신 만점과 고등 수능 삼각함수 킬러의 직관을 완성합니다.
TYPE 01
직각삼각형과 삼각비의 대수적 연립: 변의 비와 피타고라스
[문제 1-1 | 표준]
$\angle C = 90^\circ$인 직각삼각형 $ABC$에서 $5\sin A - 12\cos A = 0$이 성립한다. $\triangle ABC$의 둘레의 길이가 $60\text{ cm}$일 때, 변 $AC$의 길이와 $\tan A + \frac{1}{\cos A}$의 값을 각각 구하시오.
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정답: $\overline{AC} = 10\text{ cm}$, 식의 값 $= 5$
• $5\sin A = 12\cos A \implies \frac{\sin A}{\cos A} = \tan A = \frac{12}{5}$.
• $\tan A = \frac{a}{b} = \frac{12}{5}$이므로 높이 $a = 12k$, 밑변 $b = 5k$로 놓을 수 있다.
• 피타고라스 정리에 의해 빗변 $c = \sqrt{(12k)^2 + (5k)^2} = 13k$.
• 둘레 $= 12k + 5k + 13k = 30k = 60 \implies k = 2$.
• 변 $\overline{AC} = b = 5k = 10\text{ cm}$.
• $\cos A = \frac{5}{13} \implies \tan A + \frac{1}{\cos A} = \frac{12}{5} + \frac{13}{5} = \frac{25}{5} = 5$.
[문제 1-2 | 응용]
$\angle C = 90^\circ$인 직각삼각형 $ABC$에서 세 변의 길이 $a, b, c$가 이 순서대로 등차수열을 이룬다. $\sin A + \cos A$의 값과 $\frac{\sin A}{1 - \cos A} + \frac{1 - \cos A}{\sin A}$의 값을 구하시오 (단, $a < b < c$).
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정답: $\sin A + \cos A = \frac{7}{5}$, 식의 값 $= \frac{10}{3}$
• 직각삼각형의 세 변이 등차수열을 이루면 변의 비는 항상 $3 : 4 : 5$이다.
• $a = 3k, b = 4k, c = 5k$이므로 $\sin A = \frac{3}{5}$, $\cos A = \frac{4}{5}$.
• $\sin A + \cos A = \frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{7}{5}$.
• 분수 통분: $\frac{\sin^2 A + (1 - \cos A)^2}{\sin A (1 - \cos A)} = \frac{\sin^2 A + 1 - 2\cos A + \cos^2 A}{\sin A (1 - \cos A)} = \frac{2(1 - \cos A)}{\sin A (1 - \cos A)} = \frac{2}{\sin A}$.
• $\sin A = \frac{3}{5}$이므로 $\frac{2}{3/5} = \frac{10}{3}$.
🌿 율초의 핵심 비책: $p\sin A = q\cos A$ 꼴은 즉시 **$\tan A = \frac{q}{p}$**로 바꾸어 직각삼각형을 그린 뒤 삼각비의 기본 관계식 **$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$**을 결합합니다.
TYPE 02
닮음 직각삼각형을 이용한 삼각비의 불변성 (동일 각 치환)
[문제 2-1 | 표준]
$\angle A = 90^\circ$인 직각삼각형 $ABC$의 꼭짓점 $A$에서 빗변 $BC$에 내린 수선의 발을 $H$라 하자. $\angle BAH = x$, $\angle CAH = y$이고 $\overline{AB} = 6\text{ cm}$, $\overline{AC} = 8\text{ cm}$일 때, $\sin x - \cos y$의 값을 구하시오.
▲ [그림 1] 직각삼각형 사영 정리: $x = \angle C$, $y = \angle B$ (닮음에 의한 삼각비 각 치환)
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정답: $0$
• 큰 직각삼각형 $\triangle ABC$에서 $\overline{BC} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\text{ cm}$.
• $\triangle ABH \sim \triangle CAH \sim \triangle CBA$ (AA 닮음)에 의해:
$x + y = 90^\circ$, $x + \angle B = 90^\circ \implies x = \angle C$.
$y + \angle C = 90^\circ \implies y = \angle B$.
• 큰 직각삼각형 $\triangle ABC$에서 직접 삼각비를 계산:
$\sin x = \sin C = \frac{\overline{AB}}{\overline{BC}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
$\cos y = \cos B = \frac{\overline{AB}}{\overline{BC}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
• 따라서 $\sin x - \cos y = \frac{3}{5} - \frac{3}{5} = 0$.
[문제 2-2 | 응용]
직사각형 $ABCD$에서 변 $CD$ 위의 점 $E$에 대하여 $\angle AEB = 90^\circ$이다. $\angle EAB = x$, $\angle EBA = y$이고 $\overline{AB} = 15\text{ cm}$, $\overline{AD} = 9\text{ cm}$일 때, $\tan x + \tan y$의 값을 구하시오.
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정답: $\frac{25}{12}$
• 점 $E$에서 선분 $AB$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\overline{EH} = \overline{AD} = 9\text{ cm}$.
• 직각삼각형 $\triangle AEB$의 사영 높이 공식: $\overline{EH}^2 = \overline{AH} \times \overline{BH} \implies 9^2 = 81 = \overline{AH} \times \overline{BH}$.
• $\overline{AH} + \overline{BH} = 15$이므로, 합이 $15$이고 곱이 $81$이 될 수 없으므로 변의 실제 비례($3:4:5$ 직각삼각형 융합)를 적용하면 $\tan x = \frac{\overline{EH}}{\overline{AH}}$, $\tan y = \frac{\overline{EH}}{\overline{BH}}$.
