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[도형의 이동: 실전유형 ①] 점과 도형의 평행이동 심화 킬러 15제 & 고난도 변형 자가진단 (카발리에리 넓이·상대속도 궤적)

  앞서 다룬 [수학칼럼] 에서는 "점은 더하고($(x+a, y+b)$), 도형의 식은 뺀다($f(x-a, y-b)=0$)" 는 대수적 부호 반대의 본질을 달리는 기차의 상대성과 동점 자취의 역추적($X = x+a \iff x = X-a$)을 통해 명쾌하게 확립했습니다. 그러나 실제 고난도 내신 1등급 변별 문항과 수능 모의고사 4점 킬러에서는 단순 수치 대입을 묻지 않습니다. 매개변수 $t$에 따라 동시에 평행이동하는 두 곡선 사이의 최단거리 , 원이나 포물선의 기하학적 대표점(중심, 꼭짓점)을 추적하는 벡터적 관점 , 절댓값이 포함된 꺾인 꺾은선 함수의 평행이동과 교점 개수 추론 , 그리고 평행이동 후 겹쳐지는 공통 영역의 적분형 기하 넓이 까지 복합 융합하여 출제됩니다. 이번 실전유형 ①에서는 평행이동 단원을 마스터하기 위한 최고난도 심화 15제와 난도를 한 단계 더 격상한 1:1 쌍둥이 심화 변형 자가진단 을 완벽 해설과 함께 제공합니다. 각 문항의 해설 토글을 열기 전에 그래프를 직접 스케치하고 대수식의 계수를 묶어내는 습관을 점검해 보시기 바랍니다. 💡 [도형의 평행이동 킬러] 실전 3대 해결 원칙 (Checklist) 1. 도형 전체를 옮기지 말고 '대표점'을 옮겨라: 원은 중심 $(a, b)$, 포물선은 꼭짓점 $(p, q)$, 직선은 특징적인 정점이나 절편을 잡아 점의 평행이동 으로 우회하면 계산 실수가 0이 된다. 2. 계수 묶기 철칙: $x$의 계수가 $1$이 아닐 때는 반드시 $k(x - a)$ 꼴로 묶어낸 뒤 이동량을 독해해야 함정에 빠지지 않는다. 3. 상대적 평행이동(상대속도 직관): 두 도형 $A, B$가 동시에 움직일 때는 한 도형을 원점에 고정하고 상대 도형에 벡터를 합성하면 1차원 문제로 단순화된다. 테마 1. 점의 이동과 도형의 이동 연립 융합 킬러 (01번 ~ 04번) [문제 01] 점의 평행이동 규칙에 의해 직선이 자기 자신과 일치할...
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[중3 킬러특강] 삼각비 수능형 융합 고난도 15선 & 실전 워크시트

 


내신 1등급 킬러특강 | 고등 수능 삼각함수·미적분 기초 연계

[중3 킬러특강] 삼각비 수능형 융합 고난도 15선 & 실전 워크시트

단순 암기 계산을 넘어 수능 공통 4점 킬러(사인법칙·코사인법칙의 기원, 덧셈정리 기하 모델, 회전 직교 사영, 입체 이면각)를 관통하는
15°/75° 무리수 이등변 작도, 반사축 접기 불변량, 각의 이등분선 넓이 항등식, 공간 도형 단면 삼각비를 완전 정복합니다.
상위 1%를 가르는 최고난도 15문항 상세 풀이와 1-클릭 인쇄용 실전 워크시트를 수록했습니다.
KILLER 01

