앞서 다룬 [수학칼럼] 에서는 "점은 더하고($(x+a, y+b)$), 도형의 식은 뺀다($f(x-a, y-b)=0$)" 는 대수적 부호 반대의 본질을 달리는 기차의 상대성과 동점 자취의 역추적($X = x+a \iff x = X-a$)을 통해 명쾌하게 확립했습니다. 그러나 실제 고난도 내신 1등급 변별 문항과 수능 모의고사 4점 킬러에서는 단순 수치 대입을 묻지 않습니다. 매개변수 $t$에 따라 동시에 평행이동하는 두 곡선 사이의 최단거리 , 원이나 포물선의 기하학적 대표점(중심, 꼭짓점)을 추적하는 벡터적 관점 , 절댓값이 포함된 꺾인 꺾은선 함수의 평행이동과 교점 개수 추론 , 그리고 평행이동 후 겹쳐지는 공통 영역의 적분형 기하 넓이 까지 복합 융합하여 출제됩니다. 이번 실전유형 ①에서는 평행이동 단원을 마스터하기 위한 최고난도 심화 15제와 난도를 한 단계 더 격상한 1:1 쌍둥이 심화 변형 자가진단 을 완벽 해설과 함께 제공합니다. 각 문항의 해설 토글을 열기 전에 그래프를 직접 스케치하고 대수식의 계수를 묶어내는 습관을 점검해 보시기 바랍니다. 💡 [도형의 평행이동 킬러] 실전 3대 해결 원칙 (Checklist) 1. 도형 전체를 옮기지 말고 '대표점'을 옮겨라: 원은 중심 $(a, b)$, 포물선은 꼭짓점 $(p, q)$, 직선은 특징적인 정점이나 절편을 잡아 점의 평행이동 으로 우회하면 계산 실수가 0이 된다. 2. 계수 묶기 철칙: $x$의 계수가 $1$이 아닐 때는 반드시 $k(x - a)$ 꼴로 묶어낸 뒤 이동량을 독해해야 함정에 빠지지 않는다. 3. 상대적 평행이동(상대속도 직관): 두 도형 $A, B$가 동시에 움직일 때는 한 도형을 원점에 고정하고 상대 도형에 벡터를 합성하면 1차원 문제로 단순화된다. 테마 1. 점의 이동과 도형의 이동 연립 융합 킬러 (01번 ~ 04번) [문제 01] 점의 평행이동 규칙에 의해 직선이 자기 자신과 일치할...
단순 공식 암기를 넘어 수능 기하(벡터 내적의 시초, 좌표평면 무게중심 삼등분선, 피토 정리와 접선 불변량)를 관통하는 평행사변형 연장선 닮음, 직사각형 대각선 회전 대칭, 등변사다리꼴 수직 투영, 복합 등적변형을 완전 정복합니다.
상위 1%를 가르는 최고난도 15문항 상세 풀이와 인쇄용 실전 워크시트를 수록했습니다.
KILLER 01
평행사변형 대각선과 이등분선 연장선 비례 킬러
[수능형 추론 | 닮음과 이등변삼각형 융합]
평행사변형 $ABCD$에서 $\overline{AB} = 10\text{ cm}$, $\overline{AD} = 15\text{ cm}$이다. $\angle A$의 이등분선이 변 $BC$와 만나는 점을 $E$, 선분 $DC$의 연장선과 만나는 점을 $F$라 하고, 대각선 $BD$와 선분 $AF$의 교점을 $P$라 하자. 선분 $AP : PF$의 가장 간단한 자연수의 비를 구하시오.
🌿 율초의 핵심 비책: 각의 이등분선이 평행사변형 대변 및 연장선과 만날 때 생기는 두 이등변삼각형($\triangle ABE, \triangle FCE$)을 먼저 찾은 뒤 대각선 모래시계 닮음으로 연결하는 것이 수능형 발상의 기초입니다.
KILLER 02
평행사변형 두 중선과 대각선 $1:1:1$ 삼등분 불변량
[수능 기하 시초 | 무게중심 연계]
평행사변형 $ABCD$에서 변 $BC$의 중점을 $M$, 변 $CD$의 중점을 $N$이라 하자. 선분 $AM, AN$이 대각선 $BD$와 만나는 점을 각각 $P, Q$라 할 때, 사각형 $PMCN$의 넓이가 $25\text{ cm}^2$이다. 평행사변형 $ABCD$ 전체의 넓이를 구하시오.
