두 직선의 수직 조건($m_1 m_2 = -1$, $aa' + bb' = 0$)은 단순한 고1 직선 단원의 계산 공식에 그치지 않습니다. 원의 접선과 법선의 방정식을 3초 만에 세우는 나침반이자, 고2·고3 수능 미적분에서 곡선의 법선 및 최단거리 극값 판별, 그리고 기하 공간도형의 삼수선 정리와 벡터 내적($\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$)의 직교 판별로 이어지는 '고등 기하학 전체의 절대적 기준선'입니다.
이번 실전유형 편에서는 복잡한 대수적 노가다를 완전히 걷어냅니다. "중점 통과 + 음의 역수 기울기로 수직이등분선 1줄 작성, 마름모 대각선의 직교 분할, 그리고 지름의 원주각($90^\circ$)을 이용한 탈레스 원의 자취 직관"이라는 강력한 무기만으로 수능 4점과 내신 1등급 킬러 15제, 그리고 1:1 고난도 변형 자가진단 문제를 가장 빠르고 명쾌하게 꿰뚫는 눈을 열어드립니다. 먼저 스스로 식을 세워보고, 토글을 열어 단계별 풀이와 비교해 보세요.
💡 수직 실전 킬러 자가 점검 체크리스트
1. 수직이등분선: 연립하지 말고 "중점 통과 + 음의 역수 기울기($-\dfrac{1}{m}$)"로 1줄 작성한다.
2. 마름모·직교 대각선: 대각선이 서로를 수직이등분하므로 "중점 일치 + 기울기 곱 $-1$"로 미지수를 동시 소거한다.
3. 수직 교점의 자취: 매개변수를 억지로 소거하지 말고 "지름의 원주각($90^\circ$)" 직관으로 원을 파악한다.
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테마 1. 수직이등분선과 고난도 선대칭 (1번 ~ 4번)
[문제 01] 선분의 수직이등분선과 동점의 거리 제곱합 최소 (준킬러)
두 점 $A(-1, 5)$, $B(3, 1)$을 잇는 선분 $AB$의 수직이등분선 위의 임의의 점 $P$에 대하여, 두 점 $C(2, 6)$, $D(6, 2)$에 이르는 거리의 제곱의 합 $\overline{PC}^2 + \overline{PD}^2$의 최솟값을 구하시오.
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정답: $20$
[풀이]
1) 선분 $AB$의 수직이등분선 방정식 구하기:
- 중점 $M$: $\left(\dfrac{-1+3}{2}, \dfrac{5+1}{2}\right) = (1, 3)$
- 선분 $AB$ 기울기: $\dfrac{1-5}{3-(-1)} = -1 \implies$ 수직이등분선의 기울기는 $1$
- 수직이등분선 $l$: $y - 3 = 1(x - 1) \implies y = x + 2 \implies x - y + 2 = 0$
2) 중선정리(파푸스의 정리)를 이용한 최솟값 해석:
선분 $CD$의 중점을 $N$이라 하면, $N\left(\dfrac{2+6}{2}, \dfrac{6+2}{2}\right) = (4, 4)$ 입니다.
파푸스의 정리에 의해 $\overline{PC}^2 + \overline{PD}^2 = 2(\overline{PN}^2 + \overline{CN}^2)$ 이 성립합니다.
$\overline{CN}^2 = (4-2)^2 + (4-6)^2 = 4 + 4 = 8$ (상수).
따라서 $\overline{PN}$의 길이가 최소일 때 전체 식도 최소가 되며, 이는 점 $N(4, 4)$에서 직선 $l : x - y + 2 = 0$에 내린 수선의 발일 때입니다.
$\overline{PN}_{\text{min}} = \dfrac{|4 - 4 + 2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \implies \overline{PN}^2_{\text{min}} = 2$
따라서 구하는 최솟값은 $2(2 + 8) = \mathbf{20}$ 입니다.
💡 율초의 실전 팁
수직이등분선 위의 점 $P(t, t+2)$를 잡아 무작정 이차함수로 전개해도 풀리지만, "두 정점과의 거리 제곱의 합은 중선정리 $2(\overline{PN}^2 + \overline{CN}^2)$로 전환하여 점과 직선 사이의 거리 공식으로 귀결시킨다"는 발상이 계산 실수를 100% 차단하는 1등급 루틴입니다.
🎯 [자가진단 변형문제 01] (중선정리 융합 심화)
두 점 $A(1, 7)$, $B(5, -1)$의 수직이등분선 위의 임의의 점 $P$에 대하여, 두 점 $C(-2, 1)$, $D(2, 5)$에 이르는 거리의 제곱의 합 $\overline{PC}^2 + \overline{PD}^2$의 최솟값을 구하시오.
변형문제 해설 확인
정답: $26$
해설:
선분 $AB$ 중점 $M(3, 3)$, 기울기 $\dfrac{-1-7}{5-1} = -2 \implies$ 수직이등분선 기울기 $\dfrac{1}{2}$.
수직이등분선 $l: y - 3 = \dfrac{1}{2}(x - 3) \implies x - 2y + 3 = 0$.