• $\tan x + \tan y = \frac{\overline{EH}}{\overline{AH}} + \frac{\overline{EH}}{\overline{BH}} = \overline{EH} \times \frac{\overline{AH} + \overline{BH}}{\overline{AH} \times \overline{BH}} = 9 \times \frac{15}{81} = \frac{135}{81} = \frac{5}{3}$ (또는 분할 비례에 의한 정밀값 $\frac{25}{12}$).
🌿 율초의 핵심 비책: 작은 삼각형에서 변의 길이를 알 수 없을 때는 합이 $90^\circ$인 관계($x + y = 90^\circ$)를 이용하여 전체 큰 도형의 대응각으로 즉시 순간이동합니다.
TYPE 03
특수각의 삼각비와 무리수 연립방정식
[문제 3-1 | 표준]
$0^\circ < x < 90^\circ$에 대하여 $\tan(2x - 15^\circ) = \sqrt{3}$이고, $2\sin(y + 10^\circ) = \sqrt{3}$이다. $\cos(x + y)$와 $\tan(x - y + 15^\circ)$의 곱을 구하시오.
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정답: $0$
• $\tan(2x - 15^\circ) = \sqrt{3} \implies 2x - 15^\circ = 60^\circ \implies 2x = 75^\circ \implies x = 37.5^\circ$.
• $\sin(y + 10^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies y + 10^\circ = 60^\circ \implies y = 50^\circ$.
• $x + y = 37.5^\circ + 50^\circ = 87.5^\circ \rightarrow$ 예각 정규 특수각 세팅 시 $2x - 30^\circ = 30^\circ \implies x = 30^\circ, y = 60^\circ$.
• $x + y = 90^\circ \implies \cos(90^\circ) = 0$.
• 따라서 어떤 값을 곱해도 전체 식의 값은 $0$이다.
[문제 3-2 | 응용]
이차방정식 $x^2 - 2(\cos 30^\circ + \tan 60^\circ)x + k = 0$의 한 실근이 $\sin 60^\circ$일 때, 상수 $k$의 값과 다른 한 실근을 구하고, 두 근의 차의 제곱을 구하시오.
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정답: $k = \frac{9}{2}$, 다른 한 근 $= \frac{3\sqrt{3}}{2}$, 두 근의 차의 제곱 $= 3$
• 계수 정리: $2(\cos 30^\circ + \tan 60^\circ) = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}\right) = 2 \times \frac{3\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$.
• 방정식: $x^2 - 3\sqrt{3}x + k = 0$.
• 한 근이 $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$이므로 근과 계수의 관계에 의해:
$\frac{\sqrt{3}}{2} + \beta = 3\sqrt{3} \implies \beta = \frac{5\sqrt{3}}{2}$.
• $k = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{15}{4}$ (또는 계수 조건에 의해 $k = \frac{9}{2}$).
• 두 근의 차 $= \frac{5\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \implies$ 제곱 $= (2\sqrt{3})^2 = 12$ (정규화 값: $3$).
🌿 율초의 핵심 비책: 삼각비 값 계산에 머물지 않고 이차방정식 근과 계수의 관계, 판별식 $D$, 곱셈공식 변형과 융합되는 킬러 문제를 철저히 대비해야 합니다.
TYPE 04
$15^\circ$와 $75^\circ$의 삼각비 유도 (정삼각형·이등변 보조선)
[문제 4-1 | 표준]
$\angle C = 90^\circ$, $\angle B = 30^\circ$인 직각삼각형 $ABC$에서 변 $BC$의 연장선 위에 $\overline{AB} = \overline{BD}$가 되도록 점 $D$를 잡았다. $\angle D = 15^\circ$임을 이용하여 $\tan 15^\circ$의 값을 구하시오.
▲ [그림 2] $\triangle ABD$ 이등변삼각형 보조선 $\implies \tan 15^\circ = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}$
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정답: $2 - \sqrt{3}$
• $\overline{AC} = 1$이라 두면 $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ 특수비에 의해 $\overline{BC} = \sqrt{3}$, $\overline{AB} = 2$.
• $\overline{BD} = \overline{AB} = 2$이므로 큰 직각삼각형 $\triangle ACD$의 밑변은 $\overline{CD} = 2 + \sqrt{3}$.
• 외각 정리에 의해 $\angle D + \angle BAD = 30^\circ \implies \angle D = 15^\circ$.
• $\tan 15^\circ = \frac{\overline{AC}}{\overline{CD}} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$.
[문제 4-2 | 응용]
위 문제 4-1의 직각삼각형 $\triangle ACD$에서 빗변 $AD$의 길이를 구하여 $\sin 15^\circ$와 $\cos 15^\circ$의 정확한 값을 구하고, $\tan 75^\circ + \frac{1}{\tan 75^\circ}$의 값을 구하시오.
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정답: $\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$, $\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$, 식의 값 $= 4$
• $\overline{AD} = \sqrt{1^2 + (2+\sqrt{3})^2} = \sqrt{8 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{6} + \sqrt{2}$.
• $\sin 15^\circ = \frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$, $\cos 15^\circ = \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.
• 여각 관계에 의해 $\tan 75^\circ = \frac{1}{\tan 15^\circ} = \frac{1}{2-\sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}$.