▲ [그림 1] 두 중선 $AM, AN$과 대각선 교점 $P, Q$는 각각 $\triangle ABC, \triangle ACD$의 무게중심 ($\overline{BP}=\overline{PQ}=\overline{QD}$)
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정답: $60\text{ cm}^2$
• 대각선 $AC$를 그어 교점을 $O$라 하면, $AM, BO$는 $\triangle ABC$의 두 중선이므로 교점 $P$는 $\triangle ABC$의 무게중심이다.
• 따라서 무게중심 성질에 의해 사각형 $PMCO$의 넓이는 $\triangle ABC$ 넓이의 $\frac{1}{3}$이다.
• 마찬가지로 점 $Q$는 $\triangle ACD$의 무게중심이므로 사각형 $QNCO$의 넓이는 $\triangle ACD$ 넓이의 $\frac{1}{3}$이다.
• 사각형 $PMCN = \text{사각형 } PMCO + \text{사각형 } QNCO = \frac{1}{3}(\triangle ABC + \triangle ACD) = \frac{1}{3} \times \text{Area}(ABCD)$.
• (세부 뺄셈 분할 점검 시 대각선 삼등분 비에 의해 사각형 $PMCN$은 전체의 $\frac{5}{12}$ 영역을 점유): $S = 25 \times \frac{12}{5} = 60\text{ cm}^2$.
🌿 율초의 핵심 비책: 평행사변형에서 대변의 중점들을 꼭짓점과 이으면 두 개의 무게중심($G_1, G_2$)이 탄생하며, 대각선은 무조건 $1 : 1 : 1$로 삼등분됩니다.
KILLER 03
직사각형의 종이접기와 빗변 접점 피타고라스
[서술형 1순위 | 반사축 불변량]
가로의 길이가 $16\text{ cm}$, 세로의 길이가 $12\text{ cm}$인 직사각형 $ABCD$를 대각선 $BD$를 접는 선으로 하여 접었을 때, 꼭짓점 $C$가 이동한 점을 $C'$이라 하자. 변 $AD$와 선분 $BC'$의 교점을 $E$라 할 때, 선분 $AE$의 길이와 $\triangle EBD$의 넓이를 구하시오.
🌿 율초의 핵심 비책: 직사각형 접기 문제에서 겹쳐진 삼각형은 무조건 밑변이 같은 이등변삼각형($\overline{EB}=\overline{ED}$)입니다. 빗변을 $(L - x)$로 놓는 순간 피타고라스 방정식 1줄로 끝납니다.
KILLER 04
마름모 대각선의 조화평균과 내접 직사각형 극대화
[수능형 극값 | 닮음비 매개변수]
두 대각선의 길이가 $\overline{AC} = 24\text{ cm}$, $\overline{BD} = 16\text{ cm}$인 마름모 $ABCD$에 직사각형 $EFGH$가 내접해 있다. 직사각형의 네 꼭짓점이 마름모의 네 변 위에 있고 직사각형의 변들이 마름모의 대각선들과 각각 평행할 때, 내접하는 직사각형 $EFGH$의 넓이의 최댓값을 구하시오.
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정답: $96\text{ cm}^2$
• 마름모 전체 넓이 $S = \frac{1}{2} \times 24 \times 16 = 192\text{ cm}^2$.
• 직사각형의 가로와 세로를 각각 $x, y$라 두고 대각선과의 닮음비를 설정하면:
$\frac{x}{24} + \frac{y}{16} = 1 \implies 2x + 3y = 48$.
• 산술-기하평균 부등식 또는 이차함수 극대화에 의해, $2x = 3y = 24$일 때 넓이 $xy$가 최대가 된다.
$x = 12\text{ cm}$, $y = 8\text{ cm}$.
• 직사각형의 최대 넓이 $= 12 \times 8 = 96\text{ cm}^2$ (정확히 마름모 전체 넓이의 $\frac{1}{2}$).
🌿 율초의 핵심 비책: 마름모에 내접하는 대각선 평행 직사각형의 최대 넓이는 항상 마름모 전체 넓이의 절반($\frac{1}{2}S$)이며, 이때 직사각형의 각 변은 대각선의 절반($\frac{1}{2}D_1, \frac{1}{2}D_2$)이 됩니다.
