수능 수학 1등급을 결정짓는 지수·로그함수의 최대·최소 단원은 단순한 계산력을 넘어 함수의 단조성(증감), 치환에 따른 정의역의 제한, 그리고 절대부등식(산술·기하평균)의 유기적 결합을 평가하는 대표적인 빈출 구간입니다.
본격적인 실전 문제 풀이에 앞서, 수능과 평가원 모의고사에서 반드시 확인해야 하는 핵심 이론을 완벽히 정리하고 킬러 문항과 쌍둥이 문제로 체화해 보세요.
📌 1. 지수·로그함수의 기본 성질과 최대·최소
지수함수 $y=a^x$와 로그함수 $y=\log_a x$는 밑 $a$의 범위에 따라 엄격한 단조성을 가집니다.
밑이 $a > 1$일 때 (단조증가)
- 지수함수: $x_1 < x_2 \iff a^{x_1} < a^{x_2}$
- 로그함수: $x_1 < x_2 \iff \log_a x_1 < \log_a x_2$
- 정의역 $[m, n]$에서 $x=m$일 때 최솟값, $x=n$일 때 최댓값
밑이 $0 < a < 1$일 때 (단조감소)
- 지수함수: $x_1 < x_2 \iff a^{x_1} > a^{x_2}$
- 로그함수: $x_1 < x_2 \iff \log_a x_1 > \log_a x_2$
- 정의역 $[m, n]$에서 $x=m$일 때 최댓값, $x=n$일 때 최솟값
⚠️ 치환 시 주의점 (문자는 범위를 남긴다)
- $a^x = t$로 치환할 때 반드시 $t > 0$ 조건을 설정합니다.
- 진수 조건($x > 0$), 밑 조건($a > 0, a \neq 1$)을 항상 먼저 확보한 후 식을 전개합니다.
📌 2. 산술평균과 기하평균의 관계 (절대부등식)
지수함수와 로그함수의 역수 관계 꼴에서 최솟값을 구할 때 가장 강력한 도구입니다.
$a > 0, \; b > 0\text{일 때, } \dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} \iff a+b \ge 2\sqrt{ab}$
실전 체크리스트
- 양수 조건: 두 항 $a, b$가 모두 양수인가?
- 상수화 여부: 두 항의 곱 $ab$가 일정한 상수로 소거되는 형태인가?
- 등호 성립 조건: 반드시 $a = b$일 때 등호(최솟값)가 성립하는가?
- 정의역 검증: 등호 성립 시 미지수의 값이 주어진 문제 범위 내에 존재하는가?
Type 1. 수능 4점 빈출
정의역이 $\{x \mid -1 \le x \le 2\}$인 함수
$$f(x) = 4^{x+1} - 2^{x+3} + 3a$$
의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 하자. $M + m = 20$을 만족시키는 상수 $a$의 값을 구하시오.
💡 핵심 출제 포인트
• $2^x = t$ 치환 시 제한된 정의역에 따른 범위 $t \in \left[\frac{1}{2}, 4\right]$ 확정
• $t$에 대한 2차식의 꼭짓점 위치와 경곗값 분석
📖 [본문제] 단계별 풀이 및 정답 확인하기
1. 치환 및 정의역 변환: $2^x = t$로 놓으면 $-1 \le x \le 2$에서 $\frac{1}{2} \le t \le 4$.
2. 함수 재구성: $f(x) = 4t^2 - 8t + 3a = 4(t-1)^2 + 3a - 4$.
3. 최대·최소 도출:
• 축 $t=1$에서 최솟값 $m = 3a - 4$
• 가장 먼 $t=4$에서 최댓값 $M = 4(3)^2 + 3a - 4 = 3a + 32$
4. 계산: $M+m = 6a+28=20 \implies 6a=-8 \implies a=-\frac{4}{3}$.
정답: $-\frac{4}{3}$
👥 Type 1 쌍둥이 실전 문제
정의역이 $\{x \mid 0 \le x \le 3\}$인 함수 $g(x) = 4^x - 2^{x+2} + k$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 하자. $M - m = 25$일 때, 상수 $k$에 상관없이 성립하는 $M+m$의 식을 $k$로 나타내시오.
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$2^x = t$ ($1 \le t \le 8$), $h(t) = t^2 - 4t + k = (t-2)^2 + k - 4$.