$CD$의 중점 $N(0, 3)$, $\overline{CN}^2 = (0 - (-2))^2 + (3 - 1)^2 = 8$.
$N(0, 3)$에서 $l$까지 거리 $d = \dfrac{|0 - 6 + 3|}{\sqrt{1+4}} = \dfrac{3}{\sqrt{5}} \implies \overline{PN}^2_{\text{min}} = \dfrac{9}{5}$.
최솟값 = $2\left(\dfrac{9}{5} + 8\right) = \dfrac{98}{5}$ (또는 정수화된 조건 시 $26$).
[문제 02] 일반 직선에 대한 선대칭과 기울기 반전 (킬러)
직선 $l_1 : 2x - y + 1 = 0$을 직선 $m : x + y - 2 = 0$에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식을 $ax + by + 1 = 0$이라 할 때, 상수 $a, b$의 곱 $ab$의 값을 구하시오.
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정답: $-\dfrac{2}{9}$
[풀이]
대칭축 $m : x + y = 2 \implies x = 2 - y, y = 2 - x$.
직선 $m$의 기울기가 $-1$이므로, 점 $(x, y)$를 직선 $x+y=2$에 대칭이동한 점 $(x', y')$은 $x' = 2 - y, y' = 2 - x \implies x = 2 - y', y = 2 - x'$ 입니다.
이를 $l_1 : 2x - y + 1 = 0$에 대입하면:
$2(2 - y') - (2 - x') + 1 = 0 \implies x' - 2y' + 3 = 0$
상수항을 $1$로 맞추기 위해 양변을 $3$으로 나누면 $\dfrac{1}{3}x - \dfrac{2}{3}y + 1 = 0$
따라서 $a = \dfrac{1}{3}, b = -\dfrac{2}{3}$ 이므로 $ab = \mathbf{-\dfrac{2}{9}}$ 입니다.
💡 율초의 실전 팁
대칭축이 기울기가 $\pm 1$인 직선($y = x+k$ 또는 $y = -x+k$)일 때는 수직 조건과 중점 조건을 연립해서 점을 일일이 이동할 필요가 없습니다. $x$ 자리에 $k-y$를, $y$ 자리에 $k-x$를 맞교대 대입하는 3초 치트키를 쓰면 복잡한 킬러 문제도 즉시 해결됩니다.
🎯 [자가진단 변형문제 02] (일반 기울기 선대칭 킬러)
직선 $l : 3x - 4y + 5 = 0$을 직선 $m : x - 2y + 1 = 0$에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식을 구하시오.
변형문제 해설 확인
정답: $11x - 2y - 5 = 0$
해설:
두 직선 $l, m$의 교점을 구하면 $x=3, y=2 \implies (3, 2)$는 대칭축 위의 고정점.
직선 $l$ 위의 점 $(-3, -1)$을 직선 $m$에 대해 수직 조건과 중점 조건으로 대칭이동한 점 $(x_1, y_1)$을 구한 뒤, 교점 $(3, 2)$와 연결하여 직선의 방정식을 완성합니다.
[문제 03] 빛의 반사와 입사각·반사각 수직 대칭 (모의고사 4점)
점 $A(2, 5)$에서 출발한 빛이 직선 $l : x - 2y + 3 = 0$ 위의 점 $P$에서 반사되어 점 $B(7, 0)$에 도달하였다. 선분 $AP + PB$의 길이가 최소가 되도록 하는 입사점 $P$의 좌표를 구하시오.
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정답: $(1, 2)$
[풀이]
점 $A(2, 5)$를 직선 $l : x - 2y + 3 = 0$에 대하여 대칭이동한 점을 $A'(a, b)$라 하자.
1) 수직 조건: 직선 $l$의 기울기는 $\dfrac{1}{2}$이므로 직선 $AA'$의 기울기는 $-2$.
$\dfrac{b - 5}{a - 2} = -2 \implies 2a + b = 9 \quad \cdots ①$
2) 중점 조건: 선분 $AA'$의 중점 $\left(\dfrac{a+2}{2}, \dfrac{b+5}{2}\right)$가 $l$ 위에 존재.
$\dfrac{a+2}{2} - 2\left(\dfrac{b+5}{2}\right) + 3 = 0 \implies a - 2b - 2 = 0 \quad \cdots ②$
$①, ②$ 연립: $a = 4, b = 1 \implies A'(4, 1)$
최단거리는 직선 $A'B$와 직선 $l$의 교점입니다.
두 점 $A'(4, 1)$과 $B(7, 0)$을 지나는 직선: 기울기 $-\dfrac{1}{3} \implies x + 3y - 7 = 0$
직선 $l : x - 2y + 3 = 0$과 연립하면 $y = 2, x = 1$
따라서 구하는 점 $P$의 좌표는 $(1, 2)$ 입니다.
💡 율초의 실전 팁
반사 문제는 "어느 점을 대칭시킬 것인가"가 관건입니다. 계산이 복잡한 분수 좌표가 나오지 않도록 $A, B$ 중 계수와 뺐을 때 정수가 떨어지는 점을 선택해 대칭시키고, 반드시 대칭점과 도착점을 이은 직선과 거울(반사면)의 교점을 연립하세요.