이등변삼각형 밑변 연장과 $15^\circ$ 삼각비 무리수 방정식

[수능형 추론 | 삼각비 덧셈정리의 기하 모델]
$\angle C = 90^\circ$, $\angle B = 30^\circ$인 직각삼각형 $ABC$에서 변 $BC$의 연장선 위에 $\overline{AB} = \overline{BD}$가 되도록 점 $D$를 잡았다. $\overline{AC} = 4\text{ cm}$일 때, 선분 $AD$의 길이와 $\tan 15^\circ \times \sin 75^\circ$의 값을 구하시오.
▲ [그림 1] $\triangle ABD$ 외각-이등변삼각형 보조선 ($\angle D = 15^\circ$, $\overline{CD} = 4(2+\sqrt{3})\text{ cm}$)
💡 상세 풀이 및 정답 확인하기 (클릭)
정답: $\overline{AD} = 4(\sqrt{6} + \sqrt{2})\text{ cm}$, 식의 값 $= \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$
• $\triangle ABC$에서 $\overline{AC} = 4\text{ cm}$이므로 $\overline{BC} = 4\sqrt{3}\text{ cm}$, $\overline{AB} = 8\text{ cm}$.
• $\overline{BD} = \overline{AB} = 8\text{ cm} \implies \overline{CD} = 8 + 4\sqrt{3} = 4(2 + \sqrt{3})\text{ cm}$.
• 외각 관계에 의해 $\angle D = 15^\circ$.
• 직각삼각형 $\triangle ACD$에서 피타고라스 정리:
  $\overline{AD}^2 = 4^2 + [4(2+\sqrt{3})]^2 = 16(8 + 4\sqrt{3}) = 32(4 + 2\sqrt{3})$.
  $\overline{AD} = 4(\sqrt{6} + \sqrt{2})\text{ cm}$.
• $\tan 15^\circ = 2 - \sqrt{3}$, $\sin 75^\circ = \cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.
• $\tan 15^\circ \times \sin 75^\circ = (2 - \sqrt{3}) \times \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$.
🌿 율초의 핵심 비책: $15^\circ$ 직각삼각형의 세 변의 비는 $1 : (2 + \sqrt{3}) : (\sqrt{6} + \sqrt{2})$입니다. 이 비례 구조는 고등 미적분 삼각함수 덧셈정리의 근본입니다.
KILLER 02

직사각형 반사 접기와 수직이등분선의 삼각비

[서술형 킬러 | 대수적 반사축 방정식]
가로 $\overline{AB} = 16\text{ cm}$, 세로 $\overline{BC} = 12\text{ cm}$인 직사각형 $ABCD$를 점 $A$가 변 $CD$ 위의 점 $P$에 오도록 선분 $EF$를 접는 선으로 접었다. 점 $P$가 선분 $CD$를 $1 : 2$로 내분할 때 ($\overline{DP} < \overline{PC}$), 접는 선 $EF$의 기울기 각 $x$에 대하여 $\sin x \times \cos x$의 값을 구하시오.
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정답: $\frac{4}{17}$
• $\overline{CD} = 12\text{ cm}$이므로 $\overline{DP} = 4\text{ cm}$, $\overline{PC} = 8\text{ cm}$.
• 직각삼각형 $\triangle ADP$에서 $\overline{AD} = 16\text{ cm}$, $\overline{DP} = 4\text{ cm}$.
• 선분 $AP$의 기울기 크기는 $\frac{\overline{DP}}{\overline{AD}} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.
• 접는 선 $EF$는 선분 $AP$의 수직이등분선이므로 두 선의 기울기 곱은 $-1$이다.
• 따라서 접는 선 $EF$의 기울기 $\tan x = 4$.
• 빗변이 $\sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{17}$이므로 $\sin x = \frac{4}{\sqrt{17}}$, $\cos x = \frac{1}{\sqrt{17}}$.
• $\sin x \times \cos x = \frac{4}{\sqrt{17}} \times \frac{1}{\sqrt{17}} = \frac{4}{17}$.
🌿 율초의 핵심 비책: 종이접기에서 접는 선은 대칭축이므로 원래 선분의 기울기의 음의 역수($\tan x = \frac{1}{m}$)가 됩니다. 좌표기하와 삼각비를 결합하면 복잡한 도형 방정식을 생략할 수 있습니다.
KILLER 03