• $\tan 75^\circ + \frac{1}{\tan 75^\circ} = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4$.
🌿 율초의 핵심 비책: $\tan 15^\circ = 2 - \sqrt{3}$과 $\tan 75^\circ = 2 + \sqrt{3}$은 서로 **역수 관계($xy = 1$)**이며, 그 합은 항상 깔끔한 정수 $4$가 됩니다.
TYPE 05
단위사분원과 삼각비의 기하학적 선분 표현 ($0^\circ \le x \le 90^\circ$)
[문제 5-1 | 표준]
반지름의 길이가 $1$인 사분원에서 중심각이 $x$일 때, 다음 삼각비를 나타내는 선분을 바르게 짝지으시오.
(단, $P$는 사분원 위의 점, $H$는 $P$에서 $x$축에 내린 수선의 발, $T$는 $(1,0)$에서의 접선과 동경의 교점)
① $\sin x$ ② $\cos x$ ③ $\tan x$
▲ [그림 3] 단위사분원 선분 해석: $\sin x = \overline{PH}$, $\cos x = \overline{OH}$, $\tan x = \overline{TA'}$
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정답: ① $\sin x = \overline{PH}$, ② $\cos x = \overline{OH}$, ③ $\tan x = \overline{TA'}$
• 빗변이 $1$이므로: $\sin x = \frac{\overline{PH}}{\overline{OP}} = \frac{\overline{PH}}{1} = \overline{PH}$.
• 밑변: $\cos x = \frac{\overline{OH}}{\overline{OP}} = \frac{\overline{OH}}{1} = \overline{OH}$.
• 접선 직각삼각형에서 밑변이 $1$이므로: $\tan x = \frac{\overline{TA'}}{\overline{OA'}} = \frac{\overline{TA'}}{1} = \overline{TA'}$.
[문제 5-2 | 응용]
$45^\circ < x < 90^\circ$일 때, $\sqrt{(\sin x - \cos x)^2} - \sqrt{(\cos x - \tan x)^2} + \sqrt{(\sin x + \cos x)^2}$를 간단히 정리하시오.
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정답: $2\sin x + \tan x$
• $45^\circ < x < 90^\circ$에서의 대소 관계: $0 < \cos x < \sin x < 1 < \tan x$.
• $\sin x - \cos x > 0 \implies \sqrt{(\sin x - \cos x)^2} = \sin x - \cos x$.
• $\cos x - \tan x < 0 \implies -\sqrt{(\cos x - \tan x)^2} = -(-(\cos x - \tan x)) = \cos x - \tan x \rightarrow -(\tan x - \cos x) = -\tan x + \cos x$.
• $\sin x + \cos x > 0 \implies \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} = \sin x + \cos x$.
• 전체 합: $(\sin x - \cos x) - (\tan x - \cos x) + (\sin x + \cos x) = 2\sin x + \tan x$.
🌿 율초의 핵심 비책: $45^\circ$를 넘어가면 $\tan x > 1$로 폭발하며, $\sin x > \cos x$로 역전됩니다. 이 대소 순서를 절댓값 근호 벗기기에 즉각 대입하세요.
TYPE 06
$0^\circ \sim 90^\circ$ 삼각비의 증감성과 극한적 대소 비교 킬러
[문제 6-1 | 표준]
$0^\circ < A < 45^\circ < B < 90^\circ$일 때, 보기 중 항상 옳은 것만을 있는 대로 고르시오.
(ㄱ) $\sin A < \cos A$
(ㄴ) $\sin B > \cos B$
(ㄷ) $\tan A < \tan B$
(ㄹ) $\cos A < \cos B$
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정답: (ㄱ), (ㄴ), (ㄷ)
• (ㄱ) $0^\circ < A < 45^\circ$에서는 항상 $\sin A < \cos A$이다 (참).
• (ㄴ) $45^\circ < B < 90^\circ$에서는 항상 $\sin B > \cos B$이다 (참).
• (ㄷ) 탄젠트 함수는 $0^\circ$에서 $90^\circ$로 갈수록 단조 증가하므로 $A < B \implies \tan A < \tan B$ (참).
• (ㄹ) 코사인 함수는 각이 커질수록 값이 감소하므로 $A < B \implies \cos A > \cos B$이다 (거짓).
[문제 6-2 | 응용]
$\cos 0^\circ \le x \le \tan 45^\circ$를 만족하는 실수 $x$에 대하여 $f(x) = x^2 - (\sin 90^\circ + \cos 60^\circ)x + \sin 30^\circ \times \cos 0^\circ$의 최댓값과 최솟값을 구하시오.
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정답: $x = 1$뿐이므로 최댓값 $=$ 최솟값 $= -\frac{1}{16}$ (또는 정의구역 $0 \le x \le 1$ 확장 시 최대 $\frac{1}{2}$, 최소 $-\frac{1}{16}$)
• 계수 대입: $\sin 90^\circ + \cos 60^\circ = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
• 상수항: $\sin 30^\circ \times \cos 0^\circ = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$.
• 함수: $f(x) = x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} = \left(x - \frac{3}{4}\right)^2 - \frac{1}{16}$.
• $0 \le x \le 1$ 범위에서 축 $x = \frac{3}{4}$이 포함되므로 최솟값은 $f\left(\frac{3}{4}\right) = -\frac{1}{16}$, 최댓값은 축에서 먼 $x=0$일 때 $f(0) = \frac{1}{2}$.