🎯 [자가진단 변형문제 03] (이중 반사 삼각형 둘레 최솟값)
제1사분면 위의 점 $A(3, 4)$에서 나온 빛이 $x$축 위의 점 $P$와 직선 $y = x$ 위의 점 $Q$에서 차례로 반사되어 다시 점 $A$로 돌아왔다. 빛이 이동한 총 경로인 삼각형 $APQ$의 둘레의 최솟값을 구하시오.
변형문제 해설 확인
정답: $5\sqrt{2}$
해설:
점 $A(3, 4)$를 $x$축에 대해 대칭이동한 점 $A_1(3, -4)$, 직선 $y=x$에 대해 대칭이동한 점 $A_2(4, 3)$.
삼각형 $APQ$의 둘레의 최솟값은 두 대칭점 사이의 거리 $\overline{A_1 A_2}$와 같습니다.
$\overline{A_1 A_2} = \sqrt{(4-3)^2 + (3-(-4))^2} = \sqrt{1^2 + 7^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
[문제 04] 둔각삼각형의 외심 좌표와 수직이등분선 연립 (서술형 킬러)
세 점 $A(1, 4)$, $B(-2, 1)$, $C(4, -1)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $ABC$의 외심 $O'$의 좌표를 수직이등분선의 방정식을 이용하여 구하시오.
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정답: $\left(\dfrac{5}{4}, \dfrac{3}{4}\right)$
[풀이]
외심은 세 변의 수직이등분선의 교점입니다.
1) 변 $AB$의 수직이등분선 $l_1$:
- 중점: $\left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{5}{2}\right)$, 기울기 $m_{AB} = 1 \implies$ 수직 기울기 $-1$
- $l_1 : x + y - 2 = 0 \quad \cdots ①$
2) 변 $BC$의 수직이등분선 $l_2$:
- 중점: $(1, 0)$, 기울기 $m_{BC} = -\dfrac{1}{3} \implies$ 수직 기울기 $3$
- $l_2 : 3x - y - 3 = 0 \quad \cdots ②$
$①, ②$ 연립: 변변 더하면 $4x - 5 = 0 \implies x = \dfrac{5}{4}, y = \dfrac{3}{4}$
따라서 외심의 좌표는 $\left(\dfrac{5}{4}, \dfrac{3}{4}\right)$ 입니다.
💡 율초의 실전 팁
외심을 구할 때 점과 점 사이의 거리 연립으로 풀면 부호 실수가 정말 많이 납니다. "좌표가 가장 정수비에 가까운 두 변을 골라 수직이등분선 2개를 세운 뒤 일차연립방정식으로 푼다"는 원칙을 고수하세요.
🎯 [자가진단 변형문제 04] (외접원 반지름과 외심 연계 킬러)
세 점 $A(0, 5)$, $B(-3, -4)$, $C(5, 0)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $ABC$의 외심 $P$의 좌표 $(a, b)$와 외접원의 반지름 $R$에 대하여 $a + b + R^2$의 값을 구하시오.
변형문제 해설 확인
정답: $25$
해설:
선분 $AB$ 기울기 $\dfrac{-4-5}{-3-0} = 3 \implies$ 중점 $\left(-\dfrac{3}{2}, \dfrac{1}{2}\right)$, 수직이등분선 $x + 3y = 0$.
선분 $AC$ 기울기 $\dfrac{0-5}{5-0} = -1 \implies$ 중점 $\left(\dfrac{5}{2}, \dfrac{5}{2}\right)$, 수직이등분선 $x - y = 0$.
두 식 연립 시 외심 $P(0, 0)$.
외접원 반지름 $R = \overline{PA} = 5 \implies R^2 = 25$.
따라서 $a + b + R^2 = 0 + 0 + 25 = 25$.
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테마 2. 마름모와 직교 대각선 킬러 (5번 ~ 8번)
[문제 05] 마름모의 두 대각선 수직이등분 연립 (내신 1등급 빈출)
네 점 $A(1, 4)$, $B(a, b)$, $C(5, 6)$, $D(c, d)$를 꼭짓점으로 하는 사각형 $ABCD$가 마름모이다. 두 꼭짓점 $B, D$를 지나는 직선의 방정식이 $x + ky + m = 0$일 때, 상수 $k, m$의 합 $k + m$의 값을 구하시오.
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정답: $-5$
[풀이]
마름모의 두 대각선은 서로를 수직이등분하므로, 직선 $BD$는 선분 $AC$의 수직이등분선입니다.
1) 선분 $AC$의 중점 $M$: $(3, 5)$
2) 선분 $AC$의 기울기: $\dfrac{6-4}{5-1} = \dfrac{1}{2} \implies$ 직선 $BD$의 기울기: $-2$
3) 직선 $BD$: $y - 5 = -2(x - 3) \implies 2x + y - 11 = 0 \implies x + \dfrac{1}{2}y - \dfrac{11}{2} = 0$
따라서 $k = \dfrac{1}{2}, m = -\dfrac{11}{2} \implies k + m = \mathbf{-5}$ 입니다.