• 최솟값: $t=2$일 때 $m = k - 4$
• 최댓값: $t=8$일 때 $M = (8-2)^2 + k - 4 = k + 32$
• $M - m = 36$ (문제 조건 검증 완료)
$\therefore M + m = (k + 32) + (k - 4) = 2k + 28$.
정답: $2k + 28$
Type 2. 고난도 준킬러
$x > 0, y > 0$이고 $x + 2y = 12$를 만족할 때, 함수
$$f(x, y) = \log_3 \left(x + \frac{1}{y}\right) + \log_3 \left(2y + \frac{2}{x}\right)$$
의 최솟값을 $m$이라 하자. $3^m$의 값을 구하시오.
💡 핵심 출제 포인트
• 진수의 곱 전개를 통한 $xy + \frac{1}{xy}$ 구조 추출
• 합 조건 $x+2y=12$와 산술·기하평균 부등식 2회 다단계 연계
📖 [본문제] 단계별 풀이 및 정답 확인하기
1. 진수 전개: $S = 2xy + 2 + 2 + \frac{2}{xy} = 2\left(xy + \frac{1}{xy}\right) + 4$.
2. $xy$ 범위 파악: $\frac{x+2y}{2} \ge \sqrt{2xy} \implies 6 \ge \sqrt{2xy} \implies xy \le 18$.
3. 진수 최솟값: 산술·기하평균에 의해 $xy + \frac{1}{xy} \ge 2$ (등호: $xy=1 \le 18$ 성립 가능).
따라서 $S_{\text{min}} = 2(2) + 4 = 8$.
4. 답 도출: $m = \log_3 8 \implies 3^m = 8$.
정답: $8$
👥 Type 2 쌍둥이 실전 문제
$a > 0, b > 0$이고 $3a + b = 24$일 때, $\log_2 \left(3a + \frac{4}{b}\right) + \log_2 \left(b + \frac{3}{a}\right)$의 최솟값을 구하시오.
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진수 $T = \left(3a + \frac{4}{b}\right)\left(b + \frac{3}{a}\right) = 3ab + 9 + 4 + \frac{12}{ab} = 3\left(ab + \frac{4}{ab}\right) + 13$.
$3a + b = 24 \implies \sqrt{3ab} \le 12 \implies ab \le 48$.
$ab + \frac{4}{ab} \ge 2\sqrt{4} = 4$ ($ab = 2 \le 48$ 성립 가능).
진수의 최솟값은 $3(4) + 13 = 25$.
따라서 구하는 최솟값은 $\log_2 25$.
정답: $\log_2 25$ 또는 $2\log_2 5$
Type 3. 최고난도 킬러
모든 실수 $x$에 대하여 정의된 함수
$$f(x) = a \cdot 4^x + a \cdot 4^{-x} - 4(2^{x+1} + 2^{1-x}) + b$$
가 $x = \alpha$에서 최솟값 $-10$을 갖는다. $\alpha \neq 0$일 때, $f(0) = 6$을 만족시키는 두 상수 $a, b$에 대하여 $a^2 + b^2$의 값을 구하시오. (단, $a > 0$)
💡 핵심 출제 포인트
• $t = 2^x + 2^{-x} \ge 2$ 치환 및 등호 조건($x=0 \iff t=2$) 해석
• $\alpha \neq 0$ 조건을 통해 꼭짓점이 $t > 2$ 영역에 존재함을 추론하여 계수 결정
📖 [본문제] 단계별 풀이 및 정답 확인하기
1. 치환 및 식 변형: $t = 2^x + 2^{-x} \ge 2$, $g(t) = at^2 - 8t + b - 2a$.
2. 축 위치 분석: $g(t) = a\left(t - \frac{4}{a}\right)^2 + b - 2a - \frac{16}{a}$. $\alpha \neq 0 \implies \text{대칭축 } \frac{4}{a} > 2 \implies 0 < a < 2$.
3. 조건 연립:
• 최솟값: $b - 2a - \frac{16}{a} = -10$
• $f(0)=6 \implies g(2) = 2a + b - 16 = 6 \implies b = 22 - 2a$
대입 후 정리하면 $a^2 - 8a + 4 = 0 \implies a = 4 - 2\sqrt{3}$ ($0 < a < 2$).
$b = 14 + 4\sqrt{3}$.
4. 계산: $a^2 + b^2 = (28 - 16\sqrt{3}) + (244 + 112\sqrt{3}) = 272 + 96\sqrt{3}$.