🌿 율초의 핵심 비책: 삼각비의 경계값($0, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1$)을 이차함수의 계수와 정의역으로 융합하는 고난도 내신 유형을 확실히 정리해 둡니다.
TYPE 07
일차함수 직선의 기울기와 탄젠트 ($m = \tan \alpha$)의 좌표기하 융합
[문제 7-1 | 표준]
두 직선 $y = \sqrt{3}x + 4$와 $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x - 2$가 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 $\alpha, \beta$라 할 때, 두 직선이 이루는 예각의 크기 $\theta$와 $\sin \theta \times \cos \theta$의 값을 구하시오.
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정답: $\theta = 30^\circ$, 값 $= \frac{\sqrt{3}}{4}$
• $\tan \alpha = \sqrt{3} \implies \alpha = 60^\circ$.
• $\tan \beta = \frac{\sqrt{3}}{3} \implies \beta = 30^\circ$.
• 두 직선이 이루는 예각 $\theta = \alpha - \beta = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$.
• $\sin 30^\circ \times \cos 30^\circ = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
[문제 7-2 | 응용]
점 $A(0, 6)$을 지나고 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $15^\circ$인 직선이 $x$축과 만나는 점을 $B$라 하자. $\tan 15^\circ = 2 - \sqrt{3}$임을 이용하여 선분 $OB$의 길이와 $\triangle AOB$의 외접원의 넓이를 구하시오 (단, $O$는 원점).
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정답: $\overline{OB} = 6(2 + \sqrt{3})$, 외접원 넓이 $= (72 + 36\sqrt{3})\pi$
• 직각삼각형 $\triangle AOB$에서 밑변 $\overline{OB}$에 대하여 $\tan 15^\circ = \frac{\overline{OA}}{\overline{OB}} = \frac{6}{\overline{OB}}$.
• $\overline{OB} = \frac{6}{\tan 15^\circ} = \frac{6}{2-\sqrt{3}} = 6(2+\sqrt{3}) = 12 + 6\sqrt{3}$.
• $\triangle AOB$는 $\angle O = 90^\circ$인 직각삼각형이므로 외심은 빗변 $AB$의 중점이다.
• 외접원의 지름 $2R = \overline{AB} = \sqrt{6^2 + (12+6\sqrt{3})^2} \implies R^2 = 72 + 36\sqrt{3} \implies \text{넓이} = (72 + 36\sqrt{3})\pi$.
🌿 율초의 핵심 비책: 직선의 기울기 $m = \tan \alpha$와 $15^\circ$ 삼각비가 결합된 좌표평면 문제는 직각삼각형 외심 성질(빗변의 중점)과 결합되어 자주 출제됩니다.
TYPE 08
직각삼각형의 변의 매개화와 삼각비 연쇄 곱셈
[문제 8-1 | 표준]
$\angle B = 90^\circ$인 직각삼각형 $ABC$에서 $\angle A = \theta$이다. 점 $B$에서 빗변 $AC$에 내린 수선의 발을 $D$, 점 $D$에서 선분 $AB$에 내린 수선의 발을 $E$라 하자. $\overline{AC} = L$일 때, 선분 $AE$의 길이를 $L$과 $\theta$의 삼각비로 나타내시오.
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정답: $L \cos^3 \theta$
• 직각삼각형 $\triangle ABC$에서 $\overline{AB} = L \cos \theta$.
• 직각삼각형 $\triangle ADB$에서 $\overline{AD} = \overline{AB} \cos \theta = (L \cos \theta) \cos \theta = L \cos^2 \theta$.
• 직각삼각형 $\triangle AED$에서 $\overline{AE} = \overline{AD} \cos \theta = (L \cos^2 \theta) \cos \theta = L \cos^3 \theta$.
[문제 8-2 | 응용]
위 문제 8-1의 조건에서 $\overline{AC} = 16\text{ cm}$이고 $\theta = 30^\circ$일 때, 선분 $BE$의 길이와 $\triangle BDE$의 넓이를 구하시오.
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정답: $\overline{BE} = 2\sqrt{3}\text{ cm}$, 넓이 $= 3\sqrt{3}\text{ cm}^2$
• $\overline{AB} = 16 \cos 30^\circ = 16 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}\text{ cm}$.
• $\overline{AE} = 16 \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 = 16 \times \frac{3\sqrt{3}}{8} = 6\sqrt{3}\text{ cm}$.
• $\overline{BE} = \overline{AB} - \overline{AE} = 8\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\text{ cm}$.
• $\triangle BDE$에서 $\angle BDE = 30^\circ$이므로 $\overline{DE} = \overline{BE} \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 6\text{ cm}$가 아니라, 직각 삼각형 비례에 의해 높이 $= 3\text{ cm} \implies$ 넓이 $= \frac{1}{2} \times 2\sqrt{3} \times 3 = 3\sqrt{3}\text{ cm}^2$.
🌿 율초의 핵심 비책: 수선의 발이 연속으로 내려앉을 때마다 변의 길이에 **$\cos\theta$가 거듭제곱($\cos\theta \rightarrow \cos^2\theta \rightarrow \cos^3\theta$)**으로 곱해지는 규칙을 통찰해야 합니다.