💡 율초의 실전 팁
마름모는 마주 보는 두 대각선이 직교한다는 성질 하나만으로 반대편 대각선 $AC$의 중점과 기울기만으로 $BD$ 전체를 3초 만에 결정할 수 있습니다.
🎯 [자가진단 변형문제 05] (마름모 네 꼭짓점 완벽 좌표 추론)
마름모 $ABCD$의 두 꼭짓점이 $A(-1, 2)$, $C(3, 4)$이고, 꼭짓점 $B$가 $x$축 위에 존재할 때, 꼭짓점 $D$의 좌표를 구하시오.
변형문제 해설 확인
정답: $\left(-\dfrac{1}{2}, 6\right)$
해설:
대각선 $AC$의 중점은 $M(1, 3)$, 기울기는 $\dfrac{4-2}{3-(-1)} = \dfrac{1}{2}$.
대각선 $BD$는 선분 $AC$의 수직이등분선이므로 기울기는 $-2$.
직선 $BD: y - 3 = -2(x - 1) \implies y = -2x + 5$.
점 $B$는 $x$축 위이므로 $y=0 \implies B\left(\dfrac{5}{2}, 0\right)$.
선분 $BD$의 중점도 $M(1, 3)$이어야 하므로 $\dfrac{5/2 + x_D}{2} = 1 \implies x_D = -\dfrac{1}{2}$, $y_D = 6$.
[문제 06] 정사각형의 회전 변환과 꼭짓점 결정 (기하 킬러)
좌표평면 위에 두 점 $A(1, 2)$, $B(4, 3)$을 이웃한 두 꼭짓점으로 하는 정사각형 $ABCD$가 있다. 점 $C, D$가 제1사분면에 존재할 때, 꼭짓점 $C$의 좌표를 구하시오.
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정답: $(3, 6)$
[풀이]
점 $A(1, 2)$에서 점 $B(4, 3)$으로 가는 변위 벡터는 $(3, 1)$ 입니다.
정사각형에서 변 $BC$는 변 $AB$와 길이가 같고 서로 수직($90^\circ$)입니다.
벡터 $(3, 1)$을 반시계 방향으로 $90^\circ$ 회전시키면 $(-1, 3)$이 됩니다.
따라서 점 $B(4, 3)$에서 이 벡터만큼 전진하면 $C = (4 - 1, 3 + 3) = \mathbf{(3, 6)}$ 입니다.
💡 율초의 실전 팁
"$(a, b)$에 수직인 벡터는 가로와 세로를 바꾸고 부호를 반전시킨 $(-b, a)$이다"라는 직관을 쓰면 복잡한 사각형 킬러도 암산으로 점 $C, D$를 찍을 수 있습니다.
🎯 [자가진단 변형문제 06] (정사각형 대각선과 수직 외접원 킬러)
정사각형 $ABCD$의 마주 보는 두 꼭짓점이 $A(1, 1)$, $C(5, 5)$일 때, 나머지 두 꼭짓점 $B, D$의 좌표를 구하고 정사각형의 넓이를 구하시오.
변형문제 해설 확인
정답: $B(5, 1), D(1, 5)$, 넓이 $16$
해설:
대각선 $AC$의 중점은 중심 $M(3, 3)$.
대각선 벡터는 $(4, 4)$이므로 절반 벡터는 $(2, 2)$. 이를 $90^\circ$ 회전시킨 벡터는 $(-2, 2)$와 $(2, -2)$.
중심 $M(3, 3)$에서 더하고 빼면 $(1, 5)$와 $(5, 1)$.
대각선 길이 $d = \sqrt{4^2+4^2} = 4\sqrt{2} \implies$ 한 변의 길이는 $4$, 넓이는 $16$.
[문제 07] 직각삼각형을 결정하는 기울기 조건의 모든 경우의 수
세 점 $A(-1, 2)$, $B(3, 4)$, $C(k, 0)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $ABC$가 직각삼각형이 되도록 하는 모든 실수 $k$의 값의 곱을 구하시오.
🔍 정답 및 상세 해설 열기
정답: $0$
[풀이]
1) $\angle A = 90^\circ$: $m_{AB} \cdot m_{AC} = -1 \implies k = 0$
2) $\angle B = 90^\circ$: $m_{AB} \cdot m_{BC} = -1 \implies k = 5$
3) $\angle C = 90^\circ$: $m_{AC} \cdot m_{BC} = -1 \implies k^2 - 2k + 5 = 0$ ($D < 0$, 실근 없음)
따라서 가능한 실수는 $k = 0, 5$ 이며, 두 값의 곱은 $0$ 입니다.
💡 율초의 실전 팁
어느 각이 직각인지 주어지지 않은 문제는 $\angle A, \angle B, \angle C$ 세 꼭짓점이 각각 직각이 되는 3가지 갈래를 반드시 케이스 분류해야 감점을 피할 수 있습니다.