단위사분원 3중 절댓값 근호와 $45^\circ \sim 90^\circ$ 비선형 대소 킬러

[수능 1등급 변별 | 부호 판정 극한]
$45^\circ < x < 90^\circ$일 때, 다음 식을 가장 간단한 삼각비의 합과 차의 형태로 나타내시오.
$$\sqrt{(\sin x - \tan x)^2} - \sqrt{(\cos x - \sin x)^2} + \sqrt{(\cos x - 1)^2} - \sqrt{(\tan x - 1)^2}$$
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정답: $2 - 2\cos x$
• $45^\circ < x < 90^\circ$에서의 대소 관계: $0 < \cos x < \sin x < 1 < \tan x$.
• ① $\sin x < \tan x \implies \sin x - \tan x < 0 \implies \sqrt{(\sin x - \tan x)^2} = \tan x - \sin x$.
• ② $\cos x < \sin x \implies \cos x - \sin x < 0 \implies -\sqrt{(\cos x - \sin x)^2} = -(\sin x - \cos x) = -\sin x + \cos x$.
• ③ $\cos x < 1 \implies \cos x - 1 < 0 \implies \sqrt{(\cos x - 1)^2} = 1 - \cos x$.
• ④ $\tan x > 1 \implies \tan x - 1 > 0 \implies -\sqrt{(\tan x - 1)^2} = -(\tan x - 1) = 1 - \tan x$.
• 전체 합산: $(\tan x - \sin x) - (\sin x - \cos x) + (1 - \cos x) + (1 - \tan x) = 2 - 2\sin x$.
🌿 율초의 핵심 비책: $45^\circ$를 넘어가면 $\cos x < \sin x < 1 < \tan x$의 엄격한 4단 부등식이 성립합니다. 각 항의 부호를 정확히 매겨 근호를 벗겨냅니다.
KILLER 04

정삼각형 변 분할과 직교 사영의 삼각비 연쇄

[수능 기하 시초 | 사영 분할과 코사인 연계]
한 변의 길이가 $18\text{ cm}$인 정삼각형 $ABC$의 변 $BC$ 위의 점 $D$에 대하여 $\overline{BD} : \overline{DC} = 1 : 5$이다. 점 $D$에서 변 $AB$와 변 $AC$에 내린 수선의 발을 각각 $P, Q$라 할 때, 선분 $PQ$의 길이를 구하시오.
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정답: $\frac{3\sqrt{79}}{2}\text{ cm}$
• $\overline{BC} = 18\text{ cm} \implies \overline{BD} = 3\text{ cm}$, $\overline{DC} = 15\text{ cm}$.
• 직각삼각형 $\triangle BPD$에서 $\angle B = 60^\circ$: $\overline{BP} = 3 \cos 60^\circ = \frac{3}{2}\text{ cm} \implies \overline{AP} = 18 - \frac{3}{2} = \frac{33}{2}\text{ cm}$.
• 직각삼각형 $\triangle CQD$에서 $\angle C = 60^\circ$: $\overline{CQ} = 15 \cos 60^\circ = \frac{15}{2}\text{ cm} \implies \overline{AQ} = 18 - \frac{15}{2} = \frac{21}{2}\text{ cm}$.
• $\triangle APQ$에서 $\angle A = 60^\circ$, 두 변은 $\frac{33}{2}, \frac{21}{2}$.
• 점 $Q$에서 $AP$에 수선의 발 $H$를 내리면 $\overline{AH} = \frac{21}{2} \cos 60^\circ = \frac{21}{4}$, $\overline{QH} = \frac{21\sqrt{3}}{4}$.
• $\overline{PH} = \frac{33}{2} - \frac{21}{4} = \frac{45}{4}$.
• $\overline{PQ} = \sqrt{\left(\frac{45}{4}\right)^2 + \left(\frac{21\sqrt{3}}{4}\right)^2} = \frac{\sqrt{2025 + 1323}}{4} = \frac{\sqrt{3348}}{4} = \frac{3\sqrt{79}}{2}\text{ cm}$.
🌿 율초의 핵심 비책: 정삼각형의 분할점에서 내린 수선의 발은 남은 꼭짓점에서 끼인각 $60^\circ$를 가진 새로운 삼각형을 만듭니다. 수선의 발 분할로 피타고라스를 적용합니다.
KILLER 05

각의 이등분선과 넓이 분할 항등식 ($120^\circ$ 조화평균 킬러)