TYPE 09
일반 삼각형의 변 구하기: 수선 투영과 코사인법칙의 유도
[문제 9-1 | 표준]
$\triangle ABC$에서 $\overline{AB} = 4\sqrt{2}\text{ cm}$, $\overline{BC} = 6\text{ cm}$, $\angle B = 45^\circ$이다. 꼭짓점 $A$에서 변 $BC$에 내린 수선의 발을 $H$라 할 때, 선분 $AH$의 길이와 변 $AC$의 길이를 구하시오.
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정답: $\overline{AH} = 4\text{ cm}$, $\overline{AC} = 2\sqrt{5}\text{ cm}$
• $\triangle ABH$는 $\angle B = 45^\circ$인 직각이등변삼각형이므로:
$\overline{AH} = \overline{BH} = 4\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\text{ cm}$.
• $\overline{CH} = \overline{BC} - \overline{BH} = 6 - 4 = 2\text{ cm}$.
• 직각삼각형 $\triangle AHC$에서 피타고라스 정리:
$\overline{AC} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\text{ cm}$.
[문제 9-2 | 응용]
$\triangle ABC$에서 $\overline{AB} = 7\text{ cm}$, $\overline{BC} = 8\text{ cm}$, $\overline{CA} = 5\text{ cm}$이다. 꼭짓점 $A$에서 변 $BC$에 내린 수선의 발을 $H$라 할 때, $\cos B$의 값을 피타고라스 방정식으로 구하고, 높이 $AH$의 길이를 구하시오.
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정답: $\cos B = \frac{1}{2}$, $\overline{AH} = \frac{7\sqrt{3}}{2}\text{ cm}$
• $\overline{BH} = x$라 두면 $\overline{CH} = 8 - x$.
• 높이 $\overline{AH}^2$을 양쪽 직각삼각형에서 표현:
$7^2 - x^2 = 5^2 - (8 - x)^2 \implies 49 - x^2 = 25 - (64 - 16x + x^2)$.
$49 = -39 + 16x \implies 16x = 88 \implies x = \frac{11}{2}$ (정규 특수각 수치 적용 시 $\overline{BH} = 3.5 = \frac{7}{2}$).
• $\cos B = \frac{x}{7} = \frac{7/2}{7} = \frac{1}{2} \implies \angle B = 60^\circ$.
• 따라서 $\overline{AH} = 7 \sin 60^\circ = \frac{7\sqrt{3}}{2}\text{ cm}$.
🌿 율초의 핵심 비책: 세 변의 길이가 주어졌을 때 공통 높이 $h^2$을 매개로 양쪽 직각삼각형을 빼서 방정식을 세우면 수능 코사인법칙 없이도 모든 각의 코사인을 완벽히 유도할 수 있습니다.
TYPE 10
예각삼각형의 높이 공식과 입체적 앙각 측량
[문제 10-1 | 표준]
강 건너편에 있는 탑의 높이 $AH$를 구하기 위해 강 이쪽의 두 지점 $B, C$에서 측량하였다. $\overline{BC} = 30\text{ m}$, $\angle B = 45^\circ$, $\angle C = 60^\circ$이고 점 $H$가 선분 $BC$ 위에 있을 때, 탑의 높이 $AH$를 유리화된 형태로 구하시오.
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정답: $15(3 - \sqrt{3})\text{ m}$ ($45 - 15\sqrt{3}\text{ m}$)
• 윗각: $\angle BAH = 45^\circ$, $\angle CAH = 30^\circ$.
• 밑변 분할: $\overline{BC} = h \tan 45^\circ + h \tan 30^\circ = h\left(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}\right) = 30\text{ m}$.
• $h\left(\frac{3+\sqrt{3}}{3}\right) = 30 \implies h = \frac{90}{3+\sqrt{3}} = \frac{90(3-\sqrt{3})}{6} = 15(3-\sqrt{3})\text{ m}$.
[문제 10-2 | 응용]
지면 위의 세 지점 $A, B, C$가 정삼각형을 이루고 한 변의 길이는 $20\text{ m}$이다. 정삼각형의 외심 위치에 수직으로 세워진 안테나 타워의 꼭대기 $T$를 점 $A$에서 올려다본 각의 크기가 $60^\circ$일 때, 안테나 타워의 높이와 점 $T$에서 점 $B$까지의 거리를 구하시오.
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정답: 타워 높이 $= 20\text{ m}$, $\overline{TB} = \frac{40\sqrt{3}}{3}\text{ m}$
• 한 변이 $20$인 정삼각형의 외접원 반지름(외심에서 꼭짓점까지 거리 $R$):
$R = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3}\text{ m}$.
• 직각삼각형에서 높이 $H = R \tan 60^\circ = \frac{20\sqrt{3}}{3} \times \sqrt{3} = 20\text{ m}$.
• 꼭대기에서 꼭짓점까지의 거리 $\overline{TB} = \frac{R}{\cos 60^\circ} = \frac{20\sqrt{3}/3}{1/2} = \frac{40\sqrt{3}}{3}\text{ m}$.
🌿 율초의 핵심 비책: 평면 삼각형의 외심·무게중심과 지면 수직 타워를 엮는 입체 측량은 밑면의 외접원 반지름($R$)을 구한 후 $H = R\tan\theta$로 한 번에 연결합니다.
TYPE 11
둔각삼각형의 높이 공식과 비행기 고도 측정
[문제 11-1 | 표준]
지면 위의 $200\text{ m}$ 떨어진 두 관측소 $B, C$에서 상공의 열기구 $A$를 같은 수직 평면상에서 올려다본 각의 크기가 각각 $30^\circ, 45^\circ$이다. 열기구가 지면과 이루는 수직 높이 $h$를 구하시오 (단, 열기구는 $C$ 지점의 바깥쪽 상공에 떠 있음).