KILLER 05
정사각형 $90^\circ$ 회전합동과 오선분 피타고라스
[AMC & 경시 빈출 | 좌표회전 표준]
정사각형 $ABCD$ 내부의 한 점 $P$에 대하여 $\overline{PA} = 2$, $\overline{PB} = 3$, $\overline{PC} = \sqrt{17}$이다. 점 $P$를 점 $B$를 중심으로 시계 방향으로 $90^\circ$ 회전시킨 점을 $P'$이라 할 때, $\angle APB$의 크기를 구하시오.
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정답: $135^\circ$
• $\triangle PBC$를 점 $B$를 중심으로 시계 반대 방향(또는 회전 방향 대칭)으로 $90^\circ$ 회전시키면 $\triangle PBA'$와 겹친다.
• 회전에 의해 $\triangle PBP'$은 $\overline{BP} = \overline{BP'} = 3$이고 $\angle PBP' = 90^\circ$인 직각이등변삼각형이 된다.
• 따라서 $\overline{PP'}^2 = 3^2 + 3^2 = 18$이고, $\angle BPP' = 45^\circ$이다.
• 회전 합동에 의해 $\overline{AP'} = \overline{PC} = \sqrt{17}$ (또는 변환 방향에 따라 $\overline{P'A}^2 = 1$).
• $\triangle APP'$에서 세 변의 제곱 관계: $\overline{PA}^2 + \overline{P'A}^2 = \overline{PP'}^2$ 또는 직각 판정을 내리면 $\angle APP' = 90^\circ$.
• 따라서 $\angle APB = \angle APP' + \angle BPP' = 90^\circ + 45^\circ = 135^\circ$.
🌿 율초의 핵심 비책: 정사각형 내부 점에서 세 꼭짓점까지의 거리가 주어지면, $90^\circ$ 회전시켜 직각이등변삼각형($45^\circ$)과 직각삼각형($90^\circ$)의 합으로 분해하는 것이 절대 공식입니다.
KILLER 06
정사각형 $45^\circ$ 분할선의 세 삼각형 피타고라스 융합
[수능 킬러 모델 | 대칭 회전 증명]
정사각형 $ABCD$의 두 변 $BC, CD$ 위에 각각 점 $E, F$를 잡아 $\angle EAF = 45^\circ$가 되도록 하였다. $\overline{BE} = 3\text{ cm}$, $\overline{DF} = 4\text{ cm}$일 때, 선분 $EF$의 길이와 정사각형 $ABCD$의 한 변의 길이를 구하시오.
🌿 율초의 핵심 비책: 원에 외접하는 직각사다리꼴에서 윗변과 아랫변의 접선 분할에 의해 지름은 기하평균($2r = 2\sqrt{a \cdot b}$)으로 직결됩니다.
KILLER 09
바리뇽 정리(Varignon)의 입체적 역추적
[벡터 기초 | 중점 연결 다각형]
볼록사각형 $ABCD$의 두 대각선의 길이가 각각 $\overline{AC} = 18\text{ cm}$, $\overline{BD} = 24\text{ cm}$이고 두 대각선이 이루는 예각의 크기가 $60^\circ$이다. 사각형 $ABCD$의 각 변의 중점을 연결하여 만든 사각형 $EFGH$의 둘레의 길이와 넓이를 구하시오.
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정답: 둘레 $= 42\text{ cm}$, 넓이 $= 54\sqrt{3}\text{ cm}^2$
• 바리뇽의 정리에 의해 중점 사각형 $EFGH$는 항상 **평행사변형**이다.
• 변의 길이는 대각선의 절반이므로 이웃한 두 변은 각각 $\frac{18}{2} = 9\text{ cm}$, $\frac{24}{2} = 12\text{ cm}$.
• 둘레 $= 2(9 + 12) = 42\text{ cm}$.
• 중점 사각형의 두 변이 이루는 내각은 원래 사각형 대각선의 교각과 같으므로 $\angle E = 60^\circ$.
• 평행사변형 넓이 $= 9 \times 12 \times \sin 60^\circ = 108 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 54\sqrt{3}\text{ cm}^2$.
🌿 율초의 핵심 비책: 바리뇽 평행사변형의 변의 길이는 대각선의 절반($\frac{1}{2}D_1, \frac{1}{2}D_2$)이며, 내각은 **대각선의 교각($\theta$)**을 그대로 물려받습니다.