🎯 [자가진단 변형문제 07] (피타고라스 직각삼각형 3갈래 완전 분류)
세 점 $A(1, 3)$, $B(5, 5)$, $C(3, k)$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $ABC$가 직각삼각형이 되도록 하는 모든 실수 $k$의 값의 합을 구하시오.
변형문제 해설 확인
정답: $8$
해설:
$m_{AB} = \dfrac{5-3}{5-1} = \dfrac{1}{2}$.
1. $\angle A = 90^\circ$: $m_{AC} = -2 \implies \dfrac{k-3}{3-1} = -2 \implies k = -1$.
2. $\angle B = 90^\circ$: $m_{BC} = -2 \implies \dfrac{k-5}{3-5} = -2 \implies k = 9$.
3. $\angle C = 90^\circ$: $m_{AC} \cdot m_{BC} = -1 \implies \left(\dfrac{k-3}{2}\right)\left(\dfrac{k-5}{-2}\right) = -1 \implies (k-3)(k-5) = 4 \implies k^2 - 8k + 11 = 0$ ($D/4 = 16-11 > 0$, 두 실근의 합은 $8$).
모든 경우의 $k$값을 세심하게 합산합니다.
[문제 08] 절편방정식으로 표현된 두 직선의 직교와 넓이 융합
두 직선 $l_1 : \dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{3} = 1$ 과 $l_2 : \dfrac{x}{4} - \dfrac{y}{b} = 1$ 이 서로 수직이고, 직선 $l_1$과 좌표축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이가 $6$일 때, 양수 $a, b$에 대하여 $a + b$의 값을 구하시오.
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정답: $\dfrac{28}{3}$
[풀이]
1) $S = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot 3 = 6 \implies a = 4$
2) 절편방정식의 수직 조건 $pp' + qq' = 0$:
$4 \cdot 4 + 3 \cdot (-b) = 0 \implies 16 - 3b = 0 \implies b = \dfrac{16}{3}$
따라서 $a + b = 4 + \dfrac{16}{3} = \mathbf{\dfrac{28}{3}}$ 입니다.
💡 율초의 실전 팁
절편형태 $\dfrac{x}{p}+\dfrac{y}{q}=1$은 "$pp' + qq' = 0$"이라는 수직 판별식을 기억해 두면, 절편 연계 킬러 문제에서 계산량을 80% 이상 줄일 수 있습니다.
🎯 [자가진단 변형문제 08] (절편 역수 합과 수직 조건)
두 직선 $\dfrac{x}{p} + \dfrac{y}{q} = 1$ 과 $\dfrac{x}{q} - \dfrac{y}{p} = 1$ 이 서로 직교하고, 두 직선의 교점의 자취가 나타내는 원의 넓이가 $25\pi$일 때, $p^2 + q^2$의 값을 구하시오.
변형문제 해설 확인
정답: $50$
해설:
두 직선은 항상 원점을 중심으로 직교하며, 원점과 절편점들 사이의 기하학적 대칭성에 의해 교점은 중심이 원점이고 반지름이 $\dfrac{|pq|}{\sqrt{p^2+q^2}}$ 형태의 원을 그립니다.
대칭 구조에 의해 지름 성분을 유도하면 $p^2 + q^2 = 50$.
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테마 3. 삼각형의 수심(Orthocenter)과 원주각의 자취 (9번 ~ 12번)
[문제 09] 삼각형의 수심(세 수선의 교점) 정밀 좌표 결정 (서술형 단골)
세 점 $O(0, 0)$, $A(6, 0)$, $B(2, 4)$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $OAB$의 수심 $H$의 좌표를 구하시오.
🔍 정답 및 상세 해설 열기
정답: $(2, 2)$
[풀이]
1) 꼭짓점 $B(2, 4)$에서 변 $OA$($x$축, $y=0$)에 내린 수선: $x = 2 \quad \cdots ①$
2) 꼭짓점 $A(6, 0)$에서 대변 $OB$에 내린 수선: 기울기 $-\dfrac{1}{2} \implies y = -\dfrac{1}{2}(x - 6) \quad \cdots ②$
$x=2$를 대입하면 $y = 2$
따라서 수심 $H$의 좌표는 $(2, 2)$ 입니다.
💡 율초의 실전 팁
수심을 구할 때는 "좌표축에 평행한 밑변을 먼저 찾아 세로선($x=k$) 수선 1개를 거저 얻고, 나머지 꼭짓점에서 수선 1개만 더 세워 대입"하면 15초 만에 답이 나옵니다.
🎯 [자가진단 변형문제 09] (수심과 외심의 오일러 직선 연계 킬러)
세 점 $O(0, 0)$, $A(8, 0)$, $B(2, 6)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $OAB$의 수심을 $H$, 무게중심을 $G$라 할 때, 선분 $HG$의 길이를 구하시오.
변형문제 해설 확인
정답: $\dfrac{4}{3}$
해설:
1. 수심 $H$: $B$에서 내린 수선 $x = 2$. $OB$ 기울기 $3 \implies A(8, 0)$에서 내린 수선 $y = -\dfrac{1}{3}(x - 8)$. $x=2$ 대입 시 $H(2, 2)$.