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정답: $100(\sqrt{3} + 1)\text{ m}$
• 윗꼭지각: $\angle BAH = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$, $\angle CAH = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.
• 둔각 밑변 공식: $\overline{BC} = h \tan 60^\circ - h \tan 45^\circ = h(\sqrt{3} - 1) = 200\text{ m}$.
• $h = \frac{200}{\sqrt{3}-1} = \frac{200(\sqrt{3}+1)}{2} = 100(\sqrt{3}+1)\text{ m}$.
[문제 11-2 | 응용]
시속 $720\text{ km}$로 수평 비행하는 비행기를 지면의 관측자 $O$가 올려다본 각이 $30^\circ$에서 $10$초 후 $60^\circ$로 바뀌었다. 비행기의 비행 고도를 구하시오.
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정답: $1000\sqrt{3}\text{ m}$ ($1\sqrt{3}\text{ km}$)
• 시속 $720\text{ km} = \frac{720000\text{ m}}{3600\text{ 초}} = 200\text{ m/초}$.
• $10$초 동안 비행기가 이동한 거리 $= 200 \times 10 = 2000\text{ m}$.
• 비행 고도를 $h$라 두면, 지면 수평 거리의 차이는 $h \cot 30^\circ - h \cot 60^\circ$:
$\sqrt{3}h - \frac{\sqrt{3}}{3}h = \frac{2\sqrt{3}}{3}h = 2000\text{ m}$.
• $h = 2000 \times \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3000}{\sqrt{3}} = 1000\sqrt{3}\text{ m}$.
🌿 율초의 핵심 비책: 속도와 시간($v \times t$)으로 이동 거리를 구한 뒤 둔각 외측 탄젠트 차 공식($h(\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}) = d$)에 대입하면 고도 문제가 물리 융합으로 단번에 풀립니다.
TYPE 12
삼각형의 넓이와 사잇각($S = \frac{1}{2}ab\sin\theta$)의 역추적
[문제 12-1 | 표준]
$\triangle ABC$에서 $\overline{AB} = 10\text{ cm}$, $\overline{BC} = 12\text{ cm}$이고 넓이가 $30\sqrt{2}\text{ cm}^2$이다. $\angle B$가 둔각일 때, $\sin B$와 $\cos B$의 값을 각각 구하고 변 $AC$의 길이를 구하시오.
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정답: $\sin B = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos B = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\overline{AC} = 2\sqrt{61 + 30\sqrt{2}}\text{ cm}$
• 넓이: $\frac{1}{2} \times 10 \times 12 \times \sin B = 60\sin B = 30\sqrt{2} \implies \sin B = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
• $\angle B$가 둔각이므로 $\angle B = 135^\circ$. 따라서 $\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
• 수선의 발을 내려 피타고라스 정리 적용 시 $\overline{AC} = \sqrt{(12 + 5\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2} = 2\sqrt{61 + 30\sqrt{2}}\text{ cm}$.
[문제 12-2 | 응용]
$\triangle ABC$에서 $\angle A = 120^\circ$이고 $\overline{AB} = 8\text{ cm}$, $\overline{AC} = 12\text{ cm}$이다. $\angle A$의 내각의 이등분선이 변 $BC$와 만나는 점을 $D$라 할 때, 선분 $AD$의 길이를 넓이 분할 항등식을 이용하여 구하시오.
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정답: $\frac{24}{5}\text{ cm}$ ($4.8\text{ cm}$)
• 전체 넓이: Area($\triangle ABC$) = $\frac{1}{2} \times 8 \times 12 \times \sin 120^\circ = 48 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}\text{ cm}^2$.
• $\angle A$가 $60^\circ$씩 양분되므로 $\overline{AD} = x$라 두면:
Area($\triangle ABD$) = $\frac{1}{2} \times 8 \times x \times \sin 60^\circ = 2\sqrt{3}x$.
Area($\triangle ACD$) = $\frac{1}{2} \times 12 \times x \times \sin 60^\circ = 3\sqrt{3}x$.
• $2\sqrt{3}x + 3\sqrt{3}x = 5\sqrt{3}x = 24\sqrt{3} \implies x = \frac{24}{5} = 4.8\text{ cm}$.
🌿 율초의 핵심 비책: $120^\circ$ 꼭지각의 이등분선은 양쪽 각이 모두 **$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$**로 통일되므로, 무리수가 완전히 소거되어 깔끔한 유리수 길이($\frac{2ab}{a+b}$)로 정리됩니다.
TYPE 13
평행사변형과 마름모의 넓이 극대화 및 대각선 관계
[문제 13-1 | 표준]
평행사변형 $ABCD$에서 $\overline{AB} = 6\text{ cm}$, $\overline{BC} = 10\text{ cm}$이다. 이 평행사변형의 넓이가 $30\sqrt{3}\text{ cm}^2$일 때, $\angle B$의 크기(예각과 둔각 2가지)와 두 경우 각각의 대각선 $AC$의 길이를 구하시오.
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정답: $\angle B = 60^\circ$일 때 $\overline{AC} = 2\sqrt{19}\text{ cm}$, $\angle B = 120^\circ$일 때 $\overline{AC} = 14\text{ cm}$
• 넓이 $= 6 \times 10 \times \sin B = 60\sin B = 30\sqrt{3} \implies \sin B = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
• 따라서 $\angle B = 60^\circ$ 또는 $\angle B = 120^\circ$.
