율초의 수학연구소

대부분의 학생이 $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$ 같은 부정형 계산 공식은 기계적으로 외우지만, "왜 이 형태에서는 약분을 해야 하는지", "왜 유리화나 통분이 필연적인지"에 대한 식의 구조를 파악하지 못해 준킬러 이상에서 번번이 무너집니다.

이번 글에서는 실전 시험에서 출제되는 4대 부정형의 원리적 접근법, 상세 예제, 그리고 학생들이 가장 많이 걸려 넘어지는 실전 함정까지 완벽하게 총정리합니다.

1. $\frac{0}{0}$ 꼴 (다항식형 & 무리식형)

실전 예제 풀이

[예제 1: 다항식 인수분해]

[예제 2: 무리식 유리화]

2. $\frac{\infty}{\infty}$ 꼴 (최고차항 계수비 비교)

$x \to \infty$ 상황에서는 최고차항이 식 전체의 증가 속도를 지배합니다. 차수가 낮은 항들은 최고차항 대비 $0$으로 수렴하는 들러리에 불과합니다.

실전 기본 예제

3. $\infty - \infty$ 꼴 (무리식 유리화의 실체)

실전 헷갈리는 3대 유형

• 유형 1 (유리화 금지 낚시): $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2+5x} - x)$
  앞 항의 실질 차수는 $2x$, 뒷 항은 $1x$로 증가 속도가 다릅니다. 유리화할 필요 없이 $2x - x = x \to +\infty$ (발산)으로 즉시 판정합니다.
• 유형 2 ($x \to -\infty$ 부호 착각): $\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2-3x} - x)$
  $x = -t$로 치환하면 $\lim_{t \to \infty} (\sqrt{t^2+3t} + t)$가 되어 $\infty + \infty$ 꼴의 확정형입니다. 정답은 $+\infty$ (발산)입니다.
• 유형 3 (이중 유리화): 분모·분자가 모두 무리식 뺄셈인 경우 분모와 분자의 켤레식을 동시에 곱합니다. $$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x+2} - \sqrt{x}}{\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}} = \lim_{x \to \infty} \frac{2(\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1})}{2(\sqrt{x+2} + \sqrt{x})} = \frac{1+1}{1+1} = 1$$

4. $0 \times \infty$ 꼴 (통분의 필연성)

실전 헷갈리는 3대 유형

• 유형 1 (통분 후 추가 유리화):
  $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( \frac{1}{\sqrt{x+4}} - \frac{1}{2} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{2-\sqrt{x+4}}{2\sqrt{x+4}} = \lim_{x \to 0} \frac{-x}{2x\sqrt{x+4}(2+\sqrt{x+4})} = -\frac{1}{16}$$
• 유형 2 ($x \to \infty$ 인수 변형):
  $$\lim_{x \to \infty} x \left( 1 - \frac{x+1}{x+3} \right) = \lim_{x \to \infty} x \cdot \frac{2}{x+3} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{x+3} = 2$$
• 유형 3 (0인자 차수 불균형):
  $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \left( \frac{1}{x+1} - 1 \right) = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{1}{x^2} \cdot \frac{-x}{x+1} \right] = \lim_{x \to 0} \frac{-1}{x(x+1)} \quad \to \text{극한값 없음 (발산)}$$