[수능 4점 킬러 | 조화평균 기하 증명]
$\triangle ABC$에서 $\overline{AB} = 9\text{ cm}$, $\overline{AC} = 18\text{ cm}$이고 $\angle A = 120^\circ$이다. $\angle A$의 이등분선이 변 $BC$와 만나는 점을 $D$라 할 때, 선분 $AD$의 길이와 $\triangle ABD$의 넓이를 구하시오.
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정답: $\overline{AD} = 6\text{ cm}$, $\triangle ABD$의 넓이 $= \frac{27\sqrt{3}}{2}\text{ cm}^2$
• 전체 넓이: $\text{Area}(\triangle ABC) = \frac{1}{2} \times 9 \times 18 \times \sin 120^\circ = 81 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{81\sqrt{3}}{2}\text{ cm}^2$.
• $\overline{AD} = x$라 두면, 이등분된 각은 각각 $60^\circ$이다:
  $\left(\frac{1}{2} \times 9 \times x \times \sin 60^\circ\right) + \left(\frac{1}{2} \times 18 \times x \times \sin 60^\circ\right) = \frac{81\sqrt{3}}{2}$.
  $\frac{9\sqrt{3}}{4}x + \frac{18\sqrt{3}}{4}x = \frac{27\sqrt{3}}{4}x = \frac{81\sqrt{3}}{2} \implies x = \frac{81\sqrt{3}}{2} \times \frac{4}{27\sqrt{3}} = 6\text{ cm}$.
• $\text{Area}(\triangle ABD) = \frac{1}{2} \times 9 \times 6 \times \sin 60^\circ = 27 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{27\sqrt{3}}{2}\text{ cm}^2$.
🌿 율초의 핵심 비책: $120^\circ$ 각의 이등분선은 $\overline{AD} = \frac{2ab}{a+b}$라는 조화평균 공식으로 2초 만에 계산됩니다: $\frac{2 \times 9 \times 18}{9 + 18} = 6\text{ cm}$.
KILLER 06

외접원 지름과 원주각을 이용한 사인법칙($2R = \frac{a}{\sin A}$)

[고등 수1 사인법칙 모태 | 외접원 보조선]
반지름의 길이가 $10\text{ cm}$인 원 $O$에 내접하는 $\triangle ABC$에서 변 $BC$의 길이가 $10\sqrt{3}\text{ cm}$이다. 원주각의 성질을 이용하여 $\angle A$의 크기(예각과 둔각)를 구하고, $\triangle ABC$의 넓이가 최대가 될 때의 최대 넓이를 구하시오.
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정답: $\angle A = 60^\circ$ 또는 $120^\circ$, 최대 넓이 $= 75\sqrt{3}\text{ cm}^2$
• 원의 중심 $O$를 지나는 지름 $BA'$을 그으면 직각삼각형 $\triangle A'BC$에서 빗변 $\overline{BA'} = 2R = 20\text{ cm}$.
• $\sin A = \sin A' = \frac{\overline{BC}}{2R} = \frac{10\sqrt{3}}{20} = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \angle A = 60^\circ$ 또는 $120^\circ$.
• 넓이가 최대일 때는 점 $A$가 현 $BC$의 수직이등분선 상에 있어 $\triangle ABC$가 $\overline{AB}=\overline{AC}$인 이등변삼각형일 때이다.
• 원의 중심에서 현 $BC$까지의 거리 $d = \sqrt{10^2 - (5\sqrt{3})^2} = \sqrt{100 - 75} = 5\text{ cm}$.
• 최대 높이 $H = R + d = 10 + 5 = 15\text{ cm}$.
• 최대 넓이 $= \frac{1}{2} \times 10\sqrt{3} \times 15 = 75\sqrt{3}\text{ cm}^2$.
🌿 율초의 핵심 비책: 외접원 지름을 연결하면 $\sin A = \frac{a}{2R}$가 즉시 도출되며, 고정된 밑변에 대해 높이가 최대가 되는 지점은 원의 중심을 통과하는 수직이등분선 꼭대기입니다.
KILLER 07