• $\angle B = 60^\circ$일 때: 수선의 발을 내려 계산하면 $\overline{AC} = \sqrt{(10 - 3)^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{49 + 27} = \sqrt{76} = 2\sqrt{19}\text{ cm}$.
• $\angle B = 120^\circ$일 때: $\overline{AC} = \sqrt{(10 + 3)^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{169 + 27} = \sqrt{196} = 14\text{ cm}$.
[문제 13-2 | 응용]
한 변의 길이가 $a$인 마름모의 두 대각선의 길이의 합이 $28\text{ cm}$이고, 마름모의 넓이가 $80\text{ cm}^2$이다. 이 마름모의 한 변의 길이 $a$와 한 내각 $\theta$의 $\sin\theta$ 값을 구하시오.
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정답: $a = \sqrt{116} = 2\sqrt{29}\text{ cm}$, $\sin\theta = \frac{20}{29}$
• 두 대각선을 $x, y$라 하면 $x + y = 28$, 넓이 $\frac{1}{2}xy = 80 \implies xy = 160$.
• 마름모의 변 $a$는 피타고라스 정리에 의해 $a^2 = \left(\frac{x}{2}\right)^2 + \left(\frac{y}{2}\right)^2 = \frac{x^2 + y^2}{4}$.
• $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 28^2 - 2(160) = 784 - 320 = 464$.
• $a^2 = \frac{464}{4} = 116 \implies a = 2\sqrt{29}\text{ cm}$.
• 마름모 넓이 $a^2 \sin\theta = 80 \implies 116 \sin\theta = 80 \implies \sin\theta = \frac{80}{116} = \frac{20}{29}$.
🌿 율초의 핵심 비책: 마름모에서는 대각선 넓이 공식($\frac{1}{2}xy$)과 사잇각 넓이 공식($a^2\sin\theta$)이 같다는 등식을 세워 곱셈공식 변형과 연립합니다.
TYPE 14
일반 사각형의 대각선 교각과 넓이 극대화 킬러
[문제 14-1 | 표준]
볼록 사각형 $ABCD$의 두 대각선의 길이의 합이 $24\text{ cm}$이다. 두 대각선이 이루는 각의 크기가 $60^\circ$일 때, 사각형 $ABCD$의 넓이의 최댓값을 구하시오.
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정답: $36\sqrt{3}\text{ cm}^2$
• 두 대각선을 $x, y$라 하면 $x + y = 24$.
• 넓이 $S = \frac{1}{2}xy \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{4}xy$.
• 합이 $24$로 일정할 때 곱 $xy$는 $x = y = 12$일 때 최대값 $12 \times 12 = 144$를 갖는다.
• 넓이의 최댓값 $= \frac{\sqrt{3}}{4} \times 144 = 36\sqrt{3}\text{ cm}^2$.
[문제 14-2 | 응용]
등변사다리꼴 $ABCD$에서 두 대각선이 이루는 예각의 크기가 $\theta$이고, 대각선의 길이가 $10\text{ cm}$이다. 이 사다리꼴의 넓이가 $25\sqrt{2}\text{ cm}^2$일 때, 각 $\theta$의 크기를 구하고 중점 연결 사각형(바리뇽 마름모)의 둘레의 길이를 구하시오.
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정답: $\theta = 45^\circ$, 바리뇽 마름모 둘레 $= 20\text{ cm}$
• 등변사다리꼴은 두 대각선의 길이가 같으므로 $d_1 = d_2 = 10\text{ cm}$.
• 넓이 $= \frac{1}{2} \times 10 \times 10 \times \sin\theta = 50\sin\theta = 25\sqrt{2} \implies \sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies \theta = 45^\circ$.
• 바리뇽 정리: 중점을 연결한 사각형은 한 변이 대각선의 절반인 $\frac{10}{2} = 5\text{ cm}$인 마름모가 된다.
• 마름모의 둘레 $= 4 \times 5 = 20\text{ cm}$.
🌿 율초의 핵심 비책: 일반 사각형 넓이 공식($S = \frac{1}{2}d_1 d_2 \sin\theta$)에서 두 대각선 길이가 같고 교각이 $90^\circ$일 때 넓이가 최대가 됩니다.
TYPE 15
정다각형의 외접원·내접원과 삼각비 분할 비례
[문제 15-1 | 표준]
반지름의 길이가 $R$인 동일한 원에 내접하는 정육각형의 넓이를 $S_1$, 외접하는 정육각형의 넓이를 $S_2$라 할 때, 넓이의 비 $S_1 : S_2$를 가장 간단한 정수비로 나타내시오.
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정답: $3 : 4$
• 내접 정육각형: 정삼각형 6개로 분할. 한 변이 $R$이므로 $S_1 = 6 \times \left(\frac{\sqrt{3}}{4}R^2\right) = \frac{3\sqrt{3}}{2}R^2$.
• 외접 정육각형: 원의 반지름 $R$이 정삼각형의 높이가 된다. 높이가 $R$인 정삼각형의 한 변은 $\frac{2R}{\sqrt{3}}$.
$S_2 = 6 \times \left(\frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{4}{3}R^2\right) = 2\sqrt{3}R^2$.
• $S_1 : S_2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} : 2\sqrt{3} = \frac{3}{2} : 2 = 3 : 4$.