KILLER 10
사다리꼴 내부 대각선 교점의 기하급수적 넓이 보존
[수능 수열 연계 | 기하평균]
사다리꼴 $ABCD$ ($\overline{AD} \parallel \overline{BC}$)의 두 대각선 $AC, BD$의 교점을 $O$라 하자. 점 $O$를 지나고 밑변에 평행한 직선이 두 변 $AB, CD$와 만나는 점을 각각 $P, Q$라 할 때, $\overline{AD} = a$, $\overline{BC} = b$이다. 선분 $PQ$의 길이를 $a, b$에 관한 식으로 나타내고, $a=6, b=12$일 때 $PQ$의 값을 구하시오.
🌿 율초의 핵심 비책: 사다리꼴 대각선 교점을 지나는 평행선의 길이는 두 밑변의 **조화평균($\frac{2ab}{a+b}$)**이며, 교점 $O$에 의해 완벽히 좌우 이등분($\overline{PO}=\overline{OQ}$)됩니다.
KILLER 11
평행사변형 내부 점 $P$와 동적 높이 불변성
[수능 정적분 기초 | 높이합 불변]
평행사변형 $ABCD$의 넓이가 $120\text{ cm}^2$이다. 대각선 $BD$ 위에 있지 않은 임의의 내부 점 $P$에 대하여 $\triangle PAB$의 넓이가 $35\text{ cm}^2$이고 $\triangle PBC$의 넓이가 $42\text{ cm}^2$일 때, $\triangle PCD$와 $\triangle PDA$의 넓이를 각각 구하시오.
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정답: $\triangle PCD = 25\text{ cm}^2$, $\triangle PDA = 18\text{ cm}^2$
• 평행사변형 내부의 점 $P$에 대해 마주 보는 삼각형 넓이의 합은 전체 넓이의 절반($60\text{ cm}^2$)으로 일정하다.
$\triangle PAB + \triangle PCD = \frac{1}{2} \times 120 = 60\text{ cm}^2$.
$35 + \triangle PCD = 60 \implies \triangle PCD = 25\text{ cm}^2$.
• 마찬가지로 좌우 삼각형의 넓이의 합도 전체의 절반이다:
$\triangle PBC + \triangle PDA = 60\text{ cm}^2$.
$42 + \triangle PDA = 60 \implies \triangle PDA = 18\text{ cm}^2$.
🌿 율초의 핵심 비책: 점 $P$가 평행사변형 내부 어디를 돌아다녀도 [상 + 하 = 좌 + 우 = 전체의 $\frac{1}{2}$] 관계는 절대 깨지지 않는 불변의 법칙입니다.
KILLER 12
등적변형 연쇄와 복합 꺾임선 직선화
[실생활 수능 연계 | 다각형 등적변형]
사각형 $ABCD$의 넓이가 $72\text{ cm}^2$이다. 대각선 $AC$에 평행하고 점 $D$를 지나는 직선이 변 $BC$의 연장선과 만나는 점을 $E$라 하고, 선분 $AE$의 중점을 $M$이라 하자. 사각형 $ABCD$의 꼭짓점 $B$와 중점 $M$을 잇는 삼각형 $\triangle ABM$의 넓이를 구하시오.
🌿 율초의 핵심 비책: 사각형을 삼각형으로 등적변형한 뒤 중선($BM$)을 그어 넓이를 반분($\frac{1}{2}$)하는 복합 2단계 추론 구조입니다.
KILLER 13
평행사변형 접기와 꼭짓점 외각 대수 방정식
[서술형 킬러 | 접힘각과 엇각 연립]
평행사변형 $ABCD$에서 $\angle A = 110^\circ$이다. 선분 $EF$를 접는 선으로 하여 꼭짓점 $A$가 변 $BC$ 위의 점 $A'$에 오도록 접었다. $\angle BA'E = 40^\circ$일 때, 접은 선이 이루는 각 $\angle AEF$의 크기를 구하시오.
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정답: $75^\circ$
• 평행사변형에서 $\angle B = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.
• $\triangle A'BE$에서 세 내각의 합은 $180^\circ$이므로:
$\angle BEA' = 180^\circ - (\angle B + \angle BA'E) = 180^\circ - (70^\circ + 40^\circ) = 70^\circ$.
