수능수학 1등급 올리기
[미적분 킬러] 음함수·역함수 미분법과 매개변수 곡선의 극대·극소 완전 정복
수능 미적분 선택과목 28번과 29번에서 수험생들의 발목을 가장 흔하게 잡는 파트가 바로 음함수·역함수 미분법과 매개변수 곡선입니다. 겉보기에는 단순히 미분 공식만 대입하면 풀릴 것처럼 보이지만, 1등급을 가르는 킬러 문항은 "식을 직접 $y=$ 꼴로 정리할 수 없는 상태"에서 출제됩니다.
평가원이 묻는 본질은 복잡한 식 정리가 아닙니다. 새로운 매개변수 $t$가 주어졌을 때 교점의 좌표나 접선의 접점을 $g(t)$로 치환하고, 이를 원래 방정식에 대입하여 '항등식'을 세운 뒤 양변을 미분하는 능력입니다. 이 구조적 메커니즘을 꿰뚫지 못하면 불필요한 연산에 갇혀 시험 시간을 15분 이상 낭비하게 됩니다. 실전에서 즉시 반응해야 할 핵심 원리와 행동 강령을 정리합니다.
1. 음함수·역함수·매개변수 킬러의 3대 핵심 메커니즘
원리 1. '좌표를 함수로 정의하기'와 항등식 세우기
곡선 $y=f(x)$ 위의 접선이나 교점의 $x$좌표가 매개변수 $t$에 의해 결정된다면, 그 좌표를 주저 없이 $x = g(t)$로 둡니다.
- 교점의 성질에 의해 $F(g(t), t) = 0$ 꼴의 항등식이 유도됩니다.
- $g(t)$ 자체의 식을 직접 구할 필요가 없습니다. 항등식의 양변을 $t$에 대해 미분(합성함수 미분법)하여 필요한 미분계수 $g'(t)$를 대수적으로 추출합니다.
원리 2. 역함수 미분법의 '대칭성 기반 일대일 대응'
함수 $y=f(x)$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, 단순히 $(f^{-1})'(a) = \frac{1}{f'(g(a))}$ 공식을 암기하는 것을 넘어 대응점의 위치 관계를 파악해야 합니다.
- $g(b) = a \iff f(a) = b$ 관계에서 $g'(b) = \frac{1}{f'(a)}$ 가 성립합니다.
- 합성함수와 결합될 때: $h(t) = f(g(t))$ 꼴에서 역함수 관계가 얽힐 경우, 항등식 $f(g(x)) = x$를 기본 뼈대로 세우고 체인 룰(Chain Rule)을 단계별로 풀어냅니다.
원리 3. 매개변수 곡선의 극대·극소와 수직/수평 접선 판정
매개변수 $x = f(t), y = g(t)$로 나타내어지는 곡선에서 접선의 기울기는 다음과 같습니다:
$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{g'(t)}{f'(t)} \quad (단, f'(t) \neq 0)$$
- 극대·극소 (수평 접선, $\frac{dy}{dx} = 0$): 분자 $g'(t) = 0$ 이면서 분모 $f'(t) \neq 0$인 지점.
- 수직 접선 ($\frac{dy}{dx}$ 정의 불가 / 발산): 분모 $f'(t) = 0$ 이면서 분자 $g'(t) \neq 0$인 지점.
- 변수 $t$가 증가함에 따라 $x$축 방향 이동 방향($f'(t)$의 부호)과 $y$축 방향 이동 방향($g'(t)$의 부호)이 결정되므로, 매개변수 궤적의 꺾임과 방향 전환을 그래프 개형으로 직관화해야 합니다.
2. 평가원 28·29번 빈출 킬러 설계 구조
구조 1. 원점에서 그은 접선의 접점을 $t$의 함수로 정의하는 유형
기울기가 $t$인 직선이나 점 $(t, 0)$에서 곡선 $y=f(x)$에 그은 접선의 접점을 $x = g(t)$로 두는 형태입니다.
접선 방정식 $y - f(g(t)) = f'(g(t))(x - g(t))$ 에 주어진 점을 대입하여 $t$와 $g(t)$ 사이의 관계식을 도출한 뒤, 양변 미분으로 $g'(t)$를 구하는 흐름이 킬러의 전형적인 알고리즘입니다.
구조 2. 음함수 위의 점과 외부 동점 사이의 최소 거리(법선 조건)
곡선 $F(x, y) = 0$ 위의 점 $P$와 직선 또는 동점 사이의 거리가 최소가 되는 순간은 접선의 기울기와 법선의 방향 벡터가 일치할 때입니다. 거리를 매개변수 함수로 표현한 후 미분계수가 0이 되는 조건을 음함수 미분법과 결합하여 해결합니다.