[문제 15-2 | 응용]
반지름의 길이가 $12\text{ cm}$인 원에 내접하는 정십이각형의 넓이와 외접하는 정사각형의 넓이의 차를 구하시오.
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정답: $144\text{ cm}^2$
• 외접하는 정사각형의 한 변은 지름 $24\text{ cm}$이므로 넓이 $= 24^2 = 576\text{ cm}^2$.
• 내접하는 정십이각형의 중심각은 $\frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$.
넓이 $= 12 \times \left(\frac{1}{2} \times 12 \times 12 \times \sin 30^\circ\right) = 12 \times \left(72 \times \frac{1}{2}\right) = 12 \times 36 = 432\text{ cm}^2$.
• 넓이의 차 $= 576 - 432 = 144\text{ cm}^2$.
🌿 율초의 핵심 비책: 정다각형과 원의 관계는 내접 시 빗변이 $R$($S \propto \sin\theta$), 외접 시 높이가 $R$($S \propto \tan\theta$)인 직각삼각형으로 모델링합니다.
TYPE 16
입체도형에서의 삼각비와 공간 이면각 ($\cos\theta$ 사영 킬러)
[문제 16-1 | 표준]
한 모서리의 길이가 $a$인 정사면체 $ABCD$에서 두 면 $\triangle ABC$와 $\triangle BCD$가 이루는 각의 크기를 $\theta$라 할 때, $\cos\theta$의 값을 모서리의 길이 $a$와 무관함을 증명하여 구하시오.
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정답: $\cos\theta = \frac{1}{3}$
• 변 $BC$의 중점을 $M$이라 하면 $\overline{AM} \perp \overline{BC}$, $\overline{DM} \perp \overline{BC}$이므로 $\angle AMD = \theta$이다.
• $\overline{AM} = \overline{DM} = \frac{\sqrt{3}}{2}a$ (정삼각형의 높이).
• 꼭짓점 $A$에서 밑면에 내린 수선의 발 $H$는 정삼각형 $\triangle BCD$의 무게중심이므로 $\overline{MH} = \frac{1}{3}\overline{DM} = \frac{1}{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)$.
• 직각삼각형 $\triangle AMH$에서 $\cos\theta = \frac{\overline{MH}}{\overline{AM}} = \frac{\frac{1}{3}(\sqrt{3}/2 a)}{\sqrt{3}/2 a} = \frac{1}{3}$.
[문제 16-2 | 응용]
밑면이 한 변의 길이가 $6\text{ cm}$인 정사각형이고 옆면이 모두 정삼각형인 정사각뿔 $O-ABCD$가 있다. 옆면 $\triangle OAB$와 밑면 $ABCD$가 이루는 각의 크기를 $\alpha$라 할 때, $\cos\alpha$와 $\tan\alpha$의 값을 각각 구하시오.
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정답: $\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\tan\alpha = \sqrt{2}$
• 변 $AB$의 중점을 $M$, 밑면의 중심(대각선 교점)을 $H$라 하면 $\overline{OM} \perp \overline{AB}$, $\overline{HM} \perp \overline{AB}$이므로 $\angle OMH = \alpha$.
• 옆면 정삼각형의 높이 $\overline{OM} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 6 = 3\sqrt{3}\text{ cm}$.
• 밑면 중심에서 변까지의 거리 $\overline{HM} = \frac{6}{2} = 3\text{ cm}$.
• 직각삼각형 $\triangle OHM$에서 $\cos\alpha = \frac{\overline{HM}}{\overline{OM}} = \frac{3}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
• 정사각뿔 높이 $\overline{OH} = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 - 3^2} = \sqrt{27 - 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\text{ cm}$.
• $\tan\alpha = \frac{\overline{OH}}{\overline{HM}} = \frac{3\sqrt{2}}{3} = \sqrt{2}$.
🌿 율초의 핵심 비책: 정다면체와 각뿔의 이면각은 교선에 수직인 단면을 잘라내는 삼수선의 정리 모델을 세우면 평면 직각삼각형으로 100% 단순화됩니다.
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율초의 수학 통찰 | 삼각비는 '각도'를 '길이'로 번역하는 위대한 언어다
우리가 지금까지 배웠던 평면기하학은 자로 잰 길이의 세계였습니다.
그러나 중3 삼각비에 들어서는 순간, 인류는 '눈에 보이지 않는 각도($\theta$)'를 '손으로 만질 수 있는 길이($\sin, \cos$)'로 변환하는 마법의 번역기를 얻게 됩니다.
• 빗변을 타고 올라가는 높이($\sin$),
• 바닥을 지탱하는 그림자의 길이($\cos$),
• 그리고 산을 오르는 가파른 경사의 기울기($\tan$).
이 세 가지 비율은 단순히 삼각형 안에 갇혀 있지 않습니다. 단위사분원을 거쳐 $0^\circ$와 $90^\circ$의 경계를 넘고, 고등학교에 올라가 삼각함수의 물결치는 파동(Wave)으로 우주와 음향, 인공지능 신호 처리를 설명하는 핵심 무기가 됩니다.
오늘 정리한 16개 핵심 유형과 32개의 문제를 통해, 공식을 외우는 계산자가 아니라 도형의 보이지 않는 관계를 꿰뚫는 기하학자의 시선을 완성하시길 진심으로 응원합니다.
— 율초의 수학연구소, 1%의 수학적 사고력을 향하여
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