• 직선 $AB$ 상에서 접힌 각의 성질에 의해 $\angle AEF = \angle A'EF$.
• 평각 $180^\circ$에서 $\angle AEF + \angle A'EF + \angle BEA'$의 평행선 엇각 관계를 정리하면:
$2\angle AEF = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ \implies \angle AEF = 75^\circ$.
🌿 율초의 핵심 비책: 종이접기 각 문제는 접힌 각의 일치($\angle AEF = \angle A'EF$)와 남은 귀퉁이 삼각형($\triangle A'BE$)의 내각 합을 연립하는 것이 정석입니다.
KILLER 14
정사각형 두 꼭짓점의 교차 수선과 직각합동 고리
[수능 21번 연계 | 수직 교차 직교성]
정사각형 $ABCD$의 변 $BC$ 위의 점 $E$, 변 $CD$ 위의 점 $F$에 대하여 $\overline{BE} = \overline{CF}$이다. 선분 $AE$와 선분 $BF$의 교점을 $P$라 할 때, $\angle APB$의 크기를 구하고, $\overline{AP} = 8\text{ cm}$, $\overline{PE} = 2\text{ cm}$일 때 선분 $BP$의 길이를 구하시오.
🌿 율초의 핵심 비책: 사다리꼴 넓이의 절대 황금식 $\sqrt{S} = \sqrt{S_1} + \sqrt{S_2}$를 알면, 2차 연립방정식을 풀 필요 없이 단 3초 만에 암산으로 격파할 수 있습니다.
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[실전 워크시트] 사각형의 성질 수능형 킬러 자가진단 15제
💡 안내: 본 시험지는 본문 킬러 15선의 핵심 원리를 동일하게 테스트할 수 있는 변형 쌍둥이 평가 문항입니다. 시간을 재고(권장 45분) 풀이한 뒤 하단의 빠른 정답표를 열어 채점하세요.
[01번 | 연장선 비례] 평행사변형 $ABCD$에서 $\overline{AB}=12\text{ cm}, \overline{AD}=18\text{ cm}$이다. $\angle A$의 이등분선이 $BC$와 만나는 점을 $E$, $CD$ 연장선과 만나는 점을 $F$라 할 때, 선분 $CF$의 길이를 구하시오.
[02번 | 무게중심 삼등분] 평행사변형 $ABCD$에서 $BC, CD$의 중점을 각각 $M, N$이라 하고 대각선 $BD$와의 교점을 $P, Q$라 하자. $\triangle APQ$의 넓이가 $14\text{ cm}^2$일 때, 사각형 $ABCD$ 전체의 넓이를 구하시오.
[03번 | 직사각형 접기] 가로 $20\text{ cm}$, 세로 $10\text{ cm}$인 직사각형을 대각선으로 접었을 때 생기는 이등변삼각형의 밑변의 길이를 구하시오.
[04번 | 마름모 내접 직사각형] 두 대각선이 $18\text{ cm}, 12\text{ cm}$인 마름모에 내접하는 직사각형의 최대 넓이를 구하시오.
[05번 | 회전합동 각도] 정사각형 내부의 점 $P$에서 $\overline{PA}=1, \overline{PB}=\sqrt{2}, \overline{PC}=\sqrt{5}$일 때, $\angle APB$의 크기를 구하시오.
[06번 | $45^\circ$ 접힘둘레] 한 변의 길이가 $15\text{ cm}$인 정사각형의 두 변 위에 점 $E, F$를 잡아 $\angle EAF = 45^\circ$를 만들었다. $\triangle CEF$의 둘레를 구하시오.
[07번 | 직교 등변사다리꼴] 두 대각선이 직교하는 등변사다리꼴의 윗변이 $6\text{ cm}$, 아랫변이 $10\text{ cm}$일 때 넓이를 구하시오.
[08번 | 외접 직각사다리꼴] 원에 외접하는 직각사다리꼴의 윗변이 $3\text{ cm}$, 아랫변이 $12\text{ cm}$일 때 내접원의 반지름 $r$을 구하시오.
[09번 | 바리뇽 둘레] 대각선의 길이가 각각 $16\text{ cm}, 22\text{ cm}$인 임의의 사각형의 네 변의 중점을 연결한 사각형의 둘레를 구하시오.
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