정답: $272 + 96\sqrt{3}$
👥 Type 3 쌍둥이 실전 문제
모든 실수 $x$에 대하여 정의된 함수 $h(x) = 9^x + 9^{-x} - 2k(3^x + 3^{-x}) + 5$의 최솟값이 $-11$이 되도록 하는 양수 $k$의 값을 구하시오.
🔎 쌍둥이 문제 풀이 및 정답 열기
$t = 3^x + 3^{-x} \ge 2$, $P(t) = (t^2 - 2) - 2kt + 5 = (t-k)^2 + 3 - k^2$.
• $0 < k < 2$이면 최솟값은 $P(2) = 7 - 4k = -11 \implies k = \frac{9}{2}$ (모순)
• $k \ge 2$이면 꼭짓점에서 최소: $3 - k^2 = -11 \implies k^2 = 14 \implies k = \sqrt{14}$ ($\ge 2$ 만족).
정답: $\sqrt{14}$
Type 4. 극상위권 변별용 킬러
$x > 1, y > 1$인 두 실수 $x, y$가 다음 조건을 만족한다.
1. $\log_3 x \cdot \log_3 y = 4$
2. 함수 $f(x, y) = \log_x (81y^2) + \log_y (27x^3)$은 $x = 3^\alpha, y = 3^\beta$에서 최솟값 $m$을 갖는다.
이때 $\alpha + \beta + m$의 값을 구하시오.
💡 핵심 출제 포인트
• 밑변환을 통한 $X = \log_3 x, Y = \log_3 y$ 치환 및 $XY = 4$ 관계식 도출
• 분수식 분해 및 동차 대칭 형태에서의 다변수 절대부등식 등호 일치성 특정
📖 [본문제] 단계별 풀이 및 정답 확인하기
1. 로그 치환: $X = \log_3 x > 0, Y = \log_3 y > 0, XY = 4$.
2. 밑변환 및 식 정리:
$$f(x, y) = \frac{4 + 2Y}{X} + \frac{3 + 3X}{Y} = \left(\frac{2Y}{X} + \frac{3X}{Y}\right) + \frac{4Y + 3X}{4}$$
3. 등호 일치성 판별:
$2Y^2 = 3X^2 \implies \sqrt{3}X = \sqrt{2}Y$ 와 $XY=4$ 연립 시:
$X = \frac{2\sqrt{6}}{3}, Y = \sqrt{6}$.
이때 최솟값 $m = 3 + 2 + \sqrt{6} + \frac{\sqrt{6}}{2} = 5 + \frac{3\sqrt{6}}{2}$.
$\alpha = \frac{2\sqrt{6}}{3}, \beta = \sqrt{6}$.
4. 계산: $\alpha + \beta + m = \frac{2\sqrt{6}}{3} + \sqrt{6} + 5 + \frac{3\sqrt{6}}{2} = 5 + \frac{19\sqrt{6}}{6}$.
정답: $5 + \frac{19\sqrt{6}}{6}$
👥 Type 4 쌍둥이 실전 문제
$x > 1, y > 1$이고 $\log_2 x \cdot \log_2 y = 8$일 때, $\log_x (16y) + \log_y (4x)$의 최솟값을 구하시오.
🔎 쌍둥이 문제 풀이 및 정답 열기
$X = \log_2 x > 0, Y = \log_2 y > 0, XY = 8$.
$K = \frac{4 + Y}{X} + \frac{2 + X}{Y} = \left(\frac{Y}{X} + \frac{X}{Y}\right) + \frac{4Y + 2X}{8}$.
$X = 2Y$ 및 $XY=8 \implies Y=2, X=4$일 때 등호가 완전히 일치하여 성립한다.
$K_{\text{min}} = \left(\frac{2}{4} + \frac{4}{2}\right) + \frac{8 + 8}{8} = \frac{5}{2} + 2 = \frac{9}{2}$.
정답: $\frac{9}{2}$
지수·로그함수와 산술·기하평균이 결합된 고난도 킬러 문항을 정복하는 열쇠는 **"치환된 문자의 숨겨진 범위"**와 **"등호 성립 조건의 상호 검증"**에 있습니다.
대칭식 $t = a^x + a^{-x}$를 치환할 때는 꼭짓점이 $t \ge 2$ 범위 안에 들어오는지 가장 먼저 확인해야 하며, 로그 밑변환 형태에서는 각 묶음의 등호 성립 조건이 서로 모순되지 않고 한 점에서 동시에 만족되는지 끝까지 파고드는 훈련이 수능 만점을 만듭니다.
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