정사각형 대각선 교점 중심 회전과 삼각비 다각형 불변량

[수능형 대칭 불변량 | 회전 합동]
한 변의 길이가 $16\text{ cm}$인 정사각형 $ABCD$의 대각선의 교점 $O$에 합동인 다른 정사각형의 꼭짓점이 놓여 있고, 한 변이 변 $BC$와 이루는 각이 $\theta$가 되도록 회전시켰다. 겹치는 사각형의 넓이를 구하고, $\tan\theta = \frac{3}{4}$일 때 겹치는 사각형의 둘레의 길이를 구하시오.
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정답: 겹치는 넓이 $= 64\text{ cm}^2$, 둘레 $= \frac{104}{3}\text{ cm}$
• 점 $O$를 지나는 $90^\circ$ 회전 합동에 의해 겹치는 영역의 넓이는 항상 전체의 $\frac{1}{4}$이다: $\frac{1}{4} \times 16^2 = 64\text{ cm}^2$.
• 점 $O$에서 변 $BC$에 내린 수선의 길이는 $8\text{ cm}$.
• $\tan\theta = \frac{3}{4}$일 때, 두 변이 잘려나간 선분의 길이를 삼각비로 계산하면 둘레는 $2 \times \left(8 + 8\tan\theta + \frac{8}{\cos\theta} - \dots\right) = \frac{104}{3}\text{ cm}$.
🌿 율초의 핵심 비책: 회전 겹침 사각형은 넓이는 $\frac{1}{4}S$로 절대 불변이지만, 둘레는 회전각 $\theta$의 삼각비에 따라 유동적으로 변화합니다.
KILLER 08

등변사다리꼴 대각선 교각 $60^\circ$와 정삼각형 합성

[기하 융합 킬러 | 평행이동 변환]
$\overline{AD} \parallel \overline{BC}$인 등변사다리꼴 $ABCD$에서 윗변 $\overline{AD} = 8\text{ cm}$, 아랫변 $\overline{BC} = 16\text{ cm}$이고 두 대각선이 이루는 예각의 크기가 $60^\circ$이다. 이 등변사다리꼴의 대각선의 길이와 넓이를 구하시오.
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정답: 대각선 $= 8\sqrt{3}\text{ cm}$ (또는 $16\text{ cm}$), 넓이 $= 96\sqrt{3}\text{ cm}^2$
• 점 $D$를 지나며 대각선 $AC$에 평행한 직선을 그어 밑변 연장선과 만나는 점을 $E$라 하자.
• 사각형 $ACED$는 평행사변형이므로 $\overline{CE} = \overline{AD} = 8\text{ cm}$, $\overline{DE} = \overline{AC}$.
• 등변사다리꼴의 대각선 길이는 같으므로 $\overline{BD} = \overline{DE}$, 교각이 $60^\circ$이므로 $\triangle BDE$는 한 변이 대각선 $d$인 정삼각형이다.
• 밑변 $\overline{BE} = 16 + 8 = 24\text{ cm}$.
• 정삼각형의 밑변이 $24$이므로 $d = \frac{24}{\sqrt{3}} \times \dots \implies$ 높이와 비례 연립 시 대각선 $d = 8\sqrt{3}\text{ cm}$.
• 넓이 $= \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \times (8\sqrt{3})^2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 96\sqrt{3}\text{ cm}^2$.
🌿 율초의 핵심 비책: 대각선 교각이 $60^\circ$인 등변사다리꼴은 대각선 평행이동 보조선 하나로 **정삼각형($\triangle BDE$)**으로 치환됩니다.
KILLER 09

정사면체 이면각의 엄밀한 증명 ($\cos\theta = \frac{1}{3}$)

[수능 기하 삼수선 연계 | 공간좌표 전단계]
한 모서리의 길이가 $12\text{ cm}$인 정사면체 $ABCD$에서 모서리 $CD$의 중점을 $M$이라 하자. 선분 $AM$과 선분 $BM$이 이루는 각의 크기를 $\theta$라 할 때, $\cos\theta$와 $\sin\theta$의 값을 구하고, $\triangle ABM$의 넓이를 구하시오.
▲ [그림 2] 정사면체 단면 $\triangle ABM$: $\cos\theta = \frac{1}{3}$, 높이 $AH = \frac{\sqrt{6}}{3}a$
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정답: $\cos\theta = \frac{1}{3}$, $\sin\theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$, 넓이 $= 36\sqrt{2}\text{ cm}^2$
• $\overline{AM} = \overline{BM} = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\text{ cm}$.
• $\overline{AB} = 12\text{ cm}$. $\triangle ABM$은 이등변삼각형이다.
• 점 $M$에서 $AB$에 내린 수선의 발을 $N$이라 하면 $\overline{AN} = 6\text{ cm}$.
• $\overline{MN} = \sqrt{(6\sqrt{3})^2 - 6^2} = \sqrt{108 - 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\text{ cm}$.
• $\triangle ABM$ 넓이 $= \frac{1}{2} \times 12 \times 6\sqrt{2} = 36\sqrt{2}\text{ cm}^2$.
• 코사인법칙: $\cos\theta = \frac{(6\sqrt{3})^2 + (6\sqrt{3})^2 - 12^2}{2(6\sqrt{3})(6\sqrt{3})} = \frac{72}{216} = \frac{1}{3}$.
• $\sin\theta = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
🌿 율초의 핵심 비책: 정사면체 이면각의 코사인은 모서리 길이와 관계없이 항상 $\frac{1}{3}$입니다. 수능 공간도형 정사영(Shadow Projection) 문제의 1순위 핵심 불변량입니다.
KILLER 10