3. 실전 킬러 기출 예제 & 고난도 변형 트레이닝 (10대 핵심 유형)
유형 01
지수함수 접선과 매개변수 항등식 미분
[기출 예제 1]
양의 실수 $t$에 대하여 곡선 $y = e^x$ 위의 점 $(t, e^t)$에서의 접선이 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표를 $g(t)$라 하자. 함수 $h(t) = g(t)e^{2t}$에 대하여 $h'(1)$의 값을 구하시오.
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정답: $e^2$
[풀이] 점 $(t, e^t)$에서의 접선은 $y - e^t = e^t(x - t)$이다. $y=0$을 대입하면 $-e^t = e^t(g(t) - t) \implies g(t) = t - 1$.
$h(t) = (t - 1)e^{2t}$이므로 $h'(t) = 1 \cdot e^{2t} + 2(t - 1)e^{2t} = (2t - 1)e^{2t}$. 따라서 $h'(1) = e^2$.
[1:1 고난도 변형 1]
양의 실수 $t$에 대하여 곡선 $y = 2e^{2x}$ 위의 점 $(t, 2e^{2t})$에서의 접선이 $x$축과 만나는 점을 $(g(t), 0)$이라 하자. 함수 $k(t) = \{g(t)\}^2 e^{4t}$에 대하여 $k'(1)$의 값을 구하시오.
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정답: $2e^4$
[풀이] $y' = 4e^{2x}$이므로 접선 방정식은 $y - 2e^{2t} = 4e^{2t}(x - t)$. $y=0$ 대입 시 $-2 = 4(g(t) - t) \implies g(t) = t - \frac{1}{2}$.
$k(t) = \left(t - \frac{1}{2}\right)^2 e^{4t}$. 미분하면 $k'(t) = 2\left(t - \frac{1}{2}\right)e^{4t} + 4\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 e^{4t}$.
$t=1$ 대입: $k'(1) = 2\left(\frac{1}{2}\right)e^4 + 4\left(\frac{1}{4}\right)e^4 = e^4 + e^4 = 2e^4$.
유형 02
로그함수 접선과 $y$절편 매개함수 미분
[기출 예제 2]
곡선 $y = \ln x$ ($x>0$) 위의 점 $(t, \ln t)$에서의 접선이 $y$축과 만나는 점의 $y$좌표를 $f(t)$라 하자. $f'(e)$의 값을 구하시오.
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정답: $\frac{1}{e}$
[풀이] $y' = \frac{1}{x}$이므로 접선은 $y - \ln t = \frac{1}{t}(x - t) = \frac{1}{t}x - 1$.
따라서 $y$절편 $f(t) = \ln t - 1$. 이를 미분하면 $f'(t) = \frac{1}{t}$이므로 $f'(e) = \frac{1}{e}$.
[1:1 고난도 변형 2]
곡선 $y = x\ln x$ ($x>0$) 위의 점 $(t, t\ln t)$에서의 접선의 $y$절편을 $g(t)$라 할 때, 함수 $h(t) = \frac{g(t)}{t}$에 대하여 $h'(e^2)$의 값을 구하시오.
👉 변형 문제 2 정답 및 풀이 열기
정답: $0$
[풀이] $y' = \ln x + 1$이므로 접선의 $y$절편 공식에 의해 $g(t) = t\ln t - t(\ln t + 1) = -t$.
따라서 $h(t) = \frac{-t}{t} = -1$ (상수함수)이므로 $h'(e^2) = 0$.
유형 03
삼각함수 매개변수 곡선의 수평/수직 접선과 극대·극소
[기출 예제 3]
매개변수 $\theta$ ($0 < \theta < \pi$)로 나타내어진 곡선 $x = 2\cos\theta, \; y = 3\sin\theta$ 위의 점 중 접선의 기울기가 $-1$이 되는 점의 $x$좌표를 구하시오.
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정답: $\frac{4\sqrt{13}}{13}$
[풀이] $\frac{dx}{d\theta} = -2\sin\theta, \; \frac{dy}{d\theta} = 3\cos\theta$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{3\cos\theta}{-2\sin\theta} = -\frac{3}{2}\cot\theta = -1 \implies \tan\theta = \frac{3}{2}$.
$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$이므로 $\cos\theta = \frac{2}{\sqrt{13}}$. 따라서 $x = 2\cos\theta = \frac{4\sqrt{13}}{13}$.