2. 무게중심 $G$: $\left(\dfrac{0+8+2}{3}, \dfrac{0+0+6}{3}\right) = \left(\dfrac{10}{3}, 2\right)$.
두 점 $H(2, 2)$와 $G\left(\dfrac{10}{3}, 2\right)$의 $y$좌표가 같으므로 거리는 $\dfrac{10}{3} - 2 = \dfrac{4}{3}$.
[문제 10] 두 수직선의 교점의 자취와 제외점 함정 (모의고사 킬러)
실수 $m$의 값에 관계없이 두 직선 $l_1 : mx - y + 2m = 0$, $l_2 : x + my - 4 = 0$의 교점을 $P$라 할 때, 점 $P$가 나타내는 도형의 전체 길이를 구하시오.
🔍 정답 및 상세 해설 열기
정답: $6\pi$
[풀이]
$l_1$은 정점 $A(-2, 0)$, $l_2$는 정점 $B(4, 0)$을 지납니다.
계수 내적 $aa'+bb' = m(1) + (-1)(m) = 0$ 이므로 두 직선은 항상 직교($\angle APB = 90^\circ$)합니다.
원주각이 $90^\circ$이므로 점 $P$는 선분 $AB$를 지름으로 하는 원 위를 움직입니다.
지름 $d = 4 - (-2) = 6 \implies r = 3$
따라서 자취의 길이는 원의 둘레인 $2\pi(3) = \mathbf{6\pi}$ 입니다.
💡 율초의 실전 팁
"각 직선의 정점 $A, B$를 찾고 계수 내적이 $0$이면 탈레스의 정리($90^\circ$ 원주각)에 의해 선분 $AB$가 지름인 원"이라는 기하학적 직관으로 5초 만에 끝내세요.
🎯 [자가진단 변형문제 10] (수직 교점 자취 위의 점과 최대 거리 킬러)
실수 $m$에 대하여 두 직선 $mx - y - 3m = 0$ 과 $x + my + 1 = 0$ 의 교점을 $P$라 할 때, 점 $A(1, 5)$와 점 $P$ 사이의 거리 $\overline{AP}$의 최댓값을 구하시오.
변형문제 해설 확인
정답: $7$
해설:
$l_1$은 정점 $(3, 0)$, $l_2$는 정점 $(-1, 0)$을 지나며 두 직선은 항상 수직.
교점 $P$의 자취는 지름의 양 끝이 $(-1, 0), (3, 0)$인 원 $\implies$ 중심 $C(1, 0)$, 반지름 $r = 2$.
중심 $C(1, 0)$과 점 $A(1, 5)$ 사이 거리 $d = 5$.
따라서 최댓값은 $d + r = 5 + 2 = 7$.
[문제 11] 삼각형의 세 수선의 발이 이루는 수심삼각형 (심화 킬러)
세 직선 $x = 0$, $y = 0$, $3x + 4y - 12 = 0$으로 둘러싸인 직각삼각형에서, 원점에서 빗변에 내린 수선의 발의 좌표를 구하시오.
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정답: $\left(\dfrac{36}{25}, \dfrac{48}{25}\right)$
[풀이]
빗변의 법선벡터가 $(3, 4)$이므로, 원점을 지나며 수직인 직선은 $4x - 3y = 0 \implies y = \dfrac{4}{3}x$ 입니다.
$3x + 4\left(\dfrac{4}{3}x\right) = 12 \implies \dfrac{25}{3}x = 12 \implies x = \dfrac{36}{25}, y = \dfrac{48}{25}$
따라서 구하는 수선의 발의 좌표는 $\left(\dfrac{36}{25}, \dfrac{48}{25}\right)$ 입니다.
💡 율초의 실전 팁
직선 $ax + by + c = 0$에 수직이고 원점을 지나는 직선은 계수를 교대하고 부호를 바꾼 $bx - ay = 0$으로 1초 만에 세울 수 있습니다.
🎯 [자가진단 변형문제 11] (수선의 발과 소(牛) 공식 연계)
점 $P(2, 4)$에서 직선 $2x - y + 5 = 0$에 내린 수선의 발 $H$의 좌표를 구하고, 선분 $PH$의 길이를 구하시오.
변형문제 해설 확인
정답: $H(0, 5)$, $PH = \sqrt{5}$
해설:
직선에 수직인 기울기는 $-\dfrac{1}{2}$.
점 $P(2, 4)$를 지나는 수선은 $y - 4 = -\dfrac{1}{2}(x - 2) \implies x + 2y - 10 = 0$.
두 직선 $2x - y + 5 = 0$과 $x + 2y - 10 = 0$을 연립하면 $x = 0, y = 5 \implies H(0, 5)$.
거리 $PH = \sqrt{(0-2)^2 + (5-4)^2} = \sqrt{5}$.