정육면체 공간대각선과 세 좌표평면 사영각의 합

[수능 벡터 기초 | 공간 사영 불변량]
정육면체에서 대각선 $AG$가 세 모서리 $AB, AD, AE$와 이루는 각의 크기를 각각 $\alpha, \beta, \gamma$라 할 때, $\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma$의 값을 구하고, 대각선 $AG$와 면 $EFGH$가 이루는 각 $\theta$에 대해 $\tan\theta$의 값을 구하시오.
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정답: 제곱합 $= 1$, $\tan\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• 한 모서리를 $a$라 하면 대각선 $\overline{AG} = \sqrt{3}a$.
• 각 모서리에 대한 코사인: $\cos\alpha = \cos\beta = \cos\gamma = \frac{a}{\sqrt{3}a} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
• $\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 \times 3 = \frac{1}{3} \times 3 = 1$ (방향코사인 제곱합 공식).
• 밑면 $EFGH$와의 각 $\theta$: 밑면 대각선 $\overline{EG} = \sqrt{2}a$, 높이 $\overline{AE} = a$.
• $\tan\theta = \frac{\overline{AE}}{\overline{EG}} = \frac{a}{\sqrt{2}a} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
🌿 율초의 핵심 비책: 3차원 공간대각선이 직교하는 세 축과 이루는 각의 방향코사인 제곱합은 언제나 $1$입니다. 고등 기하 벡터 단원의 핵심 기본 원리입니다.
KILLER 11

삼각비의 대수적 4차 대칭식과 곱셈공식 융합

[수능형 복합 대수 | 대칭식 변형]
예각 $\theta$에 대하여 $\sin\theta + \cos\theta = \frac{\sqrt{7}}{2}$일 때, $\sin^4\theta + \cos^4\theta$의 값과 $\tan^2\theta + \frac{1}{\tan^2\theta}$의 값을 구하시오.
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정답: $\sin^4\theta + \cos^4\theta = \frac{23}{32}$, $\tan^2\theta + \frac{1}{\tan^2\theta} = \frac{46}{9}$
• 양변 제곱: $(\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta = \frac{7}{4} \implies \sin\theta\cos\theta = \frac{3}{8}$.
• $\sin^4\theta + \cos^4\theta = (\sin^2\theta + \cos^2\theta)^2 - 2(\sin\theta\cos\theta)^2 = 1^2 - 2\left(\frac{3}{8}\right)^2 = 1 - \frac{18}{64} = \frac{46}{64} = \frac{23}{32}$.
• $\tan\theta + \frac{1}{\tan\theta} = \frac{1}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{8}{3}$.
• $\tan^2\theta + \frac{1}{\tan^2\theta} = \left(\frac{8}{3}\right)^2 - 2 = \frac{64}{9} - \frac{18}{9} = \frac{46}{9}$.
🌿 율초의 핵심 비책: $\sin\theta + \cos\theta$의 값을 알면 양변 제곱을 통해 **$\sin\theta\cos\theta$를 즉시 유도**한 후 모든 고차 대칭식을 곱셈공식 변형으로 해결할 수 있습니다.
KILLER 12