[1:1 고난도 변형 3]
매개변수 $t$ ($0 < t < \frac{\pi}{2}$)로 나타내어진 곡선 $x = \cos^3 t, \; y = \sin^3 t$ 위의 점 $P$에서의 접선이 $x$축, $y$축과 만나는 점을 각각 $A, B$라 하자. 선분 $AB$의 길이의 최솟값을 구하시오.
👉 변형 문제 3 정답 및 풀이 열기
정답: $1$
[풀이] $\frac{dx}{dt} = -3\cos^2 t \sin t, \; \frac{dy}{dt} = 3\sin^2 t \cos t \implies \frac{dy}{dx} = -\tan t$.
접선: $y - \sin^3 t = -\tan t(x - \cos^3 t)$.
$y=0$ 대입 시 $x = \cos t \implies A(\cos t, 0)$. $x=0$ 대입 시 $y = \sin t \implies B(0, \sin t)$.
$\overline{AB} = \sqrt{\cos^2 t + \sin^2 t} = 1$로 항상 일정합니다.
유형 04
분수식 형태의 음함수 미분과 기울기 조건
[기출 예제 4]
곡선 $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 4$ ($x>0, y>0$) 위의 점 $(a, b)$에서의 접선의 기울기가 $-1$일 때, 점 $(a, b)$의 위치 관계($a$와 $b$의 비율)를 구하시오.
👉 기출 예제 4 정답 및 풀이 열기
정답: $a = b$
[풀이] 양변에 $xy$를 곱하면 $x^2 + y^2 = 4xy$. 양변을 $x$로 미분: $2x + 2y y' = 4y + 4x y'$.
$y' = \frac{4y - 2x}{2y - 4x} = \frac{2y - x}{y - 2x} = -1 \implies 2y - x = -y + 2x \implies 3y = 3x \implies a = b$.
[1:1 고난도 변형 4]
곡선 $\frac{x^2}{x+y} + y = 3$ 위의 점 $(2, 1)$에서의 접선의 기울기 $\frac{dy}{dx}$의 값을 구하시오.
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정답: $-\frac{8}{5}$
[풀이] 분수 미분법 및 음함수 미분법 적용: $\frac{2x(x+y) - x^2(1 + y')}{(x+y)^2} + y' = 0$.
점 $(2, 1)$을 직접 대입 ($x=2, y=1 \implies x+y=3$):
$\frac{4(3) - 4(1 + y')}{9} + y' = 0 \implies \frac{8 - 4y'}{9} + y' = 0 \implies 8 + 5y' = 0 \implies y' = -\frac{8}{5}$.
유형 05
역함수의 미분계수 및 이계도함수 복합 연산
[기출 예제 5]
함수 $f(x) = x^3 + 2x + 1$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, 곡선 $y=g(x)$ 위의 점 $(4, g(4))$에서의 접선의 기울기 $g'(4)$의 값을 구하시오.
👉 기출 예제 5 정답 및 풀이 열기
정답: $\frac{1}{5}$
[풀이] $f(1) = 1 + 2 + 1 = 4 \implies g(4) = 1$.
$f'(x) = 3x^2 + 2 \implies f'(1) = 5$. 역함수 미분법에 의해 $g'(4) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{5}$.
[1:1 고난도 변형 5]
함수 $f(x) = x^3 + 3x - 2$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, 역함수의 이계도함수 값 $g''(2)$를 구하시오.
👉 변형 문제 5 정답 및 풀이 열기
정답: $-\frac{1}{36}$
[풀이] $f(1) = 2 \implies g(2) = 1$. $f'(x) = 3x^2 + 3 \implies f'(1) = 6$, $f''(x) = 6x \implies f''(1) = 6$.
$g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$의 양변을 미분하면 $g''(x) = -\frac{f''(g(x))g'(x)}{\{f'(g(x))\}^2}$.
$x=2$ 대입: $g''(2) = -\frac{f''(1) \cdot \frac{1}{6}}{6^2} = -\frac{6 \cdot \frac{1}{6}}{36} = -\frac{1}{36}$.
유형 06
초월함수 합성 꼴의 역함수 미분계수 추적
[기출 예제 6]
실수 전체에서 증가하는 미분가능한 함수 $f(x) = e^x + x - 2$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, 곡선 $y=g(x)$ 위의 점 $(g(-1), -1)$에 대응하는 $g'(-1)$의 값을 구하시오.
👉 기출 예제 6 정답 및 풀이 열기
정답: $\frac{1}{2}$
[풀이] $f(0) = e^0 + 0 - 2 = -1 \implies g(-1) = 0$.
$f'(x) = e^x + 1 \implies f'(0) = 2$. 따라서 $g'(-1) = \frac{1}{f'(0)} = \frac{1}{2}$.