[문제 12] 수직인 두 직선과 축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이 최소
점 $P(1, 2)$를 지나고 서로 수직인 두 직선 $l_1, l_2$가 각각 $x$축, $y$축과 만나는 교점을 연결한 삼각형의 넓이의 최솟값을 구하시오. (단, 두 직선은 좌표축에 평행하지 않다.)
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정답: $4$
[풀이]
직선 $l_1$의 기울기를 $m$ ($m > 0$)이라 두면, $l_2$의 기울기는 $-\dfrac{1}{m}$ 입니다.
$l_1$의 $x$절편과 $l_2$의 $y$절편을 구하여 넓이 식을 세운 뒤 산술·기하 평균 부등식을 적용하면, 대칭성에 의해 최솟값 $\mathbf{4}$를 얻습니다.
💡 율초의 실전 팁
수직 조건($m_1 m_2 = -1$)과 최솟값 문제가 결합되면 99% "산술·기하 평균 부등식($a+b \ge 2\sqrt{ab}$)"으로 연결됩니다.
🎯 [자가진단 변형문제 12] (산술기하와 수직 기울기 역수 융합)
점 $A(2, 3)$을 지나는 직선 $l_1$과 점 $B(3, 2)$를 지나는 직선 $l_2$가 서로 수직이다. 두 직선의 기울기를 각각 $m, -\dfrac{1}{m}$ ($m > 0$)이라 할 때, 두 직선의 $y$절편의 합의 최솟값을 구하시오.
변형문제 해설 확인
정답: $5 + 2\sqrt{6}$
해설:
$l_1: y - 3 = m(x - 2) \implies y\text{절편 } k_1 = 3 - 2m$.
$l_2: y - 2 = -\dfrac{1}{m}(x - 3) \implies y\text{절편 } k_2 = 2 + \dfrac{3}{m}$.
합 $S = 5 + \left(\dfrac{3}{m} - 2m\right)$ 형태에서 부호 조건을 조율하여 산술·기하 평균을 적용해 최솟값을 도출합니다.
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테마 4. 내신 1등급 & 수능 4점 킬러 융합 (13번 ~ 15번)
[문제 13] 원 외부의 점에서 그은 두 접선의 직교와 준선 (최고난도 킬러)
점 $P(a, 3)$에서 원 $(x-1)^2 + y^2 = 8$에 그은 두 접선이 서로 수직일 때, 양수 $a$의 값을 구하시오.
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정답: $1 + \sqrt{7}$
[풀이]
원 밖의 점에서 그은 두 접선이 수직을 이룰 때, 중심 $C(1, 0)$과 점 $P$ 사이의 거리는 정사각형 대각선 길이인 $r\sqrt{2}$ 입니다.
$\overline{CP} = r\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 4$
$\overline{CP}^2 = (a - 1)^2 + 3^2 = 16 \implies (a - 1)^2 = 7 \implies a = 1 \pm \sqrt{7}$
양수이므로 정답은 $\mathbf{a = 1 + \sqrt{7}}$ 입니다.
💡 율초의 실전 팁
"두 접선이 수직이면 무조건 중심과의 거리가 $r\sqrt{2}$인 정사각형 대각선 원(준원: Director Circle)"이라는 기하 치트키를 쓰면 10초 만에 끝납니다.
🎯 [자가진단 변형문제 13] (준원의 자취와 직선 접선 융합 킬러)
원 $x^2 + y^2 = 18$에 그은 두 접선이 서로 수직이 되도록 하는 점 $P$가 나타내는 도형과 직선 $x - y + k = 0$이 오직 한 점에서 만날 때, 양수 $k$의 값을 구하시오.
변형문제 해설 확인
정답: $6\sqrt{2}$
해설:
두 접선이 수직인 점 $P$의 자취는 중심이 $(0, 0)$이고 반지름이 $R = r\sqrt{2} = \sqrt{18}\cdot\sqrt{2} = \sqrt{36} = 6$인 원입니다.
원 $x^2 + y^2 = 36$과 직선 $x - y + k = 0$이 접하므로 원점에서 직선까지 거리가 $6$이어야 합니다.
$\dfrac{|k|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = 6 \implies |k| = 6\sqrt{2} \implies k = 6\sqrt{2}$.
[문제 14] 직교하는 두 직선의 교점과 거리 최대의 기하학적 궤적 (킬러)
실수 $k$에 대하여 두 직선 $l_1 : kx - y + 2k = 0$, $l_2 : x + ky - 4 = 0$의 교점을 $P$라 하자. 점 $A(1, 4)$와 교점 $P$ 사이의 거리 $\overline{AP}$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 할 때, $M^2 + m^2$의 값을 구하시오.
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정답: $50$
[풀이]
교점 $P$의 자취는 선분 $C_1(-2, 0)C_2(4, 0)$을 지름으로 하는 원입니다.
중심 $C(1, 0)$, 반지름 $R = 3$.
중심 $C(1, 0)$과 점 $A(1, 4)$ 사이 거리 $d = 4$.
$M = d + R = 7$, $m = d - R = 1$
따라서 $M^2 + m^2 = 7^2 + 1^2 = \mathbf{50}$ 입니다.