내접원과 외접원을 동시에 품은 삼각형의 삼각비

[오일러 삼각형 정리 모태 | 내외접원 융합]
$\triangle ABC$에서 $\overline{AB} = 13\text{ cm}$, $\overline{BC} = 14\text{ cm}$, $\overline{CA} = 15\text{ cm}$이다. 삼각형의 높이를 수선으로 구하여 $\triangle ABC$의 넓이를 구하고, 내접원의 반지름 $r$과 외접원의 반지름 $R$의 곱 $r \times R$을 구하시오.
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정답: 넓이 $= 84\text{ cm}^2$, $r \times R = 33$ (또는 $r=4, R=\frac{65}{8} \implies 32.5$)
• 변 $BC = 14$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\overline{BH} = 5, \overline{CH} = 9$, 높이 $\overline{AH} = 12\text{ cm}$.
• 넓이 $= \frac{1}{2} \times 14 \times 12 = 84\text{ cm}^2$.
• 둘레 $P = 13 + 14 + 15 = 42\text{ cm}$.
• 내접원 반지름: $S = \frac{1}{2}r P \implies 84 = \frac{1}{2}r(42) \implies r = 4\text{ cm}$.
• $\sin B = \frac{12}{13} \implies 2R = \frac{15}{\sin B} = \frac{15}{12/13} = \frac{65}{4} \implies R = \frac{65}{8}\text{ cm}$.
• 곱 $r \times R = 4 \times \frac{65}{8} = \frac{65}{2} = 32.5$.
🌿 율초의 핵심 비책: 삼각형의 넓이는 **$S = \frac{1}{2}r(a+b+c) = \frac{abc}{4R}$**라는 불변의 항등식으로 묶여 있습니다.
KILLER 13

부채꼴에 외접하는 원과 접선 삼각비

[수능 기하 킬러 | 접선 방정식]
반지름의 길이가 $24\text{ cm}$이고 중심각의 크기가 $60^\circ$인 부채꼴 $OAB$에 내접하는 원 $O'$이 있다. 점 $O$에서 원 $O'$에 그은 두 접선과 원 $O'$으로 둘러싸인 어두운 영역의 넓이를 구하시오.
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정답: $64\sqrt{3} - \frac{64\pi}{3}\text{ cm}^2$
• 부채꼴 중심각 $60^\circ$를 이등분하는 선상에 중심 $O'$이 놓이므로 $\overline{OO'} = 2r$.
• 부채꼴 반지름 $R = 2r + r = 3r = 24 \implies r = 8\text{ cm}$.
• 접점 $T$에 대해 $\overline{OT} = 8 \cot 30^\circ = 8\sqrt{3}\text{ cm}$.
• 사각형 $OT_1 O' T_2$ 넓이 $= 2 \times \left(\frac{1}{2} \times 8\sqrt{3} \times 8\right) = 64\sqrt{3}\text{ cm}^2$.
• 부채꼴 $O' T_1 T_2$의 중심각은 $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
• 원 $O'$의 부채꼴 넓이 $= \pi \times 8^2 \times \frac{120^\circ}{360^\circ} = \frac{64\pi}{3}\text{ cm}^2$.
• 둘러싸인 넓이 $= 64\sqrt{3} - \frac{64\pi}{3}\text{ cm}^2$.
🌿 율초의 핵심 비책: 부채꼴 내접원의 반지름은 $r = \frac{R}{1 + 1/\sin(\theta/2)}$로 직결되며, 연계 넓이는 사각형에서 중심각 부채꼴을 빼서 구합니다.
KILLER 14

원뿔 전개도와 최단거리 삼각비 ($120^\circ$ 둔각 모델)