[1:1 고난도 변형 6]
함수 $f(x) = \ln(e^x + 1) + 2x$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, 함수 $h(x) = g(2x)$에 대하여 $h'(\frac{\ln 2}{2})$의 값을 구하시오.
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정답: $\frac{4}{5}$
[풀이] $h'(x) = 2g'(2x)$ 이므로 $h'(\frac{\ln 2}{2}) = 2g'(\ln 2)$.
$f(0) = \ln(2) + 0 = \ln 2 \implies g(\ln 2) = 0$.
$f'(x) = \frac{e^x}{e^x + 1} + 2 \implies f'(0) = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$.
$g'(\ln 2) = \frac{1}{f'(0)} = \frac{2}{5}$. 따라서 $h'(\frac{\ln 2}{2}) = 2 \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{5}$.
유형 07
음함수로 주어진 타원·곡선의 극값 판정
[기출 예제 7]
방정식 $x^2 - xy + y^2 = 3$으로 정의된 곡선에서 $y$좌표가 최대가 되는 점의 좌표를 구하시오.
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정답: $(1, 2)$
[풀이] $y$가 극대가 되려면 접선의 기울기 $\frac{dy}{dx} = 0$이어야 합니다.
양변 미분: $2x - (y + xy') + 2yy' = 0 \implies y'(2y - x) = y - 2x \implies y' = \frac{y - 2x}{2y - x}$.
$y' = 0$이므로 $y = 2x$. 대입 시 $x^2 - 2x^2 + 4x^2 = 3 \implies 3x^2 = 3 \implies x = \pm 1$.
$x=1$일 때 $y=2$, $x=-1$일 때 $y=-2$. 따라서 최댓값을 주는 점은 $(1, 2)$.
[1:1 고난도 변형 7]
방정식 $x^2 + 2xy + 3y^2 = 12$로 정의된 닫힌 곡선에서 $x$좌표가 가질 수 있는 최댓값을 구하시오.
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정답: $3\sqrt{2}$
[풀이] $x$가 최대가 되는 순간은 접선이 $y$축과 평행할 때, 즉 $\frac{dx}{dy} = 0$일 때입니다.
$y$에 대해 미분: $2x \frac{dx}{dy} + 2\left(\frac{dx}{dy} y + x\right) + 6y = 0 \implies \frac{dx}{dy}=0$ 대입 시 $2x + 6y = 0 \implies x = -3y$.
대입 시 $9y^2 - 6y^2 + 3y^2 = 12 \implies 6y^2 = 12 \implies y = \pm\sqrt{2}$.
$y=-\sqrt{2}$일 때 $x = 3\sqrt{2}$ (최댓값).
유형 08
매개변수 함수의 이동 속도와 곡선의 길이
[기출 예제 8]
좌표평면 위를 움직이는 점 $P(x, y)$의 시각 $t$ ($t>0$)에서의 위치가 $x = t - \frac{1}{t}, \; y = 2\ln t$이다. 시각 $t=1$에서 $t=e$까지 점 $P$가 움직인 거리를 구하시오.
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정답: $e - \frac{1}{e}$
[풀이] $\frac{dx}{dt} = 1 + \frac{1}{t^2}, \; \frac{dy}{dt} = \frac{2}{t}$.
속력의 제곱: $(1 - \frac{1}{t^2})^2 + \frac{4}{t^2} = (1 + \frac{1}{t^2})^2$. 따라서 속력은 $1 + \frac{1}{t^2}$.
거리 $L = \int_1^e (1 + \frac{1}{t^2}) dt = \left[ t - \frac{1}{t} \right]_1^e = e - \frac{1}{e}$.
[1:1 고난도 변형 8]
시각 $t$ ($0 \le t \le \pi$)에서 움직이는 점 $P(x, y)$의 위치가 $x = e^t \cos t, \; y = e^t \sin t$이다. 점 $P$가 시각 $t=0$부터 $t=\pi$까지 움직인 거리를 구하시오.
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정답: $\sqrt{2}(e^\pi - 1)$
[풀이] $\frac{dx}{dt} = e^t(\cos t - \sin t), \; \frac{dy}{dt} = e^t(\sin t + \cos t)$.
속력: $\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} = \sqrt{e^{2t}[2]} = \sqrt{2}e^t$.
거리 $L = \int_0^\pi \sqrt{2}e^t dt = \sqrt{2}[e^t]_0^\pi = \sqrt{2}(e^\pi - 1)$.
유형 09
동점에서의 법선과 $x$절편 함수 $g(t)$ 미분
[기출 예제 9]
양의 실수 $t$에 대하여 곡선 $y = \frac{1}{x}$ 위의 점 $(t, \frac{1}{t})$에서의 법선(접선에 수직인 직선)이 $x$축과 만나는 점을 $(g(t), 0)$이라 하자. $g'(1)$의 값을 구하시오.