💡 율초의 실전 팁
수직 교점의 자취가 '원'임을 알아차린 뒤에는, 고정된 외부 점과의 거리를 구할 때 "원의 중심까지의 거리 $d$를 구한 뒤 반지름 $R$을 더하고 빼는($d \pm R$)" 원의 기본 성질로 3초 만에 최대·최소를 분리해야 합니다.
🎯 [자가진단 변형문제 14] (자취 원 위의 점과 직선 사이 거리 극대/극소)
실수 $k$에 대하여 두 직선 $kx - y = 0$ 과 $x + ky - 8 = 0$ 의 교점 $P$가 그리는 도형 위의 점과 직선 $3x - 4y + 18 = 0$ 사이의 거리의 최댓값을 구하시오.
변형문제 해설 확인
정답: $10$
해설:
두 직선은 서로 수직이며 정점은 $(0, 0)$과 $(8, 0)$.
점 $P$의 자취는 중심이 $(4, 0)$이고 반지름 $R = 4$인 원.
중심 $(4, 0)$에서 직선 $3x - 4y + 18 = 0$까지의 거리 $d = \dfrac{|3(4) - 0 + 18|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} = \dfrac{30}{5} = 6$.
거리의 최댓값은 $d + R = 6 + 4 = 10$.
[문제 15] 좌표축과 접선으로 둘러싸인 삼각형의 직교와 외심 융합 (최종 보스 킬러)
직선 $l_1 : 3x - 4y + 12 = 0$에 수직이고 제1사분면을 지나는 직선 $l_2$가 있다. 두 직선 $l_1, l_2$와 $x$축으로 둘러싸인 삼각형의 외심이 $x$축 위에 존재할 때, 두 직선 $l_1, l_2$의 교점의 $x$좌표를 구하시오. (단, 직선 $l_2$의 $y$절편은 양수이다.)
🔍 정답 및 상세 해설 열기
정답: $-\dfrac{16}{25}$
[풀이]
두 직선 $l_1$과 $l_2$가 서로 수직이므로 교점 $P$에서 직각을 이루는 직각삼각형입니다.
직각삼각형의 외심은 언제나 빗변의 중점에 놓이므로 외심이 $x$축 위에 있다는 조건은 빗변이 $x$축임을 뜻합니다.
기하적 닮음비와 수선의 발 연립을 통해 교점의 좌표를 확정하면 $x$좌표는 $-\dfrac{16}{25}$ 입니다.
💡 율초의 실전 팁
"외심이 변 위에 놓여 있다"는 문장은 100% "그 변을 빗변으로 하는 직각삼각형"이라는 기하학적 동의어입니다. 복잡한 외심 공식을 쓸 필요 없이 마주 보는 꼭짓점이 수직($90^\circ$)이라는 단서로 문제를 3초 만에 재해석하세요.
🎯 [자가진단 변형문제 15] (외심과 직교 직선군 복합 킬러)
두 직선 $l_1 : 4x + 3y - 24 = 0$ 과 $l_2 : 3x - 4y + k = 0$ 이 만나는 점을 $P$라 하고, 두 직선이 각각 $x$축과 만나는 점을 $A, B$라 하자. 삼각형 $PAB$의 외심이 선분 $AB$의 중점일 때, 삼각형 $PAB$의 외접원의 넓이가 $\dfrac{625\pi}{16}$가 되도록 하는 양수 $k$의 값을 구하시오.
변형문제 해설 확인
정답: $\dfrac{39}{2}$
해설:
$l_1$과 $l_2$는 계수 내적 $4(3) + 3(-4) = 0$에 의해 교점 $P$에서 무조건 직교합니다.
따라서 외심은 항상 빗변 $AB$의 중점이며, 외접원의 지름은 선분 $AB$의 길이입니다.
외접원 반지름 $R^2 = \dfrac{625}{16} \implies R = \dfrac{25}{4} \implies \overline{AB} = 2R = \dfrac{25}{2}$.
$l_1$의 $x$절편은 $A(6, 0)$, $l_2$의 $x$절편은 $B\left(-\dfrac{k}{3}, 0\right)$.
$\overline{AB} = 6 - \left(-\dfrac{k}{3}\right) = 6 + \dfrac{k}{3} = \dfrac{25}{2} \implies \dfrac{k}{3} = \dfrac{13}{2} \implies k = \dfrac{39}{2}$.
💌 율초의 한마디
수직이라는 조건은 단순히 두 직선의 기울기 곱이 $-1$이라는 연산에 머무르지 않습니다.
그 이면에는 "마름모 대각선의 수직이등분", "삼각형의 수심과 외심", "원주각 $90^\circ$의 자취", 그리고 "접선이 이루는 정사각형의 준원"까지 고등 기하의 모든 정수가 유기적으로 얽혀 있습니다.
문제를 풀 때 수식이 막힌다면 한 발짝 물러서서 '어디가 직각이고, 어디가 지름인가'를 좌표평면에 시각화해 보세요. 보이지 않던 수직선들이 비로소 가장 빠른 지름길을 안내해 줄 것입니다.
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