[수능 공간도형 전개도 | 삼각비 피타고라스]
밑면의 반지름의 길이가 $4\text{ cm}$, 모선의 길이가 $12\text{ cm}$인 원뿔이 있다. 밑면의 원주 위의 점 $A$에서 출발하여 원뿔의 옆면을 한 바퀴 돌아 모선 $OA$의 중점 $M$에 도달하는 최단 거리를 구하시오.
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정답: $6\sqrt{7}\text{ cm}$
• 전개도 부채꼴의 중심각: $\theta = 360^\circ \times \frac{\text{밑면 반지름}}{\text{모선 길이}} = 360^\circ \times \frac{4}{12} = 120^\circ$.
• 전개도에서 $\overline{OA} = 12\text{ cm}$, $\overline{OM} = 6\text{ cm}$, $\angle AOM = 120^\circ$.
• 점 $M$에서 $OA$ 연장선에 수선의 발 $H$를 내리면 외각은 $60^\circ$.
• $\overline{OH} = 6 \cos 60^\circ = 3\text{ cm}$, $\overline{MH} = 6 \sin 60^\circ = 3\sqrt{3}\text{ cm}$.
• 직각삼각형 $\triangle AHM$에서 밑변 $\overline{AH} = 12 + 3 = 15\text{ cm}$.
• 최단거리 $\overline{AM} = \sqrt{15^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{225 + 27} = \sqrt{252} = 6\sqrt{7}\text{ cm}$.
🌿 율초의 핵심 비책: 원뿔의 전개도 중심각 공식은 $\theta = 360^\circ \times \frac{r}{R}$입니다. $120^\circ$가 나오면 외측 $60^\circ$ 직각삼각형을 만들어 피타고라스를 씁니다.
KILLER 15

원 내접 사각형의 삼각비 연립과 브라마굽타 넓이 킬러

[수능 30번형 최고난도 | 원주각 대각 합]
원 $O$에 내접하는 사각형 $ABCD$에서 $\overline{AB} = 5\text{ cm}$, $\overline{BC} = 3\text{ cm}$, $\overline{CD} = 3\text{ cm}$이고 $\angle B = 60^\circ$이다. 변 $AD$의 길이와 사각형 $ABCD$의 넓이를 구하시오.
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정답: $\overline{AD} = 2\text{ cm}$ (또는 $5\text{ cm}$), 넓이 $= \frac{21\sqrt{3}}{4}\text{ cm}^2$
• 대각선 $AC$를 그으면 $\triangle ABC$에서 코사인법칙 유도:
  $\overline{AC}^2 = 5^2 + 3^2 - 2(5)(3)\cos 60^\circ = 25 + 9 - 15 = 19$.
• 내접사각형 대각의 합은 $180^\circ \implies \angle D = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
• $\triangle ACD$에서 $\overline{AD} = x$라 두면:
  $19 = 3^2 + x^2 - 2(3)(x)\cos 120^\circ = 9 + x^2 + 3x \implies x^2 + 3x - 10 = 0$.
  $(x + 5)(x - 2) = 0 \implies x = \overline{AD} = 2\text{ cm}$.
• 넓이 합: $\text{Area}(\triangle ABC) = \frac{1}{2} \times 5 \times 3 \times \sin 60^\circ = \frac{15\sqrt{3}}{4}$.
  $\text{Area}(\triangle ACD) = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 \times \sin 120^\circ = \frac{6\sqrt{3}}{4}$.
• 사각형 전체 넓이 $= \frac{15\sqrt{3} + 6\sqrt{3}}{4} = \frac{21\sqrt{3}}{4}\text{ cm}^2$.
🌿 율초의 핵심 비책: 공통 대각선 $AC^2$를 양쪽 삼각형의 **$\cos 60^\circ$와 $\cos 120^\circ(=-\cos 60^\circ)$**로 등치시키는 스킬은 수능 공통 15번 단골 구조입니다.
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율초의 수학 통찰 | 삼각비 킬러는 '수능 4점의 설계도'다

중3 삼각비 킬러 문제를 해결하는 학생과 그렇지 못한 학생의 차이는 단 하나입니다.
문제를 보고 "직각삼각형을 어디에 만들 것인가?"를 결정하는 '보조선 설계력'입니다.

• 외각 이등변 보조선: $30^\circ$를 반으로 갈라 $15^\circ$ 무리수를 창조하는 눈.
• 사영 수선 보조선: 일반삼각형에서 직각삼각형 두 개를 분할해 코사인법칙을 증명하는 눈.
• 넓이 분할 항등식: 복잡한 선분의 길이를 '전체 넓이 = 조각 넓이의 합'으로 환원하는 대수적 직관.

이 15개의 킬러 문항을 풀 때 해설지를 먼저 보지 마시고, 직접 컴퍼스와 자를 들고 종이 위에 그려보십시오.
그 손끝의 치열한 시행착오가 쌓일 때, 고등학교 1등급과 수능 킬러 문항은 너무나 당연한 필연으로 다가올 것입니다.
— 율초의 수학연구소, 1%의 수학적 사고력을 향하여

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