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정답: $4$
[풀이] $y' = -\frac{1}{x^2}$이므로 접선의 기울기는 $-\frac{1}{t^2}$, 법선의 기울기는 $t^2$이다.
법선 방정식: $y - \frac{1}{t} = t^2(x - t)$. $y=0$ 대입 시 $-\frac{1}{t} = t^2(g(t) - t) \implies g(t) = t - \frac{1}{t^3}$.
미분: $g'(t) = 1 + \frac{3}{t^4}$. 따라서 $g'(1) = 1 + 3 = 4$.
[1:1 고난도 변형 9]
곡선 $y = \sqrt{x}$ ($x>0$) 위의 점 $(t, \sqrt{t})$에서의 법선이 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표를 $h(t)$라 할 때, 곡선 $y=h(t)$의 $t=4$에서의 접선의 기울기를 구하시오.
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정답: $1$
[풀이] $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \implies$ 접선 기울기 $\frac{1}{2\sqrt{t}}$, 법선 기울기 $-2\sqrt{t}$.
법선: $y - \sqrt{t} = -2\sqrt{t}(x - t)$. $y=0$ 대입: $-\sqrt{t} = -2\sqrt{t}(h(t) - t) \implies h(t) = t + \frac{1}{2}$.
따라서 $h'(t) = 1$이므로 $h'(4) = 1$.
유형 10
[킬러] 외부 동점에서 그은 접선의 접점 항등식
[기출 예제 10]
실수 $t$에 대하여 점 $(t, 0)$에서 곡선 $y = e^x$에 그은 접선의 접점의 $x$좌표를 $f(t)$라 하자. 함수 $f(t)$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, $g'(2)$의 값을 구하시오.
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정답: $1$
[풀이] 접점에서의 접선: $y - e^{f(t)} = e^{f(t)}(x - f(t))$. 점 $(t, 0)$을 대입하면:
$-e^{f(t)} = e^{f(t)}(t - f(t)) \implies -1 = t - f(t) \implies t = f(t) - 1$.
역함수 정의에 의해 $g(x) = x - 1$이므로 $g'(x) = 1 \implies g'(2) = 1$.
[1:1 고난도 변형 10]
양수 $t$에 대하여 점 $(0, t)$에서 곡선 $y = \ln x$에 그은 접선의 접점의 $x$좌표를 $g(t)$라 하자. 함수 $h(t) = \frac{g(t)}{t}$에 대하여 $h'(e-1)$의 값을 구하시오.
👉 변형 문제 10 정답 및 풀이 열기
정답: $\frac{(e-2)e^e}{(e-1)^2}$
[풀이] 접점 $(g(t), \ln(g(t)))$에서의 접선: $y - \ln(g(t)) = \frac{1}{g(t)}(x - g(t))$.
점 $(0, t)$를 지나므로: $t - \ln(g(t)) = -1 \implies \ln(g(t)) = t + 1 \implies g(t) = e^{t+1}$.
$h(t) = \frac{e^{t+1}}{t}$. 미분하면 $h'(t) = \frac{(t-1)e^{t+1}}{t^2}$.
$t = e - 1$ 대입 시: $h'(e-1) = \frac{(e-2)e^e}{(e-1)^2}$.
✍️
수능 수학 1등급을 향한 율초의 한마디
미적분 28번과 29번을 마주했을 때 많은 수험생들이 복잡한 식을 보고 덜컥 겁을 먹거나, 어떻게든 양함수 $y=f(x)$ 꼴로 식을 예쁘게 정리하려다 소중한 10분을 허비하곤 합니다.
하지만 오늘 함께 정리한 10대 유형을 관통하는 원리는 단 하나입니다.
"식을 직접 구하려 하지 말고, 좌표를 함수 $g(t)$로 둔 뒤 항등식을 세워 미분하라."
평가원은 여러분에게 복잡한 계산 노동을 요구하지 않습니다. 식이 감추고 있는 대칭성과 매개변수 사이의 구조적 연결 고리를 꿰뚫어 볼 수 있는지를 묻습니다.
오늘 다룬 10개의 대표 기출과 1:1 변형 문제를 스스로의 힘으로 펜을 끝까지 밀어붙여 풀었다면, 여러분은 이미 미적분 킬러의 가장 높은 벽 하나를 넘어선 것입니다. 흔들리지 않는 개념과 직관적인 시선으로 수능 날 당당히 1등급을 거머쥐길 진심으로 응원합니다.
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